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série très-convergente lorsque lexcentricité e est une petite fraction.
4. Problème IN. Rectifier les paraboles des divers degrés représentées par l'équation y = px, dans laquelle » est un nombre quelconque entier ou fractionpaire.
Cette équation fournit dy = npx"—1dx, d'où
Vde+dy |] = da\/[i + n'prar 3],
Aiusi l’arc parabolique est exprimé par (a),
JU + n°p°x2—2] z
intégrale qu’on peut obtenir sous une forme finie, lorsque l’exposant 2n—2 est égal à l'unité ou s’y trouve contenu un nombre exact de fois. (Foy. InrécraL, 33.)
Dans le cas de 22 —2 1,ce quidonnen = -,
la courbe est donnée par l'équation y — px*, ou y°—
pex}, c'est la seconde parabole cubique, et Von obtient our l'expression de son arc, compté à partir de l’ori- I l
Nous avons dit que cette courbe est la première qui ait
gine Où Z — 0,
Je +9 re)
été rectifiée.
n ll Fa Si nous POSONS 24 — 2 — 2 In désiguant ui HON\-
RE 2m 1
bre entier, nous aurons n = ——"om = p?ximi correspondra à une infinité de paraboles
rectifiables.
, et l’équation y?"
toutes exactement Quant aux autres, il n’est possible de les rectifier que par approximation.
L'équation de la parabole ordinaire ou conique est y = pa*; faisant donc nr — 2 dans l’expression (a), nous obtiendrons en intégrant par parties.
RUE sde =a(1+4p x SE pre
JU + pa fidx =
Ve ap LE A à à +4p°æ)] + const.
Oa supprimera la constante si l’on compte Parc parabolique à partir du point où x = 0.
5. Problème IV. Rectifer la cycloïde. L'équation de cette courbe est (voy. CxcLoïpe)
x — arc (sin = V/[2ry —7°]) — V/2ry — 7°],
En observant que le sinus qui entre dans cette expres-
sion est pris dans le cercle générateur dont le rayon est
r, on obtiendra par la différentiation nr
dx = RAR
Vory — y°
Elevant à la seconde puissance et substituant à dx* sa valeur, dans ds == \/{dx? + dy*), il vient
dont l'intégrale est
dy
Var — — 2V/.{ar(2r—y)] + const.
V'ory—y
Pour interpréter ce résultat, remarquons que la partie variable de l'intégrale s’évanouit lorsqu'on fait y =2r,et, par conséquent, que si l’on compte l'arc cycloïdal àlpartir de ce point, iln°y a pas besoin d’ajouter de constante. On a donc pour la valeur absolue de l'arc compris entre ce point, milieu de la cycloïde, et le point dont l’ordonnée est y,
oV/{2r(2r—7)].
Or, dans la figure6 , pl. 50, si lon considère l’are
cycloïdal DM, on voit que la partie BN du diamètre
de cercle générateur est égal à l’ordonnée du point M,
RE
ainsi posant BD = 2r et BN — y, il est facile de reconnaître que la corde DH est égale à
VIBDXDN] = V/{or(2r—p) donc arc cycloidal DM — 2DH.
En faisant y — 0 , cet arc est la moitié de la cycloïde, et la corde devient le diamètre du cercle gévérateur ; ainsi, /« cycloide entière ADC est égale à quatre fois le diamètre du cercle générateur.
6. Lorsque l'équation des courbes est donnée en coordonnées polaires , il faut employer la différentielle de l'arc exprimée en fonction de ces mêmes coordonnées ; cette expression est
ds = Vd= +zd"], z désignant l’ordonnée , et v l'angle de cette ordonnée avec l’axe.
En effet, nous avons vu (POLAIRE) que pour passer des coordonnées rectangulaires à des coordonnées polaires, il fallait poser les équations
x—=aæ%zcos(v+#f$), y — b+zsin(v+5).
Ainsi, différentiant ces expressions, nous aurons dx — dz.cos(v+8) — z.sin(sv+5).dv £) + z.cos(v+£).dv.
Elevant chacune de ces égalités à la seconde puissance
dy = di.sin (v
et ajoutant, il vient
da + dy: = [cos (v +B)+ sin? (e+ B)]d2?
—[cos’(v + 8)+ sin? (v+£)1e dv etenfin , dx+dy = d:+=4dv à cause de cos? (v+-5) + sin’ (v+5) = 1.
Nous dounerons ailleurs des exemples de l’applica.tion de cette dernière formule. (Foy. Srinare.)
RECTILIGNE. (Géom.) Terme qui s'applique aux figures terminées par des lignes droites.
RÉCURRENTE. (Alg.) On nomme, en général, série récurrente, toute série dans laquelle chaque terme est formé par un certain nombre de termes qui le précèdent , d’après une même loi. Telle est, par exermple, la suite des nombres
1}23; 45.7, 11, 16, 27, 43, etc.
dont chaque terme est égal à la somme des deux termes qui le précèdent immédiatement ; telle est encore 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, etc.
dont chaque terme est formé par celui qui le précède TOME 11,
de deux rangs, ajouté au double de celui qui le précède immédiatement.
Ces séries, considérées pour la première fois par Moivre, dans ses Miscel. analyt. et dans sa {octrine of chances, sont engendrées par le développement de toute fonction fractionnaire rationnelle, et on les classe par ordres selon le degré du polynome qui forme le dénominateur de la fraction. Ainsi, la série qui résulte du développement de
a P+qz ?
est dite récurrente du premier ordre ; celle qui résulte de a+bx p+qa+re*
se nomme rccurrente du second ordre; et ainsi de suite.
Dans une série récurrente de l'ordre 72, les m premiers termes sont indépendans les uns des autres, et la loi de génération ne commence à se manifester que dans le m+iième terme qui est alors formé, ainsi que tous ceux qui le suivent , par la somme des »2 termes précédens, multipliés chacun par des quantités constantes, dont l’ensemble se nomme l’échelle de relation.
Pour éclaircir cette théorie, examinons en particulier la formation des séries récurrentes du second ordre. Posons
a+bx p+gx—+rx
= À + Br + Ca? + Dai + etc...
et déterminons les coefficiens À, B, C, D, etc. par la méthode des coefficiens indéterminées. (Voy. Corrricrexs.) En multipliant les deux membres de cette égalité par p+qgx—+rx?, et trausposant ensuite tous les termes dans le second membre, nous obtiendrons
(#7 + Bpix + Cpla + à + Eplai + etc.
0 = }—at A9 +84 Cl Dql — b + Ar Br! Cr ce qui donne les équations Ap—a — 0, d'où À 2° P Bp+Ag+b = 0, b = --{ À 4. a Cp+Bg+-Ar — 0, = ere "a, P P | r Dp+CyBr= 0, D=-1c—75, Ep+Dq+Cr = 0, P—=27De-0 P V4 elc... elc
A18 RE On voit d'abord que les deux premiers coefficiens À B s’obtiennent sans aucune loi, et, qu’à partir du troi-
sième, chaque coefficientest formé dela somme des deux
ni . te r précédens, multipliés respectivement par — me ; P P c'est-à-dire le cofficient qui précède de deux rangs par r = . q —-, et celui qui ne précède que d'un rang par — À. P
Ils’ensuit que les cocfficiens A, B, C, etc. forment euxmêmes une serie récurrente du second ordre dont
l'échelle de relation est r q P P Maintenant, si nous examinons chaque terme de la
série, nous {rouverons que
le 3° est — TBr3 —? Aæ,ou—” a'A— Tx.Br P P P P
le 4° — + Cri — . Bz', —wBx— 7 x.Cxr P P P P
les —7Dzri — "Cri, —’xCx—Tx.Dxt P P P P
etc. etc. etc.
Ainsi, chaque terme de la série, à partir du troisième , est égal à la somme des deux précédens, multipliés respectivement par
Ontrouverait de la même manière que dans l4 série
récurrente qui résulte du développement de la fraction
a+bx+ce p+gr+r2+sx 3?
chaque terme, à partir du quatrième, est égal à la somme des trois termes qui le précèdent, multipliés respectivement par
et ainsi de suite. Si, pour plus de simplicité, on prend p=1, ce que nous allons faire dorénavant , l'échelle
— gq;, et celle des termes : — 5x7, — rx°, — gx. Généralement,
de relation des coefficicns est — 5, —7r,
on n’a besoin que de considérer l'échelle de relation des coefficiens.
Il résulte donc de tout ce qui précède , que l'échelle de relation des coetficiens de la série récurrente engendrée par une fraction dans le dénominateur = 1 +
qe + rat + sx H etc... za,
est.
RE — 2, etc... —s,—r, —4q;,
c'est-à-dire que cette échelle se compose de Ja suite des coefficiens mêmes de ce dénominateur prise en sens inverse etavec des signes contraires. Ainsi, lorsque par la division on aura obtenu les »2 premiers termes de la série, on pourra la continuer indéfiniment au moyen de l'échelle de relation.
Les deux problèmes principaux qu'on peut se proposer sur les séries récurrentes sont de déterminer leur terme gencral et leur terme sonmatoire (voy. TERME); nous allons indiquer leur solution.
Soit proposée la série récurrente A + Bx + Ca’ + Dxi + Ext L etc.
due au développement de la fraction
a+ bx + ca + etc... + mxm—t
1— qu— rx — etc... —({x"
et dont l'échelle de relation est ++, etc... +, + r, + g. Si l'on décompose cette fraction en fractions partielles,
I—ax I = Ye
vw Le)
- te.
à +- etc
et qu'on développe chacune de ces fractions partielles en série récurrente du premier ordre, on aura la suite des séries
a, + bix + ex + dix + ext Hetc...
a, +bx + c,x? + date xi+ete...
a, + b,x + c,x? + d,xÿ +e,ti+ etc...
a, + dix + xt + dixÿ + eiri + etc...
ét. ssss CC.
dont la somme sera évidemment égale à la série propo sée. Ainsi
A—a +a,+a,+a,—ba,+ etc...
B—b+Lb +b, +b, +b, + etc...
C=c+c,+e,+e, +, +etc...
D—d +4 +d,+d, + d,+etc...
etc. — etc..,..
etilest visible que le coefficient du terme général de la série proposée se trouve égal à la somme des coefficiens des termes généraux de toutes les séries partielles. | Or la décomposition des fractions rationnelles en fractions partielles ne conduit pas seulement à des frac-
tions partielles de la forme
, Mais encore à des I—ax
la forme nu (1—ax)#
fractions de
; il devient donc cs-
RE sentiel d'examiner les séries qui résultent de ces frac-
tions.
N D'abord la fraction s donne la série — "1, n
M + Max + Max + Maxi + Maixi + cte.
dont le terme général est Mo—1x—t1, m étant l'indice du rang des termes.
La fraction an —
Rep engendre la série — ax
M Max + 3Max + 4Maxs + 5Maai etc.
dont le terme général est mMan—iam—t,
La fraction donne la série
M (1—ax) M + 3Max + GMax° + 10Max + 15Mzixi + etc.
Man—igm—1
Le: m(m+ 1) dont le terme général est —
— donne la série
En général, la fraction - (xx)
ui \F
M+uMax +
1) utu 1) y) Max LaaL si L 232? »tc.
ue Max + S Mz'x'+etc
dont le terme général est
mim+1)(m+2)...(m4p—2) Méusse 120 -e0-eselu 1) à
Donc toutes les fois que la décomposition d’une fraction rationnelle pourra s'effectuer en fractions par- —, on pourra toujours déa—axp °° P ] terminer le terme général de la série récurrente engendrée par cette fraction. C’est ce que nous allons éclaircir
üelles de la forme
par des exemples particuliers.
Exemple X. Trouver le terme général de la série récurrente produite par le développement de la frac-
tion
Cette série est 1+ox+2x ox +6xiLrox+a2xt + ot, etc.
dans laquelle le coefficient de chaque terme, à partir du troisième, est égal à la somme des deux qui le précèdent, multipliés respectivement par + 2, +1
Les facteurs du premier degré, du dénominateur 1 —x — 22? étant 1+x, 1—2x, posons
RE et tirons de cette égalité la valeur de P et de Q, nous trouverons (voy. INréGrAL, 27).
2 ll
RE
Or les termes généraux des séries engendrées par
I +x I —o sont, d’après ce que nous venons de voir,
— ni — MmM— = (—1) .T ;
Ainsi le terme général de la série proposée est
QM—I, MI
É (—1)-1+ 3 ges Jens
ou
2m—12 (— TJ 1 mi RC CS x
En faisant successivement dans cette expression m=—:1,2, 3,etc., on obtiendra les termes successifs 1, ox 9?,etc. de la série, sans avoir besoin de les construire les uns à l’aide des autres.
Exemple W. Trouver le terme général de la série qui résulterait de la fraction
En décomposant cette fraction on obtient
I 1 I ANR re Ne Ga) (it He) (12) a I—X 1x
Le terme général demandé est donc
Ù I Ll mi y — == tt L'AI—I 3 ME — 4 ami A 1) x
2m +1 + (it
d’où résulte la série 1 x or? Ho Æ Bi + 3x5 + 4x + 4x7 +etc...
La recherche du terme général d’unesérie récurrente est donc fondée sur la décomposition de la fraction génératrice en fractions partielles , décomposition d’une grandeutilité dans le calcul intégral, et qui se réduit en dernier lieu à la détermination des facteurs du dénominateur. Cette question est par conséquent soumise à toutes les difficultés de la résolution des équations. La recherche du terme sommatoire donne lieu à deux problèmes différens; ou l’on demande le véritable terme
sommatoire, c’est-à-dire celui qui donne la somme d'un
nombre quelconque de termes d'une série récurrente proposée, ou l’on demande seulement la somme de tous les termes , C'est-à-dire, la fraction génératrice de la série. Nous traiterons seulement ici ce dernier cas, qui est le plus facile; le premier sera examiné ailleurs. (Voy. SommaToirE.)
Pour fixer les idées, soit À + Bx + Cr’ + Dr L Exi + etc...
une série récurrente du troisième ordre, dont l'échelle de relation est
Cette échelle nous fait immédiatement connaître le dénominateur de la fraction génératrice
1— px — qui — rx;
ainsi le numérateur deyant être de la forme
a+ bx +
cx?, posons
a+ bx + cx°
1— pX —qX— rx
— À + Br + Cx + etc...
et la méthode des coefficiens indéterminés fera
trouver les relations
nous
a = À b = B — pA c = C — pB — gA;
donc la fraction demandée cest
A + (B—pA)x + (C—pB—gA)x 1 — px — qu? — rx?
soit, pour exemple, la série du troisième ordre
1— 02 + 33 — 102 + o2xt — Six — etc.
L’échelle de relation est — 3, +2, —7r,et, par conséquent, le dénominateur, 1 + x — 2x? + 3x; comme nous avons en outre À —1,B—=—92,C—3, en substituant ces valeurs dans la formule, nous trouverous pour la fraction génératrice de cette série
14x22 nt
Si la série était du quatrième ordre et son échelle de
relation 45, +Ær,—+g,—+ p., une marche semblable nous ferait trouver pour les indéterminées a, b, €, d, de la fraction génératrice
a + dx + ca? + da
1 —pX — q2° — TX — sx
les expressions
RE
a = À — B — pA c—= C—pB — A
d= D — pC — 4B — rA
La loi générale de ces déterminations est facile à saisir.
Daniel Bernouilli a tiré de la théorie des séries récurrentes un procédé très-ingénieux pour obtenir par approximation les racines des équations numériques d’un degré quelconque. Nous avons exposé ce procédé au mot APPROXIMATION ; il nous reste ici à faire connai-
tre les principes sur lesquels il est fondé : soit
a + bx + ca + dx? + ext 4-etc.
1— pa —qr— rx — sx — 1x" — etc.
la fraction rationnelle dont le développement est la série récurrente
AL Br Cat + Dai + Ext + Fax — etc.
D'après ce qui précède, les coefficiens A, B, C, D, etc. de cette série, sont déterminés par les expressions.
A=a B = pA + bd C= pB +gA+c D = pC + qgB +rA + d E = pD + gC+7rB+ sALe etc. — etc.
et son terme général se trouve par la résolution de la
fraction génératrice en fractions partielles dont les dé-
nominateurs sont les facteurs du dénominateur 1 — pr — qu? — rx — etc.
Supposons que la décomposition de la fraction ra- | tionnelle en fractions partielles donne la suite |
+ + etc.
1—ax 1—fx I—yx 1—0x
(a'am—t + b'Em—1 + c'ym—2 +- dJ'm—1 + etc.) æ—1
Si nous désignons par P le coefficient de æ#—1, et par
alors le terme général de la série récurrente sera Q,R, etc. ceux des puissances suivantes, la série pren-
dra la forme
A+Bx+CrHetc...+Pan-1+ Qu Ranm+itetc….
Ceci posé, remarquons que les puissances des nombres inégaux deviennent d’autant plus inégales les unes par rapport aux autres que ces puissances ont des exposans
RE plus grands; ainsi en admettant que # soit un nombre
plus grand que tous les autres 8, y, d, etc., et que 7 soit un très-grand nombre, on aura à peu près
P — a'xn—1 s Q = dam
D'où
Donc, lorsque la série récurrente aura été prolongée très-loin, le coefficient d'un terme quelconque divisé par le coefficient du terme précédent donnera à peu près la valeur de «, et cette valeur sera d’autant plus approchée que les coefficiens employés pour l’obtenir appartiendront à des puissances plus grandes de x.
Mais 1—4x est un facteur du premier ordre du dénominateur 1—px—qx — etc. de la fraction rationnelle, et lorsqu'on connaît un tel facteur on connait aussi une racine de l'équation (a)
1 — px — qu? — rx — sui — etc... = 0
savoir æ— -, donc puisqu'on trouve par la série ré-
currente le plus grand nombre #, on obtient en même
ue : . I ”, temps par cetle séric la plus petite racine - de l’équation (a)
Si l'on fait x — -—, l'équation devient (b)
