SU

il en résulte que les espaces asymptotiques o, PQYB, PRNB, PSOB, etc., correspondant aux abscisses AP, AQ , AR, AS, etc., sont les logarithmes de ces abscisses. Dans le cas de l’hyperbole équilatère l'angle » des asymptotes est droit et sin w— 1, on à alors

Qi S= Logz ,

c'est-à-dire que les aires asymptotiques sont, daus l'hvperbole équilatère, les logarithmes naturels des abscisses correspondantes, C’est de là que vient le nom de logarimes hyperboliques donné aux logarithmes naturels. Oa voit que chaque hyperbole non équilatère donne un système particulier de logarithmes dont le module est égal au sinus de l'angle des asymptotes. Le module des logarithmes ordinaires étant 0,4342945, si l’on fait

sinw — 0,4342045,

où trouve que les asymptotes de l'hyperbole, qui répond à ces logarithmes, font entre elles un angle de 25° 44 25", 9.

8. L’équation aux asymptotes de l’hyperbole équilatère devenant

ÆXY = 1

lorsqu'on prend ce = 1, si l’on remarque que chaque abscisse AQ , AR , AS, etc. , est composée d’une partie constante AP — 1, on pourra remplacer æ par 1 +x, et cette équation sera alors

substituant cette valeur de y dans (IT), on aura , où S == 1x

Développant le binome {1+æx)--1, on obtient

(i+x)y = 1, d’où y —

, ax

S=sine fe

à cause de sin = 1.

dx — xdx + x dx — x'dx + etc...]

LE PA MERS PAT S = Logl(i+x) =x — its + Lu: — Cic...

c’est la série de M. NMercator.

9. Les exemples que nous venons de donner indiquent suffisamment la marche qu'il faut suivre pour la quadrature des surfaces planes ; celle des surfaces courbes exige d’autres principes que nous allons exposer. Cousidérons un solide 77CEy" formé par la révolution de l'aire MAx'y' autour de la droite BX,

pendant quele plan deMAx'y" décrit le solide, la courbe my'décritsa surface courbe latérale, et en particulier l'arc infiniment petit yy' décrit la surface latérale d’un cône tronqué dont la hauteur est xx'=— dx; cette dernière est l'élément ou la différeutielle de la surface convexe du solide. Or, la surface convexe d'un côue tronqué est égale à la moitié du produit de son côté par lasomme des circon- Ainsi celle du

cône élémentaire tronqué dont il s’agit est égale à la

férences de ses bases (voy. CÔNE, 7).

moitié de l’arcélémentaire yy' multipliée par les circonférences des cercles que décrivent les rayons æy etx'7". or, (x'y').27 (voy.

CErcLE). si nous désignons par ds l'arc élémentaire 7",

Mais ces circonférences étant (xy) par y l'ordonnée xy, par y+-dy l’ordonnée x'y' et par S la surface convexe du solide, nous aurons

nee = ds [y 42% + (y—dy).2r]

—= 9yrds ou

ÉO)....... dS = 2yrV/[dx?+-dy?]

en remplaçant l’arc élémentaire ds par son expression v'[dæx+dy°] eu fonction des coordonnées rectangulaires Bz —x,xy — y. (Voy. RecriricarTion.) L'intégrale de l'expression (f) IV......S — 27 /fyV{[dz+dy] + C donve la quadrature de toutes les surfaces de révolution.

o. Pour montrer l'application de la formule IV, supposons que la courbe 72y est une parabole et qu’on

veuille trouver l’aire de la surface convexe du parabo-

loïde tronqué yDC. L’équation de la parabole y?=—px donne

9yd hLy2dy?

de 27 SLA fus 24 4Y A P P

cette valeur substituée dans (IV) réduit cette formule à

arf» VAE [er] = fra w+r +p°

ainsi,

s= & [or +r]+

La constante Cse détermine, en remarquant que l'aire demandée commence à l’ordonnée Am, et par conséquent que l’intégrale doit s’'évanouir quand on y fait y = «a, en désignant Arr par &, on a donc

= [ia +r| ee

d’où

et, par suite,

S— Gp | Lo” + = [ée+r fl

En donnant à y une valeur déterminée b, on aura la surface convexe d’un tronc de paraboloïde compris entre y — aet y = b. Si l'on avait demandé la surface du paraboloïde entier qui commence à y = 0 , comme l'intégrale doit s’évanouir pour cette valeur de y, on aurait eu

— SP+C, d'où C = —° J

Ainsi la surface convexe du paraboloïde est

= Lu +r| —p}.

1, La surface de la sphère étant engendrée par la révolution de la demi-eirconférence d’un de ses grands

cercles autour de son diamètre , prenons l'équation du

cercle rapportée au sommet qui est = J?= 24x — x?

cctte équation fournit 2adx—2xdx (a—x) dx dy = nn > F a—x} dx?

dy? — ( ) —

substituant cette valeur dans (IV), il vient

27 F4 V/[e+ ee)

or / Vi + (a—x)] = 27 /f adx

à cause de

J+(a—x} = p+ae—oax+e = y'+ae — y = e.

Nous avons donc

S = 2rax + C.

Comme l’origine des coordonnées au sommet , l'intégrale doit s'évanouir lorsque x — 0, ainsi C = 0, et l'on a simplement

S = 97ax.

Pour avoir la surface entière de la sphère, il faut la prendre depuis æ = 0 jusqu'à x = 24; faisant dans cette dernière expression æ = 24, il vient

c'est-à-dire que la surface totale de la sphère est égale à

quatre fois celle d’un de ses grands cercles.

12. La formule IV n’étant applicable qu'aux solides de révolution, il faut pour tous les autres déterminer l'expression particulière de l'élément de leur surface, ce qui exige des méthodes dont l'exposition ne peut trouver place ici. Nous allons seulement indiquer, pour terminer, comment on obtient l'élément de la surface du cône oblique

Soit ASB un cône oblique, dont SE est la hauteur (PI. 55, fig. 11). Par le centre C de la base de ce cône, faisons passer un plan SAË, qui la coupe suivant un de ses diamètres AB; prenons un arc infiniment petit >2n, et menons sur la surface du cône les droites Sr et Sn, le triangle Sn sera l’élément de la surface. Menons de plus la tangente Tr, que nous prolongerons sur le plan de la base de manière à pouvoir lui abaisser une perpendiculaire SD du sommet S. Cette perpendiculaire sera la hauteur du triangle élémentaire Sran et l'aire de ce triangle sera (72),

Menonsles autres lignes de la figure et désignons par a le rayon AC de la base ; faisons de plus CE — 2, SE == a, CP—x,et Pr —7y. L'angle CT étant droit, et Pra une perpendiculaire abaissée du sommet de cet angle sur l’hypothénuse TC du triangle TC, nous

avons CP : Cm :: Cm : CT

d’où Cm a?

SP CP x”

mais les triangles semblables TC, TDE

CL Cr’: "TE.-;"ED, a ose op.up + see De

Donc le triangle rectangle SED nous donne

sD=\//[r + ee il!

Nous avons d'autre part l’arc élémentaire 27 , dont , ARC ” ” NS ONT EUE e l'expression générale est V'dx + dy, et comme il s’agit ici d’un arc de cercle, prenons la valeur de dy° dans l'équation rapportée au centre

ce ce | | , .

nous AurONS , en ja substituant dans cette expression ,

QÙ adx mn — —— , a? — x?

donc, définitivement, ù

adx

Tel est l'élément de la surface du cône oblique.

QUADRATURE DU CERCLE. (Gcom.) Aucun problème géométrique n’est plus célèbre et plus populaire que celui de la quadrature du cercle ; les tentatives innombrables dont il a été l'objet, les folies auxquelles il a donné lieu, l'importance outrée qu'on Jui a attribuée, tout concourt à donner un grand intérêt à son histoire ; aussi l'historien des mathématiques , Montucla, ne s’est pas contenté d’en faire le sujet d’un supplément à son grand onvrage, il l’a encore traité en particulier, etson Âistoire des recherches sur la quadrature du cercle n'est pas le moins curieux nile moins utile de ses travaux.

Quarrer le cercle c’est trouver le côté d’un carré qui lui soit égal en surface, ce qui ne présenterait aucune difficulté si l’on pouvait décrire géométriquement , cest-ï-dire, avec la règle et le compas, une ligne droite égale à sa circonférence; car il est démontré que la surface du cercle est équivalente à celle d’un triangle rectangle quiaurait pour base cette ligne droite et pour hauteur le rayon, et comme le côté d’un carré équivalent à un triangle est moyen proportionnel entre la moitié de la base et la hauteur du triangle, il s'ensuit que le problème se réduit à trouver la grandeur de la circonférence d’un cercle dont le rayon est donné, ou, plus généralement, à trouver le rapport du rayon ou du diamètre à la circonférence , puisque ce rapport est le même dans tous les cercles.

Archimède est le premier géomètre qui ait fait connaître une valeur approchée de ce rapport, ou du moins il est le premier qui ait trouvé deux limites entre lesquelles ce rapport est contenu. Ayant inscrit et circonscrit au cercle un polygone de 06 côtés, il montra que la circonférence étant plus petite que le périmètre du polygone circonscrit et plus grande que celui du polygone inscrit, cette circonférence devait être plus pe-

3 10 10 a tite que 3 et et plus grande que 3 et Re le diamè- € n

tre étant pris pour l'unité ; l'erreur en prenant 3 et —,

ce qui donne le fameux rapport de 3 à 22, est moin-

I F * dre que -—- du diamètre.

Long-temps après, et pour réfuter un quadrateur du cercle dont le rapport tombait probablement dans les limites d'Archimède, Adrien Métius trouva celui

de 113 à 355 qui est beaucoup plus rapproché que celui de 7 à 22, puisqu'il ne dépasse le véritable que de

——— du diamètre auplus.Nous avons déjà dit au 10000000

mot Crrcre que le rayon étant pris pour l'unité, la demicirconférence est exprimée par 3, 1415920535... etc.,

approximation portée jusqu’à 153 décimales exactes, ce qui dépasse de beaucoup tous les besoins du calcul qui, dans les recherches les plus délicates, peut se contenter de 10 décimales. On peut donc regarder le rapport du rayon à la demi-circonférence comme une quantité connue, et mème beaucoup plus exactement connue que bien d’autres dont on fait un usage jour. nalier; car personne ne s'est amusé à calculer ÿ/2, par exemple, jusqu’à la 155° décimale,

Lambert, dans les Mémoires de Berlin, 1561, etaprès lui, Legendre, dans ses Élémens de geometrie, ont démontré que la circonférence est incommensurable avec le diamètre, ce qui établit l'impossibilité absolue de trouver deux nombres entiers qui puissent exprimer leur rapport, nombres, du reste, dont la découverte, si elle était possible, ne présenterait qu’un simple intérêt de curiosité. Il reste donc seulement à savoir si l’on ne pourrait exprimer ce rapport soit par un nembre irrationnel simple, soit par une combinaison de nom: bres irrationnels, et, dans ce dernier cas, s’il ne serait pas possible d’en effectuer la construction géométrique, car des nombres irrationnels peuvent très-bien se construire géométriquement tant qu’ils ne dépassent pas le second degré. Ainsi, le rayon étant l'unité, en désigoant, comme c’est l'usage, par r la demi-circonférence , il s’agit de déterminer la zature ou l'expression théorique du nombre 7; mais nous avons déjà vu (CERCLE, 34) que cette expression théorique primitive

est I I

AH iv) ire ft +V V

donc les radicaux qui entrent dans la génération de ce

nombre sont d’un ordre #nfini, et il ne peut être, par conséquent, réalisé dans le domaine des objets sensibles par aucune construction numérique ou géométrique finie.

L'erreur principale de ceux qui se livrent à la recherche de la quadrature du cercle, et il y a encore beaucoup plus de gens qui s’en occupent qu’on ne pourrait le croire, c’est de supposer qu'il doit nécessairement exister une ligne droite égale en longueur à toute ligne courbe donnée, ce qui n’est pas plus vrai que de supposer qu'il existe nécessairement un nombre entier ou fractionnaire égal à une racine detout nombre donné. En effet, la conception d’une ligne courbe repose en principe surune génération continue de l’espace, de la même ma-

QU 307 nière que celle d’une racine repose sur une génération continue des nombres, taudis que les conceptions d'une ligne droite et d'un nombre entier reposent sur une génération dscontinue. Ainsi, et comme à l'exception des cas particuliers et contingens où la racine générale nt

v A est un nombre entier, cette racine est un nombre d’une nature supérieure qui sort entièrement de la classe des nombres entiers et ne peut être exprimée par eux, à l'exception du très-petit nombre de lignes courbes rectifiables (voy. Rrcriricarion), c'est à dire qui sont égales à des lignes droites; la ligne courbe en général est d’une nature supérieure où transcendante qui sort entièrement de la classe des lignes droites et quine peut être représentée par elles. La génération continue des lignes courbes se manifeste surtout dans les courbes rentrantes en elles-mêmes et particulièrement dans le cercle où cette coutinuité indéfinie de génération est au plus haut degré. Cet aperçu , au défaut de l'expression citée plus haut de +, qui décide complètement la question, est suffisant pour montrer l’inutilité de toutes recherches ultérieures sur la quadrature du cercle, problème résolu aujourd’hui de toutes les manières possibles et sur lequel ne peuvent plus s'exercer désormais que des personnes entièrement étrangères à

la géométrie.

QUADRATURE. (454) On donne ce nom aux points de l’orbite d’une planète qui sont à égale distance de ceux de la conjonction et de l'opposition. Par exemple la lune est dans les guadratures, lorsqu'elle se trouve dans l’une des deux positions MAQZ (PI. 98, fig. S) également éloignées de la conjonction O et de l’opposition L. (Foy. Lux.)

QUADRILATÈRE. (Géom.) Polygone de quatre côtés et de quatre angles.

On nomme en particulier quarre le quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux et les quatre angles droits; rectangle, celui dont les quatre angles sont

droits, sans que les côtés soient égaux ; /ozange ou

- rhombe, celui dont les côtés sont égaux sans que les an-

gles soient droits ; parallelogramme, celui dont les côtés opposés sont parallèles ; etenfin trapèze, celui qui n’a que deux côtés parallèles, (Foy. ces divers os.)

Dans tout quadrilatère Va somme des quatre angles est égale à quatre angles droits. Ceux dont la somme des angles opposés est égale à deux angles droits peuvent être inscrits dans le cercle, et la somme du rectangle construit entre leurs côtés opposés est équivalente au

rectangle des deux diagonales.

QUADRILLON. (Arüh.) Mille willons. (Foy. Ani- TUMETIQUE, 16.)

QUADRINOME. ( Alg.) Quantité composée de quatre termes comme a +-b + ce + d.

QUADRIPARTITION. Partage en quatre parties

d’un nombre ou d’une figure géométrique.

QUANTITE. Toutce quiestcomposé de parties ou tout ce qui est susceptible d'augmentation et de diminution. Le nombre est une quantité numérique ; l'étendue, une

quantité geométrique. (Foy. MATHÉMATIQUES.)

QUANTITÉ DE MOUVEMENT. (/cc.) Nom que l'on donne au produit de la masse d’un corps par sa vitesse, Ce produit représente l'intensité de la force qui meut le corps, de sorte que la quantité de mouvement est la mesure de la force motrice. (Foy. MÉcaniQuE, 14.)

Les questions de Dvyriamique se ramènent aux considérations simples de l’équilibre à l’aide du principe de d’Alembert, dont voici l'énoncé : si lon considère un système de points matériels liés entre eux, de manière que m2, mm, mm", etc., représentant leurs masses, p, v’, v’,etc., sotent les vitesses respectives que ces masses acquerraieut , dans le cas où elles seraient libres, par l'application de forces déterminées, tandis qu’en vertu de leur liaison elles reçoivent les vitesses effectives u, u',u", etc. , les quantités de mouvement perdues ou gagnées dans le système doivent toujours se faire équilibre.

Lan effet, si nous désignons par p, p', p', etc., les vitesses perdues ou gagnées par les masses »2, m', m", etc., par suite de leur liaison, w et p seront les composantes &e », w'et p' celles de s', etc. ; on peut donc à la place de v, »’, v”, etc. , substituer les vitesses

u et p composantes de #

u'et p' composantes de v’ u" et p' composantes de v” etc.

etc. etc.

et alors les quantités de mouvement qui entrent dans le système, considéré comme libre, et qui sont »w,

m'v', m'v", etc., deviendront

mu, mu, m'u, etc.

mp, m'p', m'p", etc,

Mais puisque, d’après l'hypothèse, lorsque les masses mm, m', m", etc., ue sont plus libres, ces quantités de mouvement doivent se réduire à

mu, m'u', m'u, etc.

il en résulte que les quantités de mouvement mp, r1p', "p", etc., doivent alorsse faire équilibre. Or, 2p, mp np", etc., sont les quantités de mouvement perdues et gagnées.

Puisque la force mv est la résultante des deux forces nu et mp, et qu'en général il y a toujours équilibre

entre trois forces dont l’une serait égale et directement opposée à la résultante des deux autres, les trois Forces mu, mp et — mv doivent être en équilibre. Ainsi, en considérant à son tour 7?p comme égale et d’un signe contraire à la résultante des deux autres forces, il faudra que — mp soit la résultante de 140 et de — mv, ou, ce qui est la même chose, que z1p soit la résultante de — muet de H nv. Par la même raison z'p' est la résultante de — m'u' et de + m'v'"; mp" celle de — mn'u" et de + m"v", etc. Donc toutes ces forces mp, m'p', mp", etc. , se faisant équihbre, il y a aussi nécessairement équilibre entre les forces av, m'v" me", etc. , et les forces — mu, — mu, — mu", etc. ; c'est-à-dire qu'ily a équilibre entre les quantités de mouvement mw, m'v', m'v", etc. , imprimées aux mobiles et les quantités de mouvement qui ont effectivement lieu, chacune de ces dernières étant prise en sens contraire de sa di. rection. Ce second énoncé du principe de d’Alembert a l'avantage de rendre les équations d'équilibre indépendantes des vitesses perdues où gagnées p, p', p", etc.

Appliquons ce principe à quelques problèmes de Dynamique.

1. Déterminer la vitesse commune qu'auront après leur choc deux corps durs À et a qui se meuvent dans le méme sens.

Soient V la vitesse de A, v celle de à et x la vitesse commune cherchée, Après le choc la vitesse v devenant æ, la vitesse perdue par A est V — x, tandis que la vitesse gagnée par a est — v. Ainsi les quantités de mouvement dues à ces vitesses perdues et gaynnées devant se faire équilibre, et ces quantités de mouvement étant A(V—x), a(x—v), nous avons

d’où

(Foy. Cnoc, 1.)

2. Déterminer le mouvement de deux corps Q et P (PI. 30, fig. 1) qui, étant attaches l’un au cylindre et l'autre à la roue d’un treuil (voy. ce mot) le tiennent en équilibre.

Les corps Q et P, étant sollicités par la pesanteur, dont nous représenterons la force par g , s'ils étaient libres, auraient dans l'instant d£ la vitesse gd; soient donc dv et dy' les vitesses effectives de ces mobiles ; gdt — dv sera la vitesse perdue par le corps Q et gdt— dv' la vitesse perdue par le corps P, ainsi les quantités de mouvement perdues seront

Q(gdi—dv), Pigdt—dv)

et ces quantités doivent se faire équilibre à l’aide du treuil. Or, la condition d'équilibre, dans cette machine,

est que les forces soient en raison inverse des rayons où elles sont appliquées; désignant donc par r le rayon du cylindre et R celui de la roue, nous aurons

Q(gdi—dv) : P(gdi—dv') :: R:7r d'où

Qrigdt—ds) = PR(gdt—dv')

Mais, d'autre part, les vitesses dv et dv' sont en sens contraire l’une de l’autre, et, par la nature du treuil, elles sont entre elles comme les rayons, de sorte qu’on

a aussi Rdv + rdv — 0

Combinant cette équation avec la précédente, on trouve

dv — Or Le PÉ: gdt a de,

Les coefficiens de gdt, dans l’une et dans l’autre de ces valeurs, étant des quantités constantes , on voit que les mouvemens des corps Q et P sont uniformément variés et qu'ils ne diffèrent de celui d’un corps pesant, libre dans sa chute, que par l'intensité de la force accélératrice.

QUARRÉ ou CARRÉ. (Geom.) Quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux et les quatre angles droits.

La surface d’un quarrése trouve en multipliant par lui-même le nombre qui exprime la longueur de son côté. (Foy. Aire.)

La diagonale d’un quarré est incommensurable avec son côté, car, d’après la propriété du triangle rectangle, la seconde puissance de cette diagonale est égale à la somme des secondes puissances de deux côtés du carré, ou, ce qui estla même chose, égale au double de la seconde puissance du côté. Ainsi, désignant par A le côté et par B la diagonale, on a

B? — 24°, d'oùB:= y2A— AV,

la diagonale d’un quarré est donc à son côté dans le rapport de 1 à V/2.

En Algèbre , la seconde puissance d’un nombre se nomme encore le quarré de ce nombre , comme on dit aussi la racine quarrée , pour la racine seconde ; ces dénominations, empruntées de la géométrie, sont d’un usage général. Quelques auteurs emploient l’expression d'équation quarrée , pour équation du second degré où équation quadratique (voy. QuanrariquEr). Les anciens géomètres nommaient quarré quarré la

quatrième puissance d’un nombre; par exemple, af était pour eux un quarré quarré.

Depuis quelque temps l’usage s'établit d'écrire le mot quarré avec un c : carré, ce qui lui fait perdre ses rap-

ports d’étymologie avec quadrature.

QUARRÉ MAGIQUE. (4rith.) C’est un quarré divisé en cellules, dans lesquelles on dispose une suite de nombres en proportion arithmétique , de telle manière que les sommes de tous ceux qui se trouvent dans une même bande horizontale, verticale, où diagonale, soient

toutes égales entre elles. Tel est le quarré suivant

où l’on trouve 4 +3 +8 —9+ 5 +1 =9 + 73 +6— K+O+2= 345 += 8+r+6—4 +546 =2+5+8— 1,5.

L'origine des quarrés magiques parait se rattacher à quelques idées superstitieuses de l'antiquité. Cependant Emmanuel Moscopule, auteur grec du XIV' siècle, et le premier qui les ait fait connaître , s’est contenté de les présenter comme une curiosité arithmétique. Au commencement du XVII siècle, les difficultés que présente la construction de ces quarrés les fit étudier par Bachet de Meziriac, Frénicle, Lahire et plusieurs autres qui obtinrent des résultats assezremarquables, mais dont tout le mérite consiste dans l’adresse des arrangemens , car c’est un simple jeu qui ne peut conduire à rien d’utile. Lahire a consigné ses recherches sur ce sujet dans

les Mémoires de l’Académie pour 1505.

QUARRER. On dit quarrer un nombre pour exprimer qu’on le multiplie par lui-même.

Quarrer une figure géométrique cest trouver un quarré dont la surface soitégale à la sienne. (Joy. Qua-

DRATURE.) QUART. (4rith.) Quatrième partie d’un tout.

QUART DE CERCLE. (Géom.) Arc de 9o° degrés ou quatrième partie de la circonférence. C’est la mesure d’un angle droit.

Quanr pe cereLe. C’est un instrument astronomique qui sert à mesurer la hauteur d’un astre au-dessus de

l'horizon.

QUARTIER DE RÉDUCTION. (Nas.) Quarré de carton partagé en plusieurs petits quarrés par des lignes paralleles à deux de ses côtés contigus, dont l’un repré-

sente la ligne nord et est, l’autre la ligne est et ouest.

Il ya de plus des arcs de cercles décrits du sommet de l'angle qui représente le centre avec des rayons qui forment huit rumbs de vent ; un fil partant du mème centre s'étend sur les degrés intermédiaires entre chaque air de vent. À l’aide de cet instrument on s'épargne la peine de tracer ou de calculer les triangles dont on a

besoin pour résoudre les problèmes de navigation.

QUARTIER ANGLAIS. (Nav.) Instrument dont on se servait pour prendre eu mer la hauteur des astres, et que le quartier de réflexion à fait abandonner. On en trouve la description dans les anciens traités de navi-

gation.

QUARTIER DE RÉFLEXION , OCTANT. (Ast.) C’est le plus parfait des instrumens qu'on ait imaginés jusqu'ici pour observer en mer les hauteurs et les distances des astres ; il est du à Halley. Sa construction et son usage sont fondés sur la propriété qu’ont les rayons lumineux de se réfléchir sur les miroirs plans en faisant un angle de réflexion égal à celui d'incidence.

Si AB et CD (PL 56, fig. 1) sont deux miroirs plans et qu'un rayon de lumière venu suivant la ligne OE rencontre la surface du miroir AB, il seréfléchiraenE, de manière que sa nouvelle route sera EF; arrivé en F sur la surface du miroir CD, il se réfléchira de nouveau par la droite FS , et parviendra à un œil placé dans la direction de cette droite, après avoir ainsi formé l'angle SAË égal à l'angle BEF et l'angle EFC égal à l’augle EFO. Imaginons maintenant que l’on fasse tourner Je miroir CD autour du point F, d’une quantité angulaire quelconque CFC'; il est évident que, l'angle d'incidence du rayon EF devenant plus petit, l’angle de réflexion deviendra également plus petit, et par conséquent le rayon réfléchi ne sera plus FS , mais FS' qui fait avec FS un angle FSF", double de celui que fait la direction actuelle du miroir avec sa direction primitive, c’est-à-dire double del’angle C'FC. En effet l’angle EFS compris entre le rayon incident EF et le rayon réfléchi SE vaut deux angles droits, moins la somme de l'angle d'incidence et de l'angle de réflexion , ou moins le double de l'angle d'incidence ; donc si, par le mouvement du miroir, l'angle d’incidence diminue ou augmente d’une certaine quantité, l'angle compris entre l'incident et le réfléchi augmentera au contraire ou diminuera du double de cette quantité. Ainsi, si nous supposons qu’un œil placé en Osur la droite OE voie l’objet S à l’aide des deux miroirs AB et CD, en vertu desdeux réflexions que le rayon SE éprouve en F et en E, il ne pourra voir le même objet parvenu en S' qu’autant que le miroir AB, conservant la même situation, on fera tourner le miroir CD d’une quantité CFC' moitié de l'angle S'FS compris entre les deux positions de l’objet. C’est d’après ces principes que l’octant est construit.

La figure > de la planche 56 représente cet instrument. BAC est un demi-quart de cercle dont l'arc BC est divisé en go parties. Au centre À, et perpendiculairement au plan de l'instrument , est placé un miroir plau fixé à l’alidade AD et mobile avec elle autour du centre, À quelque distance de A est placé perpendiculairement et d'une manière fixe sur le côté AB un petit miroir plan de glace dont il n’y a qu’une partie qui soit étamée , savoir, la partie inférieure ; l’autre partie est transparente et sert à voir directement l'horizon auquel on vise à l’aide d’une pinnule ou d’uve petite lunette qu’on place sur le côté AG , de manière que son axe répoude, sur le miroir, au milieu de la ligne qui sépare la partie étamée de la partie transparente. La position du miroir K et celle du miroir A doivent être telles, que lorsque l’alidade AD tombera sur le rayon AC, qui va au point zéro de la graduation de l'arc BC, A soit parallèle à K..

Pour prendre la hauteur d'un astre avec cet instrument, il faut le tenir verticalement et viser à l’aide de la lunette au terme de l'horizon, puis faire descendre l'alidade de C vers B jusqu’à ce qu'on voie arriver l'image de l’astre sur la partie étamée du petit miroir et qu’elle se place sur une même ligne avec l'horizon vu par la partie non étamée; alors l’angle CAD parcouru par l’alidade , et par conséquent par le miroir D , est précisément la moitié de l'angle de hauteur HAS ; et comme l'arc BC de 45° est divisé en 60 parties, quisont par conséquent d’un demi-degré chacune, il s'ensuit que l’on a immédiatement le nombre de degrés de la hauteur HAS par celui des demi-degrés de CD.

Cet instrument a été beaucoup perfectionné depuis Halley.

QUEUE DU DRAGON. (451.) Nom que l’on donne au nœud descendant de la lune ; on le représente par le signe 5.

QUINDÉCAGONE. (Géom.) Polygone de quinze côtés et de quinze angles. (Foy. Porxcoxe.)

L’angle au centre d'un quindécagone régulier étant de 24 degrés , on peut inscrire cette figure dans un cercle en portant le côté de l'hexagone et celui du décagone dans le cercle, de manière qu’ils soient des cordes partant d’un même point de la circonférence, car la différence de l'arc de l'hexagone à celui du décagone est

précisément un arc de 24°.

QUINTAL. ({7ét.) Poids de cent livres, dans l’ancien système des mesures françaises. Aujourd'hui le

quintal métrique vaut cent kilogrammes.

QUINTILE. (4st.) L'aspect guintile est la position de deux planètes distantes l’une de l'autre de 72° ou

RA d’un cinquième d’un grand cercle de la sphère céleste. (Foy. Asrecr.)

QUINTUPLE. (4rith.) Se dit d’une quantité cinq fois

RACINE, (4/g.) Base d’une puissance, ou nombre qui successivement multiplié par lui-même produit une puissance. Si À, par exemple, multiplié par lui-même un certain nombre de fois produit B, A sera la racine de B, et nommément la racine seconde dans le cas de A X A—B; la racine troisième dans le cas de À X A XA—B,eten général la racine mième dans le cas de A” — B.

On désigne une racine par le signe V/ qu’on nomme un radical, en mettant à sa partie supérieure le nom-

bre qui indique le degré de la racine et qu'on nomme

l’exposant ; par exemple V/B désigne la racine troisième de B. Lorsqu'il s'agit de racines secon des où carrées, on n'écrit pas l’exposant qui est sous-entendu,

de sorte que VB signifie racine carrée de B.

L'opération par laquelle on trouve la racine d’une quantité proposée se nomme ex/raction des racines. (Foy. ce mot. Foy. aussi, pour la nature des racines en général, ALcivre, 28, et Imacinaine.) RAGINES DES ÉQuATIONS. On donne encore le nom de racines aux valeurs des quantités inconnues qui entrent dans les équations, Par exemple l'équation

admettant les valeurs x = 2 etx = 3,2et 3 sont ses racines.

Nous avons vu (ÉQuariow, 16) qu'une équation sdmet autant de racines différentes qu'il y a d’uuités dans le nombre qui marque son degré.

On divise les racines des équations en deux classes, celle des racines réelles et celle des racines imaginaires. Les racines réelles sont commensurables ou incommensurables ; dans le premier cas, on peut obtenir leurs valeurs par la méthode die des racines commensurables ; dans le second cas, il faut avoir recours aux r6thocdes d'approximation, sauf les cas très-peu nombreux où ilest possible d’avoir directement l'expression théorique des racines. Nous allons indiquer les divers procédés à l’aide desquels on trouve les valeurs des racines d’une équation.

1. RaGINES commensurances. Dans toute équation à une seule inconnue, le terme absolu, c’est-à-dire celui qui ne contient pas l’inconnue, étant égal au produit de toutes les racines (voy. ÉQuariox, 17),est exactement divisible par chacune de ces racines. Ainsi, lorsqu'une ou

Toux 1.

plus grande qu’une autre. Ainsi 30 est quintuple deG.

QUOTIENT. (4rith.) Résultat de la division d’un nombre par un autre, (Voy. Division.)

hi.

plusieurs de ces racines sont des nombres entiers, on pourra toujours obtenir leurs valeurs cn cherchant, parmi tous les diviseurs exacts du terme absolu, quels sont ceux qui satisfont à l'équation. Dans l'équation cidessus

le terme absolu 6 a pour diviseurs 1, 2, 3, G, et il est facile de voir, en substituant successivement chacun de ces nombres à la place de x, soit avec le signe L, soit avec le signe —, que les deux diviseurs L 2 et + 3 sont les racines de cette opération.

Lorsque le terme absolu contient un très-grand nom bre de diviseurs, ces substitutions entraînent des calculs prolixes qu'on abrège, d’abord en n’essayant que ceux des diviseurs qui se trouvent compris entre les limites des racines, et ensuite en faisant usage, au lieu des substitutions successives, d’un procédé dont nous allons faire connaître les principes.