TS

aæcosz

Lorsqu'on fait dans cette équation 3 — a, y devient égal à bo, et comme alors a— zx — o et cos 3 —0, ce qui donne

Die

il faut, pour trouver la valeur de y, différentier les deux

termes de la fraction. (Foy. Dire, 47) On obtient de

cette manière (a—z)r"

— dz.r rà

—asiu z.d3

«a COS z a sin z

et par conséquent en faisant 3 = a, d’où sinz = 1,

y où bo = — [44

comme nous l’avons trouvé ci-dessus.

QUADRATURE. (Géom.) Transformation d’une figure géométrique en un carré qui lui soit équivalent ou, plus généralement, mesure de la surface d’une figure géométrique quelconque.

La quadrature des figures rectilignes se réduit à décomposer ces figures en triangles. La somme des aires des triangles qui composent une figure est égale à l’aire de la figure, que l’on peut d’ailleurs transformer toujours en un carré équivalent par les procédés de la géométrie élémentaire (voy. Aire). Nous avons donné au mot PoryconomérmiE l’expression de Paire d’un polygone quelconque.

La quadrature des figures curviligues est un des objets de la géométrie dite analytique. Quoique les anciens aient fait un graud nombre de recherches sur cette matière, particulièrement pour la quadrature du cercle, comme ils n'avaient aucune méthode générale pour aborder ces questions transcendantes, leurs découvertes se bornent presque exclusivement à la quadraiure de la parabole obtenue par Archimède; ce n’est que vers le milieu du xvn' siècle que Wren, Brouncker, Huygens et Neil trouvèrent les moyens de quarrer divers espaces curvilignes, et que Mercator, ramenant ce problème au calcul algébrique, eut la gloire de donner, le premier, la série qui exprime en même temps la quadrature de l'hyperbole et la valeur des logarithmes naturels. Il paraît probable que Newton avait déjà appliqué son calcul des fluxions à la quadrature des courbesavant les découvertes de Mercator, mais la priorité de la publication appartient à ce dernier.

Depuis le pas immense que la découverte du calcul différentiel a fait faire à la science des nombres, toutes les méthodes particulières ont été remplacées par une méthode générale aussi simple qu’élégante, dont nous allons donner l'exposition.

1. Si nous désignons par S l'aire d’une figure quelconque, le problème général des quadratures se réduit à trouver la différentielle de S, car cette différentielle étant connue, en l’intégrant, on obtient la valeur deS, puisque