RA AM

RAPPORT. (4rith. et Alg.) Relation de deux quanutés inégales. Deux quantités quelconques considérées dans leur relation réciproque élémentaire sont égales ou inégales (Foy. MATHÉMATIQUES , 7); la relation d'égalité n’a d’autres lois que celles de l'identité, mais la relation d’inégalité peut être l’objet d’une eonsidération particulière, parce qu’elle implique diversité, et c’est la détermination de cette diversité qui constitue la THÉORIE DES RAPPORTS,

En remontant aux principes de la génération élémentaire des quantités, il est visible que les différens rapports consistent dans la différence des générations primitives élémentaires ; ainsi ces rapports sont :

1° La relation des quantités À ou B avec C, dans l'algorithme élémentaire de la sommation AHB—C.

2° La relation de ces mêmes quantités dans l’algorithme de la reproduction AXB—C.

3° Etenfin celle de ces quantités dans l'algorithme

de la graduation A

Les expressions de ces trois classes de rapports, considérées en général, sont donc, pour le rapport de sommalion :

CREER CLR Es

pour le rapport de reproduction

CL, où ©

et pour le rapport de graduation

Log C LL .

Log A PVC

mais les deux relations des deux premières classes étant les mêmes, et la première de la troisième classe étant identique avec celle de la seconde, il n'existe propre: ment que trois relations d’inégalités essentiellement différentes.

Nous pourrons donner aux trois classes de rapports qui peuvent exister entre deux nombres quelconques Met N, liés par un troisième P, les formes :

1° Rapport de sommation {nommé rapport arithmectique, ou rapport par différence).

M[I]JN,;ouM—N—P 2° Rapport de reproduction (nommé rapport géo-

métrique, où rapport par quotient).

M :N,ou = P

3° Rapport de graduation (nommé par quelques géomètres allemands rapport de saltation).

M {)N,;ouM—P

A RA Les signes [:], :, (:) désignant ces trois classes de rapports.

Les deux nombres comparés ensemble se nomment les termes du rapport. Le premier terme prend le nom particulier d’antécédent, et le second terme celui de conséquent. Ici M est l’antécédent et N le conséquent.

RapPORT ARITHMÉTIQUE. Les propriétés de ce rapport ne sont que des conséquences directes des lois de Pidentité et ne peuvent donner lieu à aucunes lois particulières; c’est ainsi, par exemple, que le rapport ou la différence des deux nombres M et N ne change pas lorsqu'on augmente ou qu'on diminue ses deux termes d’une même quantité Q, car P désignant toujours ce rapport, on a évidemment

(MHQ—(N + Q=P , et(M— Q)—(N—Q)=P d’où M (JN = (M + Q) [IN + = (M — Q) 1 (N—Q

Ilest de même évident 1° qu'on augmente le rapport P, de deux nombres M{[:]N, d’une quantité Q, en ajoutant cette quantité à l’antécédent M ou en la retranchant du conséquent N , puisque ayant

M—N—P on à nécessairement

M+Q—N—<PHQIMÈ(N—-Q)—P+O.

2° Qu'on diminue ce même rapport P de la quantité Q en retranchant cette quantité de l'antécédent M ou

en l’ajoutant au conséquent N, car (M—Q)—N—=P—-Q,M—(NLQ)—P+LQ

Rarronr GÉOMÉTRIQUE, Ce rapport jouit par sa construction de toutes les propriétés des fractions ; ainsi, d’après ce qui a été dit, ALGÈBRE, 13:

1° Un rapport géométrique ne change pas lorsqu'on multiplie ou qu’on divise ses deux termes par une même quantité.

2° En multipliant l’antécédent ou en divisant le conséquent on zzultiplie le rapport.

3° En divisant l’antécédent où en multipliant le conséquent on divise le rapport.

à =. x M En effet M : N étant la même chose que

Not on a

MXQ . M:Q Joe FxXQ Pi N:Q = P

M X Q M 2... ES X® y:0 =PXQ : M:Q P M __p LL. N Q' NXQ Q

RA

Rapport DESaLTATION, Nous n'avons parlé de ce deinier rapport que pour compléter les différens modes des relations possibles entre les quantités, mais il n’est d’aucun usage dans la science des nombres.

Lorsque plusieurs rapports d’une même classe sont égaux, leur comparaison donne lieu à une égalité qui

prend le nom de Prororriox. (Voy. ce mot.)

RAPPORTEUR. Instrument dont on se sert pour tracer sur le papier des angles d'une grandeur déteriminée, ou pour mesurer les angles construits sur le papier.

Le rapporteur est un limbe demi-circulaire (PI. 56, fig. 4), divisé en 180 degrés, et fait de cuivre, d’argent, ou de quelque autre matière semblable. Celimbe se termine par une règle dont le côté supérieur AB est son diamètre. Au milieu de AB est une petite entaille O qu’on nomme le centre du rapporteur. On fait aussi des rapporteurs en corne transparente, mais ils sont moins justes que les rapporteurs en métal.

Pour tracer sur le papier, avec cet instrument, un angle d’un nombre de degrés donné , par exemple, de 50°, on place son centre O sur le point qui doit être le sommet de l'angle, puis après avoir fait coïncider le diamètre AB avec le côté OB donné de l'angle, on marque, avec une aiguille, un point vis-à-vis de la division du limbe qui correspond à 5o° ; en tirant ensuite par ce point et par le centre une droite PO, on a l’angle POB de 50.

S'il s'agissait de mesurer un angle POB construit sur le papier, on placerait le centre O au sommet de langle et le diamètre AB sur l’un de ses côtés; l'endroit où le limbe serait coupé par l'autre côté OP, indiquerait le nombre de degrés que contient POB.

RATIONNEL. Terme en usage dans plusieurs branches des mathématiques, avec des sens différens.

L'horizon rationnel est celui dont le plan passe par le centre de la terre; on lui donne ce nom par opposition avec l’horizon sensible où apparent, parce qu’il ne peut être que conçu et non vu. L’adjectif rationnel dérive ici de raison, faculté de l'intelligence.

Quantité rationnelle, c'est celle qui ne renferme aucun nombre incommensurable. Dans ce cas, rationnel dérive de raison pris dans le sens de rapport.

RAYON. (Géom.) Distance du centre d’un cercle à sa circonférence. D'après la définition ou la génération du cercle, tous ses rayons sont égaux. Un rayon est la moitié du diamètre. (Foy. Cercre.)

Ravox oscuzareur. C’est le rayon du cercle qui passe par trois points infiniment proches d’une courbe quelconque. Ce cercle se nomme cercle osculateur de la courbe, et son rayon, rayon de courbure, ou rayon osculateur, (Foy. Courrune et Déverorpée.} On peut

RA

obtenir directement l'expression différentielle du rayon osculateur d’une courbe quelconque de la manière suivante: soit Br ce rayon, (PI. 56, fig. 5) et mm un arc infiniment petit, commun au cercle osculateur et à la courbe AM. Menons les droites qu’on voit dans la figure, et du centre B décrivons l’arc po infiniment petit. Les triangles mm'n et opq seront semblables, étant rectangles l’un en net l’autreeno, et ayant de plus les angles égaux m'mn, opq; ils donnent la pro-

portion mn : MN :: pq: po d’où mm X po Ex mis à

mais pq est l'accroissement que reçoit Ap lorsque la normale mp devient m'q, C'est-a-dire lorsque l’arc Ar croit de rm", ainsi pq est la différentielle de Ap; et comme de plus Ap est égal à l’abscisse Ap', plus la sousnormale p'p, en désignant Ap' par x et mp' par y, nous avons (voy. SOUS-NORMALE)

pq —= d(x — sous normale) — = d(z se

et par suite

d (z + 2) —= mimi po —

dx an

V'(dr+dy)

. PO en remplaçant l’arc mm par son expression

V/(dz? + dy?)

(Foy. RECTIFICATION.) Dégageant po, il vient

ax af — HT

arte al dx à VIe dy]

Or, en supposant dx constant,

Yd dx°+dydy+ydy | Er ANENT

d [+ + Ainsi , substituant dans po , on trouve

‘as dz°+dy+yd'y Via

Maintenant , les triangles semblables mBm', pBo donnent

mm — po: mm :: mB—pB : mB

et, comme »B—pB = mp — normule, d'où (voy.

SOUS -NORMALE) mBp Vider)

et que de plus

RÂ 415 pans detdp+ydy mm —po = \/[dx?+dy] — Vide dy] : sy Vide +dyi' cette proportion nous donne JV Idx+dy] Vds: +dy] ae mB — a me Vide + ce qui se réduit définitivement à (1) ___ (dx"+-dy') ÿ 1 didy en désignant par » le rayon de courbure.

Si n'avions pas supposé dx constant, nous aurions

obtenu

(4x dy°)* D — ; ———— ; dyŒx—dxd:y

Le signe — de l'expression (1) est relatif à la position de & que l’on cousidère comme positif lorsque la courbe tourne sa concavité vers l’axe des x ; en effet, dans ce cas dy est négatif, et ÿ devient positif. Lorsqu’au contaire la courbe tonrue sa convexité vers l’axe des x, l'expression (1) doit être affectée du signe + , comme nous l’aurions trouvé en construisant notre figure avec ces conditions : ainsi les expressions générales du rayon

osculateur sont

der (+)