L’équation du cercle rapportée au centre étant

VE ENG NL?

dans laquelle & est le rayon, elle nous donne y — VA — 2], et par suite («d)

S= J'V/a —2]dx + C.

En appliquant à cette expression les procédés d’intégration exposés au mot Inrécraz, 36, on obtient immé-

diatement ; par la formule marquée (38), S' — Ë TV — x + Le arc sin A +C D > a

Pour déterminer la constante C, rernarquons que l’aire S est celle qui est comprise entre l'axe des ordonnées ED, l’abscisse AP , l’ordonnée PQ et l'arc DQ (PI. 55, fig. 9) ou l'aire DAPO, elle est donc zéro lorsque x—0, ainsi CO = 0.

L’aire du quart de cercle DCA est donnée par l’ex-

pression précédente en y faisantæ = AC — a; elle est

S == Br, Â

car arc [sin —1| — : Fr , 7 désignant toujours la demi-circonférence du cercle dont le rayon est Punité. La surface entière du cercle est donc — «x, résultat connu par la géométrie élémentaire, mais qui fait dépendre la quadrature du cercle de la rectification de la circonférence , rectification impossible sous une forme finie. (P'oy. QuaDrar, pu CERCLE.) En intégrant l'expression (4) par série, on obtient TOME I,

QU 595 Re ï DES *S 3x7 “: (a — ax)" dx= ax — ne 7 2.3a 2.4.5.a3 4.6.7 a° — etc...

Cette quadrature indéfinie du cercle est due à Newton.

5. La quadrature de l'ellipse conduit comme celle du cercle à une série indéfinie qu’on obtient sans difficulté ; aussi nous ne nous y arrêterons pas. Nous remarquerons seulement que l'équation de l'ellipse rapportée au centre étant (voy. ÉLLrrse 3.)

sa quadrature dépend de

tandis que celle du cercle dont le rayon est 4, c’est-àdire égal au demi-grand axe de l’ellipse, dépend de

JVie-aax.

L’aire de l’ellipse est donc à celle du cercle comme

b S — pl V/la— x']dx est à Vie ax ou comme

b | — est à 1. On a donc «a

| . b 3 b aire de l'ellipse — - K aire du cercle = - #r—abr. a a 6. La quadrature d'une hyperbole dont les demi-axes principaux sont « et b se ramène de la même manière à celle de l'hyperbole équilatère dont le demi-axe est a; car les équations de ces courbes sont, en comptant les abscisses du sommet , UE | = Ÿ (are), parte a° et, par conséquent, leurs quadratures dépendent des expressions

ef VLez + 2°]dx , [Vue + x°]dx ;

«a l'aire de l'hyperbole non équilatère peut donc se trou- : b ; re ver en multipliant par — celle de l’hyperbole équila-

tère, Quant à cette dernière , on ne peut l’obtenir que par logarithmes ou par série ; par le premier procédé ou a

JV bar taie À (a +2) ar +2 Se læ. Log [pere

594 où et, par lesecond,

: Laits = Po 2? 3

ù DAL--L IdX —= a«X| 5x — — > —-

SV/lrax-+x | ; ÉPE AT

3xi + —> —cetc.....

7. La quadrature de l’espace asvmptotique compris entre une branche d'hyperbole et son asymptote fournit des particularités remarquables que nous devons signaler; soit CBD (PI. 55, fig. 10) une hyperbole renfermée entre ses asympiotes AE, AF qui font entre elles un angle quelconque , son équation rapportée aux asymptotes comme axes est

XY — C° p' C* .

(voy. Hsrervorr, 15). Elle donne y — 53 valeur qui, étant mise dans l'expression (II), car ici les coordonnées sont obliques , fournit

2 ‘ AxX S = €?.sin w f Le

d'où S — c? sin w. Log x + C.

Log désignant le logarithme naturel de x. Pour déterminer la constante C , supposons que Paire à quarrer soit l’aire POMB comprise entre Fordonnée PB au sommet de la courbe et une autre ordonnée quelconque QM, cette aire devant s’anéantir lorsqu'on fait x — AP, désignons AP par x et nous aurons

o — c° sin . Logrr + C d'où

C——csinv. Log l'intégrale complète est donc

S == c’sino.Logx — c? sin. Log; mais AP — PB —c; ainsi, prenant AP pour l'unité, cette dernière expression devient S = sin vw .Log Le

Donc, en considérant sin w comme le z20dule d'un sys tème de logarithmes que nous désignerons par la carac-

téristique L, comme nous avons sin +. Logx — Lx (voy. LoGanirumE) et par suite