IL......S — sin fydx + C

Soit maintenant l'aire APQ comprise entre l'axe PA, le rayon vecteur PQ — : et la portion de courbe AQ. Supposons que l'angle APQ — # du rayon vecteur avec l'axe croisse de l'angle infiniment petit GPP' = dy, l'aire APQ croîtra du triangle élémentaire PQQ', et le rayon vecteur PQ deviendra PQ' = z + dz. Le triangle élémentaire PQQ' est donc la différentielle de l’aire APQ , mais lasurface de ce triangle est égale à

FQ X PQ' X sin du — = 2(z + dz)du

puisque sin du — du. Nous avous par conséquent

dS — . z° du + = 3 dd 2 2 ou = ul (c).......dS —= -z7du.

Intégrant les deux membres de cette égalité il vient

S — : Ja + C>

3. Pour première application de l'expression générale (1), prenons la parabole M'AM (PI 55, fig. 8) et cherchons la grandeur de l’aire AQP, comprise entre l'axe , la courbe et l’ordonnée PQ = y. L'équation de la parabole étant y? = px (roy. ParABOLE) , nous en

tirous y=V/px, et substituant cette valeur de y dans (D),

il vient S— fax.V/pr + C.

Il s’agit donc d'intégrer dæx.\/px ou V/p.xidx. L'in-

tégrale demandée est (voy. INTÉGRAL , 14)

Vr fadi= Vos =5 x Vrz

OÙ

L’aire se réduisant à zero lorsqu'on fait x —0, on à G —\Q:

Comme V/px == y, nous pouvons poser : 2 S = 3 XV ce qui nous apprend que l'aire de l’espace parabolique APQ est égale aux deux tiers du rectangle APQB construit entre les coordonnées. L'espace curviligne AmQB est donc égal au tiers du mème rectangle.

Si nous menons la droite AQ , nous aurons un trian-

gle rectangle APQ qui sera la moitié du rectangle APQB, : ; : un: PRE et dont l'aire sera par conséquent égale à Cd Ainsi ,

retranchant ce rectangle de l'aire AmQP , il nous restera pour l’aire du segment parabolique AQy2

I I 3 TZ mé Li |

ce segment est donc la sixième partie du rectangle APOQB ou le quart de l'aire parabolique APQ.