Appliquons cette règle à l'équation

3xi — 1 x + ma —7x+2—0, divisant tout par 3 et réduisant ensuite au même dé-

nominateur, il vient

ni À 3 14 #2 14 : = pe +- — — + si (e) ch ds 6 : 6 °

multipliant le second terme par 6, le troisième par 36, le quatrième par 216, et le cinquième par 1096, ou, ce qui revient au même et ce qui est plus simple, retranchant le dénominateur commun 6, et multipliant le second terme par 1, le troisième par 6, le quatrième par 36 et le cinquième par 216, la transformée en y

sera Si — 7 +84 7° — 5047 + 864 — 0

Pour traiter cette dernière par la méthode des racines commensurables, substituons d’abord + qui donne

Aïosi ni r,ni— 1 ne sont racines de cette équation. Les autres diviseurs de 864 étant 2, 3, 4, 6,8,

P AJ ya LE DR PQ RE Les 12, 10, 15, 24; 32, 50, 45, 24 7°

288, 432, 864, pour éviter les calculs inutiles il faut

, 96, 108, 144, 216, v’essayer que ceux de ces nombres qui ne dépassent pas les limites des racines tant positives que Dégalives ; limites que nous allons appreudre à déterminer.

12. On nomme lite supérieure des racines positives A'une équation tout nombre positif qui surpasse la plus grande des racines positives de cette équation, comme aussi on nomme dite supérieure des racines négatives toat nombre qui surpasse la plus grande des racines négatives. Une limite supérieure est donc susceptible d'une infinité de valeurs, et la question est de trouver la plus petite possible de ces valeurs.

Il est d'abord évident que tout nombre qui, mis à la plice de x dans une équation, rend son premier terme

glus grand que la somme de tous les autres, est une li

mite supérieure des racines positives , car sa substitution donnant pour résultat un nombre positif, et la substitution de tout autre nombre plus grand donuant, à plus forte raison, un résultat positif, il ne peut y avoir aucune racine positive qui le surpasse, Or, pour trouver un nombre capable de rendrele premier terme d'une équation plus grand que la somme de tous les autres, prenons le cas le plus défavorable, celui où tous les termes à partir du second sont négatifs,

comme

an — Ami Barnt—i—etc...—Qx— Rx —S —=0o,

et cherchons quel est le nombre qui, mis à la place de x, peut donner

am > Agm—i EL Ban—a Letc... +Qx +HRxr—S.

Si nous désignons par M le plus grand de tous les cocfficiens, il est visible que tout nombre substitué à x, qui pourrait satisfaire à l'inégalité (4)

am > Mani Man: L etc... + Ma? + Mr + M

satisferait, à plus forte raison, à l’inégalité proposée : ainsi Occupons-nous d’abord de cette dernière,

Les termes du second membre de l'inégalité (#) forment-une progression £éométrique dont M peut être considéré comme le premier terme, x le rapport et m le nombre des termes ; on à donc, pour leur somme

(roy. Proc, Géo. , 5), l'expression

et par conséquent l'inégalité ({) peut être mise sous la forme

Si nous faisons æ — M, le premier membre devient M et le second

ir M—1: ?

Mri+ Lt

quantité plus grande que M”, car en effectuant la division, on trouve

Mm+i—r M—1

— Mn + Mit Mr—2 + BIC.

Mais en faisant x — M +- 51, ce second membre devient

et comme le premier est alors{M + 1)", on a évidem-

ment

(M + 1} > (M +- 1} = Je

Ainsi, M+1,oule plus grand coefficient négatif augmenté de l'unité, substitué à la place de x, rend le premier terme de l’équation plus grand que la somme de tous les autres ; ce plus grand cocfficient ainsi agmenté est done une limite supérieure des racines positives de l'équation.

13. Commeil est rare qu'une équation ne renferme pas quelques termes positifs autres que le premier, la limite que nous venons de trouver est ordinairement beaucoup trop grande, et l'on doit s'attacher à la dimi-

nuer le plus possible. Soit

æmAxm—i LE Ram + etc... — Man-n— Nym—n—-:i —etc...— Qx—S—=0

une équation dont les premiers termes sont positifs, et dent le premier des termes négatifs Mæ”—" est celui du rang n+-1; supposons que tous les autres termes sont négatifs, et de plus qu'ils aient tous le plus grand coeffcient M, alors tout nombre qui mis pour æ reudra

am >> Mann Mann etc... +Mx+M

rendra à plus forte raison æ” plus grand que la somme de tous les autres termes de la proposée. Nous pouvons donner à cette inégalité la forme