Traitons maintenant l'équation

ai 5x — 3x7 — 35x — 28— 0; la substitution de + 1 et de — 1 à la place de x donne

d’où l’on voitque — 1 est uneracine. Mais alors au lieu d'appliquer la méthodeà l’équation proposée, il devient plus simple de l’abaisser d’un degré, au moyen de la racine connue ; Car puisque 4 —— 1,x —- 1 est un diviseur de cette équation, et en opérant la division, on

aura pour quotient l'équation du troisième degré qui

pe

RA

contient les trois autres racines de la proposée. Ce quotient donne

Essayant d’abord -H 1 et — 1 , on trouve 1+4—7—28 — — 30 —1+4+7—28— — 18

donc aucun de ces nombres n’est racine. Or, les autres

> 4 7) 14, 28 ; les calculs dont voici le tableau :

diviseurs de 28 étant 2 on exécutera

Ah; D 4, — 7 —14, +4,47, 4,+ 2,+

— 8,— 9; —it;—14, #21, + 7, 0,—3,— 5;— 6 Da CD NES, D », O0, », », »

LE », ») », », D— 1, D», Ds »

Il en résulte qu'il n’existe qu’une seule racine commensurable x = — 4. Nous devons faire remarquer en passant qu’on doit toujours considérer o comme un nombre dont le quotient entier est o, quel que soit le diviseur.

Connaissant la racine — 4, si l’on divise l’équation du troisième degré par x +4, on obtiendra l'équation du second degré qui renferme les deux autres racines de la proposée ; cette équation est

X° — 7 = dont les racines sont æ = + V/7 et x = —\/5; ainsi les 4 racines de la proposée sont x = — 1,4 —=—#4, x =+V/7,x——\/7 et cette équation est la même

chose que le produit x +1) (x+44) (x+ V7) (à—V/7) = 0

8. Pour appliquer la méthode des racines commensurables àtoute équation proposée, il faut préalablement

la ramener à la forme at + Ami Æ Bam—z Æ etc... + Rx + S —

dans laquelle la plus haute puissance x’: a l’unité pour coefficient , et tous les autres coefficiens A, B, C, etc. , sont des nombres entiers, y compris Zéro; car, sous cette forme , les racines commensurables de l'équation ne

peuvent être que des nombres entiers. En effet, s’il existait une fraction ÿ ui püt être racine de cette équation , enla substituant à la place de +, on aurait

art

Rue

an—

dima Le + B -— D LU etc... + R ÿ T9=0.

Ainsi, multipliant tous les termes par b—1 et les trans

RA 405 posant dans le second membre, à l'exception du premier terme , on obtiendraïit

at

ss Aan—1 — Ban—: — etc... — Ra —5s

mt

a soi :

et comme F: est une fraction ct que par conséquent F

est aussi une fraction, le second membre de cette égalité devrait être également une fraction, ce qui est impossible, si les coefficiens À, B, C entiers.

3, etc., sont des nombres

9. Is’agit donc de ramener toute équation, à coefficiens fractionnaires, à la forme en question , ce qui ne présente aucune difficulté. Soit, pour fixer les idées, l’équation du /{° degré

& 4 ge 3 ee 5 … #, notant tpe TIRE 0e

On divisera d’abord toute l'équation par le coefficient de x‘, ce qui la ramènera à la forme

puis en réduisant toutes les fractions au même dénominateur, on obtiendra

chfhh Ë ebdhk gbdfr bidfl Ta adfhk” # adfhk + adfuk . adfhk ds.

ou , simplement (a) P La nie se AR 4 re + ML EL

Prenant maintenant une nouvelle inconnue y et faisant

æ —="*-,ontrouvera, en substituant , HE dE AC mi Fa mm mm m

puis, en divisant le tout par /nf

, Î î P:nr .mi 3 gen” mi y Fr S.n — = 0 J° ss nt, mm 4 “ mn D mn sa 71

équation dont tous les coefficiens sont visiblement des nombres entiers , et qui donne, en retranchant les facteurs communs (b)

Yi + py + qu + renvy + sm = 0

chacune des racines de cette dernière, divisée par 2, donnera une des racines de la proposée.

10. In examinant l'équation (a) et sa transformée (b), on voit qu'on peut immédiatement passer de l’une à l'autre en multipliant le second terme de (a) par le dé-

nominateur commun 72, le troisième par 7#°, le quaième par re et le cinquième par at; d'où l'on peut conclure cette règle générale.

Après avoir fait disparattre le coefficient du premier terme et réduit tous les autres coefficiens au méme dénominateur, on muliipliera chaque terme par ce deno minaleur commun élevé & une puissance dont l’exposant est Le nombre des termes précédens, puis on changera x en elles racines de l'équation en y divisées par le dénominateur commun seront celles de la proposée.