Appliquons cette théorie à l'équation du n

pi — 7 + Bay” — y ++ 864 = 0.

Le second terme étant négatif, la limite supérieure deg racines positives est le plus grand coefficient négatif 504 augmenté de unité, de sorte que nous sommes forcés ici d'essayer tous les diviseurs plus petits que 505, c’est ä-dire tous les diviseurs de 864 moius un seul, 864 lui-

même, Substituant — y à y, la proposée devient JS + 7 + 84° + Soky + 864 — 0,

équation qui n’a aucun terme négatif, et dont par conséquent la limite des racines positives est zéro, car en y substituant zéro ou tout autre nombre plus grand à la place de y, on obtient toujours un résultat positif, ce qui indique qu'il n'y a pas de racines positives, et par conséquent que la proposée n'a pas de racines négatives. D'après la règle de Descartes (voy. Stan), l’'inspection seule de la variation des signes + et — 1 dans les termes de la proposée suffirait pour faire reconnaitre l'absence des racines négatives. Ces considérations réduisent à 20 le nombre des diviseurs qu'il faut essayer, mais ce nombre est encore assez grand pour faire désirer un procédé d'exclusion à l’aide duquel on puisse le diminuer, Eu voici un très simple dû à Newton.

Substituez successivement + 1 et — 1 à la place de x dans la proposée, ce qui vous donnera deux résuliats. Nous les désignerons, le premier par P et lesecond par Q.

Tout diviseur qui, diminué de l'unité, ne divise pas P et qui, augmenté de l'unité, ne divise pas Q, ne peutétre racine de l'équation.

Si la réciproque de cette proposition était vraie, c’estä-dire si tout diviseur qui satisfait à ces conditions était par cela seul une racine, où aurait un procédé aussi prompt que simple pour reconnaitre les racines commensurables; mais il n’en est pas ainsi, et tout ce que l’on peut demander à cette règle, c'est de faire connaître les diviseurs qui ne peuvent être des racines ; il faut ensuite soumettre les autres à la méthode indiquée.

Cette règle est fondée sur ce que 4, étant une racine

de l'équation générale

a + Ami Æ Bzm-2 L etc... + Rx +S = 0

son premier membre est exactement divisible par x—a, ce qui donne l'identité

ao Acom—i + Barre Æ etc... + Res — (x—a) (ami A'um—2 + etc. ++ 5)

A',B', etc., étant des nombres entiers. Or, comme cette identité est indépendante de toute valeur particulière de

x, si l'on y fait x — 1 , on doit avoir encore 1H A+B—etc.. .HR+S — (1—a) (14 A'#etc... +5") d’où

14 A-+B+ etc...+R+S

1—-A'H etc...+s".

Ainsi, puisque le second membre de cette égalité est un nombre entier, il duiten être autant du premier, et 1 A+ B<+Hetc... +R+S doit être exactement divisible par 1 — & ou par & — 1 , en changeant les signes.

Eau substituant — 1 à la place de x, on verrait de même que le résultat est exactement divisible par — 1 — a, où para 1; d'où il résulte la règle précédente.

16. Nous avons vu (11) que la substitution de + 1 dans l'équation qui nous occupe donne pour résultat 438, et que celle de — 1 donne 1460, le premier étant le plus petit ; nous nous en servirons d’abord et nous le diviserons successivement par 2—1,3— 1,4 — 1, G6— 1, etc... jusqu’à 216 — 1 seulement; car il est évident que les autres diviseurs de 864, savoir, 288 et 432, se trouvent tout naturellement exclus. En opérant ces divisions, on trouve que les seuls nombres 2—1, 3— 1 et 4 — 1 divisent exactement 438 ; ainsi tous les diviseurs autres que 2, 3 et 4 se trouvent déjà exclus : mais ceux qui nous restent doivent encore , en les augmentant de l'unité, diviser exactement 1460 ; opérant donc ces divisions et rejetant les nombres qui ne donment pas des quotiens exacts , il ne nous reste définitivement que les facteurs 3 et 4 auxquels il faut appliquer la méthode indiquée n° 3. Voici le calcul :

+ + 4 +- 288, + 216 -— 216, — 288 — 792, — 72 + 12, + 12 + sus ÿ a Ro 4 — I, — 1

3 et 4 sont donc tous deux racines de l’équation en y,

et comme & — et 4 sout deux racines de l’é-

quation proposée en x.

Pour obtenir les autres racines, divisons l'équation en y pary—3,et ensuite par y—4, où immédiatement par (9—3) (yÿ—4) = y — y + 12;0n obtient l’équation

qui fournit les deux racines imaginaires y —+ 1/99,

— — V—572. Les quatre racines de la proposée en x sont donc définitivement

2 — ue — 3 TZ = +V—2,x—=—V —2.

17. On peut immédiatement appliquer les méthodes précédentes aux équations de la forme

Par + Qui + Rai etc... Ux + V — o

lorsque P, Q ,R, etc. sont des nombres entiers, sans avoir besoin de faire disparaitre le coefficient P du premier terme Px”: ; il faut seulement observer que dans l'opération sur les diviseurs de V, le dernier résultat qui indique qu’un diviseur est racine, doit être — P au lieu de — 1. En effet, reprenons les transformations du n° 4, en les effectuant pour mieux fixer les idées

sur l'équation du quatrième degré, Pari + Qu + Ra E Sx LT —o;

a étant une racine entière de cette équation, nous avons

T = — Pai — Qu — Ra — Sa; ainsi divisant successivement par & et faisant passer dans le premier membre après chaque division le coeffcient qui devient isolé, nous aurons la suite d’opéra-

tions UE a Ent — = — Pa —Qa—R a Lys EN +R (4 ——Pa—Q «a Des —— +R + EE a