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w tre , à la tite de laquelle se place Aristoxène, qui prétendait au contraire que les sons étaient seuls juges

des rapports harmoniques.

Les incertitudes qui règnent sur la naissance de Pythagore se reproduisent au sujet de sa mort; on sait seulement qu’elle arriva vers l'an 500 avant J.-C. Quelques historiens justifient, sans le vouloir, ce grand homme d’avoir enveloppé la vérité de voiles qui ont fini par la dérober entièrement aux regards des peuples, en assurant que, malgré cette réserve, on s’alarme des innovations qu'il introduisait, des vérités hardies et contraires aux croyances religieuses de son temps qu'il exposait, et que de sou vivant il vit éclater la persécution qui s’attacha à son école. Suivant quelques auteurs, Pythagore eut pour épouse Théano, céltbre elle-même dans l’histoire de la philosophie; suivant d’autres, elle était sa fille. On cite, parmi ses fils, Télange, qui fut le maître d'Empedocle, et Arimneste, qui fut celui de Démocrite, (Foy. l'Hist. de la Philosophie de Bourz, et celle de TENNEmAN.)

PYTHÉAS, de Marscille, astronome ct géographe de l'antiquité, et le premier qu'aient produit les Gaules, vivait vers le commencement du quatrième siècle avant Jésus-Christ. On sait, à n’en point douter, que, par ordre des magistrats de sa patrie, il entreprit un

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voyage vers le Nord; Ja description qu'il fit de l’île qu'il appelait Fhulé, description dont Pline et Strabon nous ont conservé quelques fragmens, prouve qu'il a visité les côtes de l'Islande. Mais tout ce qu'on rapporte des autres travaux de Pythéas se réduit à des conjectures fondées sur des rapports inexacts ouincomplets de quelques anciens écrivains. Ainsi, suivant Cléomède, astronome contemporain de Posidonius, Pythéas serait l’auteur d'une observation remarquable de la hauteur du soleil au solstice d'été, faite à Marseille à l’aide d’un gnomon d’une hauteur considérable, Cette observation a d’ailleurs de lacélébrité pour avoir servi aux astronomes modernes à démontrer la diminution de l’obliquité de l'écliptique, avant que ce phénomène eût été constaté. Suivant ITipparque, cité à ce sujet par Strabon, ce fut Pythéas qui enseigna le premier aux Grecs que l'étoile polaire n’était pas au pôle même, et qui leur donna des indications plus exactes sur la situation de cette étoile. Eufiu, suivant Plutarque et Pline, Pythéas serait le premier astronome qui aurait reconnu la liaison qui existe entre le phénomène des marées et le mouvement de la lune. On attribuait dans l'antiquité à Pythéas la composition de plusieurs écrits; celui de tous, dont on doit le plus regretter la perte, est sans contredit la narrationde son voyage maritime qui serait aujourd'hui d'un grand intérêt pour l'histoire de la géographie. (f'oy. GNomox.)

QUADRANGLE. (Géom.) Nom par lequel les anciens désignaient une fgure rectiligne qui a quatre angles et quatre côtés. Une telle figure se nomme aujourd’hui un quadrilaière. (Foy. ce mot.)

QUADRANGULAIRE, (Geom.) Se dit , adjectivement, d’une figure qui a quatre angles.

QUADRATIQUE. (4/g.) ÉQUATION QUADRATIQUE, C'est ce que l’on nomme simplement aujourd'hui cyuation du second degré.

La forme générale d'un telle équation est

A xt +Azx+A,—o

L | 5 ( Por. EqQuariox, 5.) En divisant les deux membres

se À A par A, et faisant = À, + — B, on ramène cette A6

forme à la suivante non moins générale (m)

z + Ax+B—0

dont le premier nombre doit être équivalent au pro-

duit de deux facteurs du premier degré x—a, x—b, d'après ce qui a été démontré au mot Équario, 15, c'est-à-dire que l'égalité (me) entraine l'égalité correspondante (7)

dans laquelle & et » sont les racines de l'équation du second degré.

Résoudre une équation du second degré c'est trouver les valeurs a et b qui satisfont à cette équation, ou, pour mieux dire, qui, substituées à la place de x dans le premier membre, le réduisent à zero. fl existe trois procédés différens pour arriver à ce résultat.

1. Nous avons vu (Houariow, 17) que le premier coefficient À est égal à la somme des racines prise avec un signe contraire, et que le second coefficient B est

égal au produit des racines, ou que

A—— (a+ b) B = ab

Or, en élevant les deux membres de la première éga-

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lité à la seconde puissance et en multipliant par 4 ceux

de la seconde, on obtient

A = @ + ab + b:

4B — 4ab Retranchant la seconde égalité de la première, il vient A— 4B= @ — vab+b — (a — by

ce qui donne

VIA —4B]=a—b Ainsi on a donc d’une part

et de l’autre

a—b= VIA — 4B]

Mais quand on connait la somme ct la difference de deux quautités, on obtient la plus grande de ces quantités en ajoutant la moitié de la différence à la moitié de la somme, et la plus petite, en retranchant la moitié de la différence de la moitié de la somme (voy. Équa- TION, 10); donc nous avons ici

LS VAT) La fr]

elles sont les expressions générales des valeurs des

racines de l'équation du second degré en fonctions des coefficiens de cette équation. Comme a ou b substitucs

à la place de x davs

x Ax +B—o

réduisent le premier membre à zéro, on réunit ces

deux valeurs sous la forme (p)

En prenant la racine carrée de A? — AB, nous aurions dü placer, d’après le principe connu, le double signe + devant le radical; mais soit que l’on prenne ici le signe L ou le signe — , les valeurs de a et de b ne différent entre elles que par le signe du radical, ce qui ne change 1ieu à la double valeur de x, puisque les racines & et D entrent d’une manière symétrique dans la composition de l'équation.

2. On arrive à l'expression (p) par un autre artifice de calcul, en faisant disparaître le second terme Ax de l'équation

x? + Ax + B—o

ce qui la ramène à la forme

QÙ 589 æ'+M=o

sous laquelle une simple extraction de racine carrée sufüt pour faire obteuir les deux valeurs de æ, car on a immédiatement

m——M,etrzx—+V M.

Cette transformation s'effectue en posant T—=Y— M,

y étant une nouvelle inconnue et 72 une quantité arbitraire qu’on détermine de manière à faire disparaitre le second terme de l'équation. En effet, substituons y — »4 à la place de x, nous aurons

et, en développant,

J — 2my + ne + Ay — An)—= 0

+ B Ainsi , 72 étant arbitraire, nous pouvons faire À — 2m —0, ce qui réduit l'équation précédente à J° + (nn — Am +B)=o, d’où l’on tire °=—m+Am—B,ety = + V[—n?+ Am — B].

: 1 ; Mais À — 9m — o donne 7» — à A; substituant cette

valeur de 72 dans celle de y, on trouve

= eV/fivris 4 2

. 1 è ., Donc, puisque x =y—m—y— A, on a définiti-

—:A +\/Tr- in]