L'MEE

0 si —

FT dydx—drdy

Voyezau mot Coureure les applications de ces formules.

On arrive à ces expressions du rayon osculateur d’une manière plus générale et plus élégante par la théorie du contact des courbes, mais nous devons renvoyer aux traités de calcul différentiel et particulièrement à celui de Lacroix.

Rayon vecreur. Ligne droite qui va du fover d’une courbe à un point de son périmètre. C’est, en astronomie, la droite tirée du centre d’une planète au centre du soleil, ou plus généralement la droite tirée du centre d’un astre à son centre de révolution,

Rayon visuer. Ligne droite suivant laquelle l'œil se dirige en visant un objet au travers des pinnules d’une alidade ou au travers d’une lunette dans les

opérations de la géométrie pratique.

414 RE REBROUSSEMENT. {Géom.) Le point de rebrous-

sement est celui dans lequel une courbe change brusquement de direction et retourne en arrière. #'oy.

Poinr SINGULIER.

RÉCIPROCITÉ. ( 4{g.) Legendre, dans sa théorie des nombres, nomme loi de réciprocité uue propriété remarquable des nombres premiers qui consiste en ce

Verne} que si met» sont deux tels nombres, le reste de m2 ?

mt —A

divisé par à sera toujours égal au reste de n * divisé par 72, sim el n ne sont pas tous deux de la forme 4 x +3, où sera égal à ce dernier reste pris négativemeutsi/z et n sont tous deux de cette forme. Ces restes sont d'ailleurs constammeut égaux à + 1 où à — 1.

l'oy. Legendre, Théorie des nombres, ILI° partie.

RÉCIPROQUE. ( A/g.) Deux quantités sont reécipro-

ques l'une de l’autre lorsque leur produit est l'unité.

Ainsi x est réciproque dejA., +: est réciproque de sl ct ainsi de suite. En général, on obtient la réciproque d'une quantité quelconque en divisant l'unité par cette quantité.

Deux quantités sont en raison réciproque où inverse de deux autres lorsque leur rapport est réciproque de celui de ces derniers. Par exemple, A et B seront en raïson réciproque de C et D si l'on a

lorsqu'il s'agit de rapport, on se sert plus communément du mot inverse que du mot réciproque.

Où nomme encore Proposition réciproque celle dans laquelle les donnees sout les conclusions d’une autre proposition et ace versa. Ainsi la proposition : la droite menée du sommet d'un triangle isocèle au milieu de sa base est perpendiculaire à cette base, est la réciproque de la proposition : a perpendiculaire abaisse du sommet d'un triangle isocèle sur sa base partage cette base cn deux parties cgales.

RECTANGLE. (Géom.) Figure rectiligne de quatre côtés dont les quatre anglessont droits.

Un rectangle est aussi un parallélogramme, parce que ses côtés opposés sont parallèles. Foy. ParaLLÉLo- GRAMME.

La surface d'un rectangle étant égale au produit de sa base par sa hauteur, c'est-à-dire , au produit de deux de ses côtés contigus (voy, Aire), on a donné le nom de rectangle au produit de deux lignes quelconques de

graudeurs differentes, et c’est de cette manière que

RE

pour exprimer, par exemple, que dans le cercle la seconde puissance d'une tangente est égale au produit de la sécante entière par sa partie extérieure, lorsque ces deux lignes partent d'un même point, on dit que le carré de la tangente est égal au rectangle compris entre la sécante et sa partie extérieure,

lectangle se prend encore adjectivement comme

daus triangle rectangle, roy. Triancre.

RECTANGULAIRE. (Géom.) Se dit généralement des figures qui out des angles droits, et de tout ce qui est à angles droits. Les coordonnées rectangulaires d’une courbe sont celles qui sont perpendiculaires entre elles.

Les anciens, avant Apollonius, nommaient la parabole

considéraient cette courbe que dans un cône dont la

section rectangulaire du cône, parce qu'ils ne

section par l'axe était un triangle rectangle au sommet

du cône.

RECTIFICATION. {Ceom.) Rectifier une courbe, c'est trouver une ligne droite égale à un arc de cette courbe. Les espèces de courbes exactement rectifiables sont en petit nombre, mais lorsque le problème n’admet pas de solution exacte on prut toujours obtenir une solution approchée avec tel degré d’approximation qu'on peut le désirer.

La première rectification d’une courbe fut obtenue par Van-Heuract à l’aide de constructions géométriques très-compliquées, c’est celle de la seconde parabole cubique. Wallis, dans son traité sur la cissoïde, réclame la priorité de la découverte pour son élève Guillaume Neil, mais comme les méthodes employées par ces géomètres sont différentes, il paraît probable qu'ils sont arrivés au même résultat sans avoir rien emprunté l’un de l’autre.

Ce n’est que depuis la découverte du calcul différentiel que le problème de la rectification des courbes a été complètement résolu et que l’on est parvenu à mesurer une ligne courbe quelconque; car rectifier une courbe ou mesurer sa longueur à l’aide d’une ligne droite prise pour unité de mesure, c’est exactement la même chose. Lorsque l'arc de courbe n’est point incommensurable avec l'unité de mesure, on obtient le nombre exact qui exprimesa longueur; dans le cas contraire, l'expression de ce nombre cst toujoursdonnée par une série qui permet d’en approcher indéfiniment. Nous allons exposer la méthode extrêmement simple, qui porte aujourd'hui le nom de rec‘ification des courbes.

1. On trouverait aisément la longueur d’un arc de courbe donné, si l’on connaissait la différentielle de cetarc; car en désignant par s cette longueur et en admettant que ds soit connu, on aurait immédiatement

RE J'Ids] RE Aiosi le problème est ramené à trouver l'expression de la différentielle d’un are de courbe donné.

Or, quelle que soit la courbe dont AQ (PI. 55, fig. 5) est un arc, si nous supposons que cet arc croisse d’une quantité infiniment petite QQ', comme alors l’abscisse AP devient AP'et l’ordonnée PQ devient P'Q', si neus menons (ya parallèle à l'axe des abscisses, nous aurons un triangle rectangle QnQ' dont les trois côtés sont respectivement les différentielles de l’absaisse, de l’ordonnée et de l'arc, savoir : Qm = PP’, différentielle de AP; Q'm, différentiele de PQ, et QQ", différentielle de AQ. Nous avons donc, en désignant l’abscisse par æ, l’ordonnée par y ct l'arc par s Va +dy).

dsa = dx? Ldy», d'où ds =

Telle est l'expression générale de la différentielle de l'arc en fonction des coordonuées rectangulaires. Ainsi, l'équation d’une courbe quelconque étant donnée ils'agit d’en tirer la valeur de «4x: ou de dy, de la substituer dans cette expression et d'intégrer ensuite. C'est ce que les exemples suivans vont éclaircir.

2. Problème 1. Rectifier la circonférence du cercle. Eu comptant les abscisses de l'extrémité du diamètre, l'équation de cette courbe est Y* = 24AT — x,

ou obtieut en différentiant

2ydy = 2adx — oxdx d'ou PR F Ç

En remettant pour y’ sa valeur, on a définitivement

Si l’on substitue maintenant cette valeur de dy? dans l'expression générale de ds , elle devient (a—2x)

ds — 71 dx + —— a ee |

adx SE Æ Ver) — ada(2ax— x") (aax —

ona donc

= fdx(2ax—x") * + constante.

Cette intégrale ne pouvant être obtenue sans une forme

finie , il en résulte que la circonférence du cercle n’est

RE 415 pas une courbe rectifiable ; ce que nous avons déjà vu ailleurs. (Foy. QRADRATURE DU CERCLE.)

Eu développant (24x—x°) en série et en intég'ant ensuite terme par terme , on obtiendra la série qui donne la valeur d’un arc de cercle en fonction du rayon a , et on déterminera ensuite la constante d'après la position de l'arc; si cet arc commence à à l’origine ou doit être o lorsque x — 0 , la constante sera o. L'équation du cercle rapportée au centre y2 = a — x? conduit à une série plus simple. L'expression qu'il faut intégrer est alors

s = afdx(a: 2) g + const.

et en prenant l'intégrale depuis x = o jusqu’à = a, ce qui donne l'arc égal au quart de la circonférence, on trouve

1 etc:

x circonf, —=a + = ee. n rt

Le rayon & étant pris pour unité, cette expression de-

vient

nas tapant tatoo 3. Problème I. Rectifier l’ellipse. L'équation de

cette courbe rapportée au centre étant