Prenous pour exemple l'équation

RA 19 zi— 68 x} + 97 x° + 7x —30—0

dont le dernier terme 30 a pour diviseurs 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. La substitution de + : et de — 1 donne d’abord

puis, en appliquant la règle du n° 15, on trouve queles facteurs à essayer se réduisent à + 3, — 2. Voici le calcul :

l'équation proposée n’a donc qu’une seule racine entière quiest + 3. En la divisant par x — 3, on obtient l’équation

19 x — 322 + x Lio —0o

qui renferme les trois autres racines de la proposée. Cette dernière pouvant encore contenir des racines commensurables, non plus entières, mais fractionnaires,

5 à : Y on fera disparaitre le coefficient 12 en posant x = —

et l’on obtiendra une transformée en y, JF — 32 x° + 12x Li4ho— 0

qui, étant traitée comme ci-dessus, fournira les racines > —=8,y7—3oey —06, d'où l’on conclura que les racines de la proposée sont,

5,8, 46 ous, 2, 5 1212 12 > 19. Si une équation proposée renfermait des racines

entières égales, les méthodes que nous venons d’exposer ne feraient trouver qu’une seule de ces racines, et ce n’est qu’en abaissantle degré de l'équation par la division , lorsque cette racine serait connue, qu’on pourrait, en opérant de nouveau sur l'équation réduite, trouver une autre de ces racines égales, et ainsi de suite. Soit par exemple, l'équation

2 — 19 x — 34 a Li2xz+ 40 — 0.

Les facteurs de 4o sontr, 2,4,5,8,10, 00 ct 40; æais comme le second terme manque, on doit observer

que le premier terme négatif n’est que le troisième de

l'équation, et qu’on a ainsi pour la limite des racines » eq L « positives V/34 + r ou 7, et pour celle des racines négatives — V/19 — 1, ou — 6, il suffit donc d'essayer les facteurs 2, 4, 5 et— 2 ,—#4,— 5. Les calculs

cffectués, en observant de tenir compte du coefficient o

de x, on trouve une seule racine + 2.

Divisant l’équation proposée par x — », il vient ti xi—bx —04x—20—0

équation qui fournit encore, par l'application des mêmes procédés, une racine x = 2. Divisant de nouveau par

XL x —7x—10 —o qui fournit également une racine x = 2. Enfin, une troisième division par + — 2 donne l'équation

qui n’a plus de racines commensurables. En la résolvant par la méthode du second degré (voy. Quannarique), on obtient enfin les 5 racines de la proposée, et l’on

voit que cette équation est identique avec (x—2)(x—o) (x—2) (ox Han) (ox—r 210.

Les racines égales commensurables s'obtiennent tou. jours sans difficulté en opérant comme nous venons de le faire; mais il n’en est pas ainsi des racines égales incommensurables, dont la présence daus une équation complique les difficultés de la recherche des autres racines incommensurables. Nous allons indiquer la théorie des racines égales , en général.

20, RaGINES ÉGALES. Si nous désignons par X —0, une équation d'un degré quelconque et que a soit une de ses racines , nous savons que X doit être exactement divisible par le binome æ — a. De plus, en désignant par X'le quotient de cette division, nous savons encore que si la racine a se rencontre deux fois dans l’équation X — 0, æ — a devra diviser exactement X', et qu'en désignant le quotient de cette dernière division par X”, X” sera exactement divisible parx— a, si a est trois fois racine dans X — 0, et ainsi de suite.

Ainsi, dans le cas d’une racine double, les deux équations

X:=0), Xi 10 doivent subsister en même temps, c’est-à-dire être satisfaites par une même valeur de æ, tandis que si X n’a pas de facteur double, il est impossible d’avoir en même temps X —oet X'— 0. De même, si X à un

facteur triple , les trois équations X—=60,X —0, XX —0

doivent subsister en même temps.

Ceci posé, examinons la forme du quotient X',qu'on obtient en divisant X parle binome x — &, et, pour

cela , posons X = 2 + Ami Ban? Letc...+Qx'ÆRx+s.

En opérant la division jusqu'à ce que l’on trouve un

reste qui ne contieune plus +, ce reste qui est an + Aan—1 + Barn—: + etc... + Qa un Ra + S 5

ou ce que devient X lorsqu'on y met à à la place de x, se réduit évidemment à zéro lorsque a est racine de X : mais nous n'avons à considérer ici que le quotient dont

les termes sont :

LMI

+ (Aa) am

+ (B+HA aa) am—3

+ (C+Ba+ Aura) xm—4

+ (D+Ca+BatAa ai) m5 + eic......etc.

Or, si a est une racine au moins double de l'équation proposée, il faut que ce quotient soit lui-même divisible par x — a et qu'il se réduise à zéro, en mettant a à la place de æ, où x à la place de a.

La substitution de x à la place de a donne à ce quotieut la forme