La valeur des racines de l'équation générale du
Ble
second degré (r) a? + Ax + B—=o
est donc donnée par l’expression (s)
e=-}as 1 /Ts 4]
etilsuffit, pour obtenir ces racines, de substituer dans (s) les valeurs données des quantités À et B, et de réaliser ensuite les opérations indiquées. L'exemple suivant est suffisant pour montrer la marche des calculs.
Déterminer deux nombres dont la somme soit 10 et de produit 24. Si nous désignons par æ l’un de ces nombres, l’autre sera 10— x, et nous aurons par la nature du problème
æ.(10— x) — 24, ou 10 x — x? — 24 , ce qui, ramené à la forme (r), nous donne l'équation ZX? — 10% +24 — 0;
comparant avec (r) , nous avons À = — 10, B — 24, et par suite
QU
TOP e LA LL Too gai] =5+ ï 2 2
Les deux valeurs 6 et 4 doivent donc satisfaire à la question proposée. En effet, comme leur somme est 10, elles sont elles-mêmes les deux nombres demandés dont le produit est 24.
5. En discutant les valeurs que peut donner l’expression (s), d’après celles des coefficiens À et B , on trouve facilement 1° que les deux racines sont toujours réelles etinégales si B est négatif ou, dans le cas de B positif, si 4B est plus petit que A’ ; 2° que les deux racines sont imaginaires si, B étant positif, on a 4B->A? ; et 3° que les deux racines sont réelles et égales si le radical disparait ou si, B étant positif, on a A° — 4B. Nous ne nous arrêterons pas à cette analyse qu’on trouve dans tous les ouvrages élémentaires.
QUADRATRICE. { Géo.) Nom donné à différentes courbes transcendantes dont la plus ancienne et la plus remarquable est celle qui fut inventée par Dinostrate , pour la quadrature du cercle.
Si l’on divise le quart ac d’une circonférence de cercle (PI. 54, fig. 5) en plusieurs parties égales as, sg, gr, vu, etuc, et qu'ayant mené de chaque point de division un rayon au centre D du cercle, on divise le rayon ab en un mênte nombre de parties égales ad, dt, th, kr, et rb; les parallèles au rayon be, menées par les points d, {,k, r de ces dernières divisions, couperont les rayons bs, bg, be, bu en des points 72, n,p,4q, qui appartiendront à la quadratrice de Dinostrale.
D'après cette construction, l'arc as est au quart de circonférence asc comme l’abscisse ad est au rayon &b ; faisant donc l’arc as — =, le quart de circonférence asc — «& , l'abscisse ad — x, etle rayon ab —r, nous aurons
d’où
rz —= ax
équation de la quadratrice.
Pour trouver le point o où la quadratrice coupe le rayon be , supposons br infiniment petit; l'arc ue sera aussi infiniment petit et pourra être considéré comme une partie infiniment petite de la tangente au point c ; alors les triangles rgb et ucb seront semblables et donneront
bo: rq 93 ue: br
mais en supposant br'infiniment petit on a rg — bo; donc be : bo
:: ue : br.
De plus, par la nature de la courbe
uc : br :: asc : ab, donc be : bo :: asc : ab ou r : bo air ce qui donne rt bo——, a
c'est-à-dire que bo esttroisième proportionnelle au quart de la circonférence et au rayon.
Ainsi, si l’on pouvait trouver géométriquement le point o, on trouverait aussi géométriquement la longueur du quart de la circouférence, et en quadruplant on aurait la longueur de la circonférence entière, d’où dépend la quadrature du cercle (voy. ce mot). Mais cela est impossible, car en supposant 7q infiniment proche de bc, cette droite ne peut couper le rayon Lu lorsque le point w se confond avecle point c, parce que rq étant parallèle à be est alors parallèle à bu, ou plutôt parce que rq se confond alors avec bu et be.
Ea tirant par le point s, sæ, perpendiculaire au rayon
ab, on a deux triaugles semblables qui donnent bx : bs :: bd : bm,
mais bx — cosz et bd = r — x; ainsi cette proportion ,
en faisant bn = y, est la même chose que COSZ: Ti: TX: Y d’où l’on tire
r(r—x) cosz
. : 73 .., F substituant à la place de x sa valeur à tirée de l’équa-
tion (4), on obtient définitivement cette autre équation de la quadratrice
: EE (a—2)r
