J'TAS

(voy. Dirr., 49) ; dS est ce qu’on nomme l'élément de l'aire.

Pour obtenir cette différentielle, considérons l’espace APQ (PI. 55, fig. 5) compris entre l’abscisse AP, l'ordonnée PQ et la portion AQ d'une courbe quelconque; si l’abscisse AP — x creit d'une quantité PP’,

que nous supposerons infiniment petite ou égale à dx,

592 QU l'ordonnée PQ — y deviendra P'Q'= P'm + mQ— y + dy, et l'aire APQ = S$ croitra du trapèze élémentaire PQQ'P';

ou la différentivlle de l'aire S. Or, l’aire d’un trapèze

c'est donc ce trapèze qui est l'élément

(rar. Axe, 1v) est égale à la moitié du produit de sa hauteur par la somme de ses bases parallèles ; nous avons

donc ici

[re + PQ X PP

= ydx + ‘

puisque — dydx est une quantité infiniment petite du

second ordre qui n’a aucune valeur comparable avec la quantité infiniment petite du premier ordre dx. Lu intégrant les deux termes de l'égalité (a) on ob-

tient S = /ydx + C

C désignant une constante arbitraire que la nature de chaque problème particulier donne les moyens de déterminer.

Ainsi, pour quarrer une figure curviligne quelconque, il suffit de tirer de l'équation de la courbe la valeur de y, de la substituer dans l'expression (1) et d'intégrer, Nous éclaircirons plus loin cette méthode par des exemples.

2. Nous avons supposé, dans ce qui précède, les coordonnées rectangulaires, ce qui est généralement suffisant puisqu'on peut toujours transformer un système quelconque de coordonnées en coordonnées rectangulaires; mais il est utile dans certains cas particuliers d’avoir la différentielle de l'aire en coordonnées obliques ou polaires et nous devons, avant de passer aux applications, chercher les expressions de cette différentielle.

Soit donc APQ (PI. 55, fig. 6) une aire comprise entre les coordonnées obliques AP, PQ et la portion de courbe AQ, et soit » l'angle QPX que font entre elles ces coordonnées. Lorque AP croît de PP'= 4x, l'aire APQ croit du trapèze PP'Q'Q, lequel est composé du parallélogramme QPP'x et du triangle QmQ', nous avons donc

dS — QPP'm + QmQ'

mais l'aire du parallélogramme QPP'» est égale au produit des côtés PQ et PP' multiplié par le sinus de

l'angle de ces côtés (voy. l'aiconomérmr), c'est-à-

dire qu’on a QPPm — PQ X PP'sino — ydx.sins ;

et l'aire du triangle QmQ' est égale au produit de ses côtés Que etz1Q" multiplié par le sinus de l'angle QmQ",

supplément de Pangle +. Nous avons donc ici dS = jäx.siuo + dydx.sin ou, simplement , (Bass dS = ydx.sin »

en retranchant la quantité iufiniment petite du second ordre dydx.sins. Intégrant les deux membres de l’égalité (b), nous obtiendrous, pour le cas des coordonnées obliques