AE

ab se

et nous obtiendrons par la substitution de ces valeurs dans les formules précédentes ,

ï I ï 1 on ir de ét gr etc.

d’où

I il L :

Lr—(x—1)— È (@—1) + 10. (a—i)i + etc.

Prenons encore pour exemple la série connue

TX x?

: D sinx = x — - 1 1.2.3.4.5

DINAN ITE etc.

1.2.3.4.5.6.7 Li Nous ferons, en observant que les puissauces paires

dex manquent,

I = 0, G— 7 ’ A0 1—= Te tc 2.4.06.7 2.4.0.8.9 D'où sin'æ 3 sin°x

Les formules (3) ont l'inconvénient de ne pas faire conuaître la loi des cocfficiens de la série générale de retour, eton ne peut les considérer que comme les tableaux , d’ailleurs très-utiles, des opérations qu’il faut faire pour obteuir les valeurs numériques de ces coefficiens dans les cas particuliers. Nous considérerons ailleurs le retour des suites d’une manière plus directe

et plus générale. (Foy. Série.)

RÉTROGRADATION. (Afce.) Action par laquelle un corps se meut en sens contraire desa direction primitive. En astronomie, on donne ce nom au mouvement apparent des planètes par lequel elles semblent quelquefois reculer dans l’écliptique et se mouvoir dans un

sens opposé à l’ordre des signes.

RÉVOLUTION. (Ast.) Se dit de la durée du temps qu'une planète emploie à faire le tour de la voûte céleste. (Voy. Périonr et PLAnETE.)

REYNEAU (Cuanzes Le Père), géomètre distingué, naquit en 1626, à Brissac en Anjou, et entra à l'âge de vingt ans dans la congrégation de l'Oratoire, à Paris. Si l’on ne sait rien de ses premières années, durant les. quelles ilne se distingua que par son application à l’étude et par sa piété, le reste de sa vie, entièrement consacré aux devoirs du professorat, à la prière et à la composition de deux ouvrages de matémathiques, n'offre aucune particularité plus remarquable. Le Père Reyneau professa successivement la philosophie à Toulon et à Pézenas, et les mathématiques au collége d'Angers. Il remplit durant vingt-deux ans ces dernières fonctions avec beaucoup d'éclat et de succès, et entra à l’Académie des Sciences comme associé libre. Le Père Reyneau mourut à Paris, le 24 février 1528. Les deux ouvrages dont il est l’auteur sont : T1. L’Analyse démontrée ou manière de résoudre les problèmes de mathématiques, Paris, 1705, 2 vol. in-4°; sf édit, ib. 1936, 2 vol. in-4°. Cet ouvrage présente un recueil intéressant des principales théories de Descartes, de Leibaitz, de Newton, des Bernouilli et de tous les grands géomètres du xvu' siècle, démontrées, suivant Foutenelle, avec plus de clarté et d’exactitude. L’ Analyse démontrée obtint uu grand succès lors de sa publication, mais peut-être cet ouvrage élémentaire ne mérite-t-il pas les éloges un peu exagérés que lui donne l'écrivain dont nous venons de parler. Il. La Science du calcul des Grandeurs en général, ou Élémens de mathématiques, Paris, 1714. 1 vol. in-4°. Le Père Reyneau ne publia que ce volume; le second, qui parut en 1735 ct qui fut imprimé tel qu'on le trouva dans les papiers de l'auteur, fut mis au jour par le Père Mazières, connu dans les sciences par un prix qu’il remporta à l’Académie en 1720.

RHEITA (Le P. Anroine-Mante Scnynir DE), capucin né en Bohème vers la fin du xvi‘ siècle, célèbre par ses connaissances et ses travaux mathématiques. Il avait une grande réputation comme théologien et comme prédicateur, mais l’étude des mathématiques, et surtout de l'astronomie, occupait tous ses loisirs. En 1642 et 1643, il était à Cologne, où il fit des observations astronomiques; il crut voir cinq nouveaux satellites de Jupiter, et il fit hommage de cette découverte au pape Urbain VIIT en donnant à ces étoiles, qu’on à reconnues depuis pour être celles du verseau, le nom d’Astres urbanoctaviens, Le Père Rheita a été plus heureux dans ses recherches en optique. Le premier il a construit la luvuette astronomique actuelle, à quatre verres convexes, dont l’un a le nom d’ocularre, et les trois autres d'objectifs. Képler, qui avait proposé a priori ce genre de télescope, n’était point parvenu à le construire. Le Père Rheita est également l'inventeur du binocle, qui fut perfectionné par le Père Chérubin. ( Foy. ce mot.) Mais il est surtout célèbre par une tentative malheureuse contre le système de Coperuic. Celui qu'il proposa pour le remplacer n’est en réalité que le système de Tycho-Brahé retourné. Des idées fort bizarres à ce sujet sont exprimées dans le seul ouvrage que nous citerons de lui, et quia pour titre : Oculus Enoch et Eliæ, sive radius sidereo mysticus , Anvers, 1645, en deux parties in-f°, fig. Le Père Rheita est mort à Ravenne en 1660.

RHETICUS (Joacumm Gronce, plus connu sous le nom de), célèbre mathématicien et astronome, naquit le 16 février 1514, à Feldkirch, dans le pays des Grisons, en latin Rhætia, d’où lui est venu le nom sous lequel il est généralement désigné dans l'histoire de la science. Les circonstances qui se rattachent à sa naissance et à son éducation sont demeurées inconnues. On sait seulement qu'il était professeur de mathématiques à l’université de Wittemberg au moment où Copernic produisit ses découvertes sur Île système du monde. Il abandonna aussitôt sa chaire pour aller suivre les leçons de cet homme célèbre, il devint son ami et le premier de ses disciples qui osât proclamer comme une réalité scientifique un système que son auteur n’avait présenté que comme une hypothèse; mais le temps n’était pas encore venu où les vieux préjugés du monde devaient tomber devant la vérité, et malgré le zèle de Rhéticus et les généreux efforts des savans qui prirent en main après lui cette noble cause, ce ne fut que vers Ja fin du xvu siècle que le système du mouvement de la terre fut enseigné sans contradiction. Rhéthicus, à qui la science doit de nombreux et d’estima bles travaux, et qui le premier introduisit les sécantes dans la trigonométrie,mourut à Caschau, le 4 décembre

1576, âgé par conséquent de G2 ans. Il a successivement produit : I. Narratio de Libris revolutionum: Copernici, Dantzig, 1540, in-4°. Cet ouvrage, qui est à la fois l'exposition et la défense du système de Copernic, est rédigé sous la forme d'une lettre adressée à Shoôncer, : géomètre contemporain ; il a été réimprimé plusieurs fois. IL. Orationes de Astronomidi et Geographiä et de Physicä, Nuremberg , 1542, in-4°. Ce livre est devenu très-rare. IL. Opus Palatinum de triansulis, in P. ou plutôt Thesaurus mathematicus, titre qui fut donné par Barthélemi Pétricus à la seconde édition, publite par les soins de ce savant en 1610. C'est un ouvrage extrêmement curieux. Voyez la Bibliographie astronomique pour plus de détails des particularités intéressantes qui s’y rattachent. Montucla dit de cette production qu’elle est en effet un vrai trésor et un des monumens les plus remarquables de la patience humaine.

RHOMBE. (Géom.) Quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux, mais dont les angles sont inégaux. On le nomme plus communément LozancE.

RHOMBOIDE. (Géom.) C'est la même chose qu'un

PARALLÉLOGRA NME.

RICCATI (Vixcenr DE), géomètre célèbre, fils du comte Jacques Riccati, que l'Italie met au raug de ses principaux mathématiciens, naquit le 11 janvier 1507 a Cactel-Franco, dans l’état de Trévise. Son père fut son premier maître, et à l’âge de 10 ans il entra dans l’ordre des Jésuites, dont il devint bientôt l’un des mewbres les plus distingués par ses lumières et ses talens. Le Père Riccati fut envoyé par ses supérieurs à Bologne où, pendant trente-cinq ans, il professa de la manière la plus brillante les branches élevées des mathématiques. Chargé de surveiller en même temps le cours des fleuves dans le Bolonais et l’état de Venise, il fit exécuter sur le Veno, l'Adige, le P6 et la Brenta, des travaux qui révélèrent en Jui un habile ingénieur. Les Bolonais et les Vénitiens firent frapper des médailles pour perpétuer le souvenir des services du Père Riccati et attester leur reconnaissance. Il mourut dans sa patrie, où il s'était retiré après la dispersion de son ordre, le 17 janvier 1975. Nous citerons parmi ses ouvrages les plus remarquables et les plus estimés : [. Dia. “logo dove ne’ congressi di più giornate delle forze vive et dell aziont delle forze morte si tien discorso; Bologne, 1749, in-4°. IT. De usu motts tractorii in constructione œquationum differentialium commentarius , ib. 1952, in-4°. LI. De seriebus recipientibus summun generalem algebraticam aut exponentibilem , ib. 1956, 2 vol. in-4°, On recherche encore avec inté- 1èt le recueil des épuscules du P, Riccati, publié sous

ToNE

RI ce titre : IV. Opuscula ad res physicas et matheïmati-

cas pertinentia, Lucques, 1757-72, 2 vol. in-4°.

RICCATI (Le courre Jourpain), frère du précédent, fat à la fois mathématicien, architecte et musicien ; son nom a de la célébrité en ftalic. El est surtout connu par un Traité sur les cordes vibrantes, qui est fort estimé. Le comte Riccati, né à Frévise en 1509, est mort dans cette ville en 1790.

RICCIOLI (Jean Bapmisre), l'un des plus célèbres astronomes du XVII siècle, malgré ses erreurs, et l’un des plus savans hommes de la société de Jésus , naquit à Ferrare, eu 1598. [1 embrassa, dès l'âge de seize ans, la règle de saint Eynace , et fut voué parses supérieurs, si habiles à discerner le génie particulier de chaque membre de leur ordre, aux utiles fonctions du professorat. Après avoir long-temps professé les belles-lettres, la théologie et ce qu’on appelait alors la philosophie, il s'adonna spécialement à l'étude de l'astronomie. A cette époque, l'Allemagne, dans le premier zèle de la réformation, rejetait la correction du calendrier parce qu’elle venait de Rome, et l’église romaine repoussait avec la même opiniâtreté et le même aveuglement toutes les découvertes des savans allemands, comme

infectées d'hérésie. Le père Riccioli fat chargé par ses

supérieurs de démontrer la fausseté du système de Coperpic et des doctrines de Keppler. Ge savant avait trop de fagacité pour ne pas comprendre toutes les difficultés de i

étrange mission dont il devait s’acquiiter ; aussi, dit l’auteur de l'Æfistoire de L' Astronomie moderne, Riccioli attaqua ce système par tous les argumens quil

put imaginer,

croirait entendre un avocat chärgé d’office d’une mau-

mais, à Ja manière dout il en parle, on

vaise cause et qui fait tous ses efforts pour la perdre. Il convient, par exemple, qu’envisagé comme une simple hypothèse, le système de Copernic est le plus beau, le plus simple et le micux imaginé. Néanmoins, dès qu'il ne l’acceptait pas, il fallait lui en substituer un autre, ét comme ceux de Ptolémée, de Tycho où du père Rheïta (vor. ce mot) n'étaient déjà plus soutenables, il en proposa un nouveau. Il exposa ses idées à cet égard , dans un écrit qu’il intitula 4/magestum novum : nous ne le suivrons pas dans l'explication de ce système qui ne peut être considéré aujourd'hui que comme un simple objet de curiosité. Mais le père Riccioli jeta dans ce livre les fondemens de la réforme complète de l'astronomie. IL avait compris que la véritable mesure de la terre devait servir de base, à ce grand travail dans leque! devaient être corrigées les méthodes ei les doctrines défectueuses que nous avaient laissées les anciens, Aidé par les missionnaires que les jésuites avaient dans toutes Les parties du monde, il put composer un

système général et uniforme de métrologie, que cependant des erreurs peut-être inévitables alors ont dû faire oublier depuis. Le père Riccioli qui fit de nouvelles et excellentes observations sur la lune, sur les satellites de Saturne, et à qui l’on doit en général des travaux fort utiles aux progrès de l'astronomie et de la géographie, mourut accablé d’ans et d’infirmités, à Boulogne, le 25 juin 1661. Ceux de ses principaux ouvrages qui intéressent les sciences mathématiques , sont : [, 4{mages- Lum novum , astronomuam vetereni nova que comnplectens ; Bologne, 1651, 2 vol. in-folio. I. Astronomia reformata ; ib., 1665, 2 vol. in-folio. Cet ouvrage n’est que le complément du précédent, il renferme un grand nombre d’observations et moins de théories susceptibles de discussion. IT. Geographiæ et hydrograpliæ reformatæ, libri xu, ib., 1661 ,in-folio. Ce traité, rempli de savantes recherches, a jouilong-temps de l’estime des savans ; il peut encore être consulté avec fruit,

RIGEL. (451) Nom d’une étoile de première grandeur, située dans le pied occidental d'Orion.

ROBERVAL (Gizres Personne ou PERSONNIER DE).

L’un des plus célèbres géomètre du XVII' siècle, ilnaquit vers l’an 1602, au sein d’une famille pauvre et obscure, dans le petit village de Beauvoisis, dont il prit le nom. Aucun biographe ne nous fait connaître par quels moyens il put faire ses études et se livrer à son goût pour les sciences. Baillet, lui-même, se tait à cet égard, quoique cet historien de Descartes ne réglige point ces sortes de recherches en parlant des adversaires de son illustre héros. Quoi qu’il en soit, on voit d’abord Roberval assister, comme Descartes, dans le seul but de satisfaire sa curiosité de géomètre, au siége de La Rochelle. Il revint à Paris en 1629 et s’y lia avec le célèbre père Mersenne , et fut successivement nommé professeur de philosophie au collége de maître Gervais et à la chaire de mathématiques fondée dans cet établissement par le malheureux Ramus. On ne doit point oublier que, suivant les intentions du fondateur, cette chaire se mettait au concours tous les trois ans : Roberval l’emporta constamment sur tous les prétendans et la garda toute sa vie.

On doit regretter que cet homme de génie ait perdu tant de temps en vaines discussions, dans lesquelles il n'eut presque jamais le bon droit de son côté. Il lutta contre Cavalleri, Descartes et Torricelli, dans des circonstances que nous ne pouvons qu'indiquer. On ne peut douter que Roberval ne füt depuis long-temps en possession d’une méthode géométrique à l’aide de laquelle il pouvait résoudre les problèmes les plus diffciles, lorsque Cavalleri publia sa Méthode des indivisibles, et lui ravit l'honneur qu’il pouvait espérer de

sa découverte. La lettre que Roberval écrivit au géomètre italien pour réclamer la priorité de cette invention, est remarquable par les exemples qu'il cite de l'emploi fréquent qu'il avait autérieurement fait de cette méthode, Il y avoue ingénument qu’il la gardait en secret avec le plus grand soin pour se procurer une supériorité flatteuse sur ses rivaux, par la difficulté des problèmes qu’elle le mettait en état de résoudre. Roberval fut donc justement déçu dans ses espérances, car il est indigne d’un homme de génie de faire un mystère de ses découvertes par un motif aussi frivole. Roberval était aussi l'inventeur d’une autre méthode fort ingénieuse pour les tangentes, quoique inférieure à celles de Fermat et de Descartes. Il portait la présomption et l’orgueil jusqu’à être jaloux du dernier de ces grands hommes, et il prit contre lui la défense de l'écrit que Fermat venait de publier sur les questions de maximis et minimis, en osant reprocher à Descartes de ne lavoir critiqué que parce qu'il ne l'avait pas entendu. On sait que Descartes écrasa Roberval de tout le poids de sa supériorité en adressant la solution du problème de la tangente des cycloïdes au P. Mersenne, auquel il avait écrit qu’on avait bien tort de faire tant de bruit pour des choses si faciles. Roberval avait, comme tous les géomètres francais, inutilement cherché la solution de ce problème, et il crut se venger de son illustre adversaire en attaquant sa géométrie. On doit, pour la gloire de ce mathématicien, oublier les objections sans fondement et sans force qu’une passion aveugle lui dicta contre cette production immortelle. Nous n’entrerons pas dans les détails de sa dispute avec Torricelli. On sait que Roberval avait résolu plusieurs problèmes de la cycluïde, découvertes que le célèbre inventeur du baromètre réclama, peut-être avec peu de justice, en faveur de Galilée son maïtre, dont les titres à l’immortalité n'avaient pas besoin de cette gloire. Roberval, qui est encore l'inventeur de la classe des lignes courbes auxquelles son nom est demeuré attaché, mourut au collége de maitre Gervais, le 27 octobre 1675, à l’äge de 73 ans. Malgré son humeur capricieuse et emportée, Roberval eut beaucoup d’amis, parmi lesquels on cite Gassendi et le père de Pascal. Le géomètre Gallois, un d’eux, publia ses productions dans le Recueil des divers ouvrages de mathématiques et de physique des membres de l'Académie des sciences, 1600, in-f°. Ce sont: Observations sur la composition des mouvemens et sur le moyen de trouver les tangentes des lignes courbes ; — Projet d’une mécanique , traitant des mouvemens composés ; — De recognitione æquationum, de geometric& planarum et cubicarum æquationum resolutione ; — Traité des indivisibles; — De trochoïde ejusque spatio ; — Epistolæ ad Mersennum et Torricellum., Roberval était membre

de l’Académie des sciences depuis sa formation ; outre les mémoires que nous venons de citer, on a de lui: I. Traité de mécanique des poids soutenus par des puissances sur les plans inclinés à l'horizon, in-f° de 36 pages, publié par Mersenne, à la suite de son Traité de l'harmonie. XI. Aristarchi Sami de mundi systemale, partibus et motibus ejusdem lbellus cum notis. Paris, 1644, in-12. III. Et, enfin, Nouvelle manière de balance inventée par A. de Roberval. (Journal des savans de 1670.)

ROBINS ( Bensamin). Membre de la Société royale de Londres, et l’un des ingénieurs les plus distingués de l'Angleterre, il naquit à Bath, en 1707, de parens quakers. Son goût pour les sciences mathématiques et physiques l’éloigna de la carrière à laquelle sa famille le destinait, et il dut songer de bonne heure à tirer un parti utile de son instruction. Le docteur Pemburton, auquel il communiqua un de ses mémoires mathématiques , devint son protecteur et le produisit dans le monde. À l'âge de vingt ans, il donna une démonstration de la dernière proposition du Traïté des Quadratres de Newton, qui fut jugée digne d'être insérée dausle volumedes Transactions philosophiques de 1727, et ce fut sur la fin de cette année que la Société royale l’admit au nombre de ses membres. Il se mesura l’année suivante avec l'illustre géomètre Jean Bernouilli, à l’occasion de la question des Forces vives. Robins s’est surtout rendu célèbre par ses recherches dans l’art des fortifications et la balistique. Créé pair sous le nom de comte d'Orford , après avoir été un des membres les plus influens de la chambre des communes, Robins, malgré ses occupations politiques, ne cessa point de travailler au progrès des branches de la science qui avaient été l’objet particulier de ses études. Malheureusement il mourut bien jeune encore , le 29 juillet 1957, aux Indes orientales, dont il avait été nommé iugénieur. Les œuvres philosophiques et mathématiques de

obins ont été recueillies et publiées avec une notice sur sa vie, par son ami le docteur Wilson; Londres, 1761,2 vol. in-8°, Outre les Nouveaux principes d'artillerie (New principles of gunnery ), on y trouve les divers mémoires qu’il a publiés dans les Transactions philosophiques et l'écrit intitulé : État présent de la république des Lettres, publié au mois de mai 1728. On sait que cet ouvrage est une réfutation des théories Leibnitienne et Bernoullienne.

ROËMER (Oraus), célèbre astronome, né à Copenhague le 25 septembre 1644, fut amené en France par Picard, en 1672, lors du voyage que fit ce savant à Uranibourg ; Roëmer y était alors occupé à classer sous la direction de Bartholin les manuscrits laissés por

Tycho-Brahé. Le jeuneastronome danois fut parfaitement accueilli à Paris, nommé professeur de mathématiques du dauphin, et peu de temps après membre de l’Académic des sciences. Il ne tarda pas à prouver avec éclat combien il était digne de ces honneurs. En 1675, il exposa, dans un mémoire à l’Académie, la théorie du mouvement progressif de la lumière et la mesure de sa vitesse. Cette importante découverte, à laquelle il avait été conduit par une suite d'observations des éclipses des satellites de Jupiter, est devenue son principal titre à la célébrité. Rappelé à Copenhague par son souverain, et promu aux honneurs de la première magistrature de sa ville natale, il ne cessa pas, malgré les nombreuses fonctions dont il était chargé,de s'occuper dela sciencequi luidevaitle plus brillant progrès. Roëmer recherchait particulièrement la parallaxe des étoiles fixes qui devait Famener à une démonstration positive du mouvement de la terre. Depuis dix-huit ans , il avait recueilli de nombreuses observations à cet égard , et il se disposait à en publier le résultat, quand il mourut de la pierre, le 19 septembre 1710. Ses manuscrits ont été perdus dans l'incendie de l'Observatoire de tobre 17928, mais

Copenhague, qui eut lieu le 20 ocon trouve quelques mémoires de ce grand astronome dans le Aecueil de l’Académie des sciences, tomes VI et X. (Woy. l'éloge de Roëmer par

Condorcet.) ROMAINE. (Hce.) Foy. Baraxc.

ROSE DES VENTES. (Nav.) Voy. Boussoze.

ROTATION. {Hec.) Mouvement d’un corps autour d’une ligne droite qui prend le nom d’axe de rotation.

En géométrie, ce mot signifie la révolution d’une surface autour d’une droite immobile, et l’on conçoit cette révolution comme engendrant un solide. (Foy. Ex- GENDRER.)

Rorarion pEs pLANèrEs. Mouvement par lequel le soleil et les planètes tournent sur leur axe d’occident en orient. (Foy. Souerc et les divers noms des planètes.)

ROUAGE. (Jéc.) Machine composée de plusieurs roues destinées à produire un effet quelconque par

leur combinaison.

ROUE. (AMec.) Corps rond et ordinairement plat, de bois, de métal ou autre matière, et mobile sur un essieu ou axe.

La roue est une machine simple d'un grand usage qui entre dans un grand nombre de machines composées, telles que les horloges, les moulins, etc. On considère deux espèces de roues : les unes tournent toujours dans le même lieu sur un axe qui est fixé à

leur centre, et dont les pivots tournent dans des

trous qui servent d'appui, comme les roues des horloges, des moulins, des tournebroches, etc.; ces sortes de roues recoivent le mouvement ou le transmettent par certaines parties saillantes qu'on réserve ou qu'on ajoute à leur circonférence et qu’on nomme dents, ehevilles, vannes, etc. Les roues de la seconde espèce, roulant sur leur circonférence, portent leur centre et l'axe ou l’essieu qui le traverse dans une direction parallèle au plan ou au terrain qu'elles parcourent : telles sont les roues des voitures. Ces sortes de roues ont donc deux mouvemens ; l'un de leur centre qui s’avance en ligne droite, et l'autre de toutes leurs parties qui tournent autour de ce centre.

Les roues peuvent être généralement considérées comme des assemblages de leviers, et leur théoriese déduit aisément de celle de cette machine. Ainsi les roues de la première espèce agissent comme des leviers du premier genre et servent à égaler l’action de puissances très-différentes les unes des autres; à transmettre Ie mouvement ; à changer la direction, et à faire varier la vitesse dans la puissance et dans la résistance; tandis que les roues de la seconde espèce agissent généralement comme des leviers du second genre. La théorie des roues étant liée à celle du rrEuIL, nous renverrons à ce dernier mot.

Rove uypeauLioue. Machine mue par la percussion d’une eau courante et destinée à transmettre le mouvement à d'autres machines quelconques.

Une roue hydraulique est une roue de la première espèce dont la circonférence est garnie de palettes qu'on nomme aubes, ou de cavités qu'on nomme auges. Ces aubes ou ces auges étant frappées par l'eau font tourner la roue ainsi que son axe, lequel , à l’aide d’un engrenage, transmet le mouvement aux machines qu'on veut mettre en: action.

La théorie des roues hydrauliques étant d’une haute importance pour les établissemens industriels qui se servent de ces moteurs, nous allons exposer ici ses principes fondamentaux.

1. Roues verticales placées dans un courant d'une largeur et d'une profondeur indéfinies.

Dans une roue verticale, placée dans un courant d'une largeur et d’une profondeur indéfinies, l'aire des aubes exposées au choc du courant peut varier à la volonté du constructeur, Plus cette aire sera grande, plus la quantité d'action transmise par la roue pourra être considérable. L’aire des aubes étant donnée , on peut établir divers rapports entre leur vitesse et celle du courant. Les questions qu'on peut se proposer dans l'établissement d’un moteur de ce genre sont: 1° con: uaitre en fonction de la vitesse du courant, de celle des aubes et de leurs dimensions , la quantité d'action

qui peut être transmise par la roue; 2° déterminer la

vitesse de la roue de manière à rendre cette quantité d'action la plus grande possible.

Nommant

= re

l'aire de la partie de l'aube plongée dans l’eau quand

cette aube est verticale,

V la vitesse circulaire du centre de cette aire,

m la vitessse du courant,

P l'effort exercé par le courant, tangentiellement à Ja circouférence passant par le centre de l’aire Q ;

I le poids de l'unité de volume du fluide,

pv}

l'aube et du courant,

h — Ja hauteur due à la vitesse relative de

K. un coëfficient numérique, à déterminer par l’observation.

Observant que l’action du courant sur le segment de la roue plongée dans l’eau est semblable à celle qui aurait lieu sur un corps de la même figure que ce segment, lequel serait mu dans le sens du courant avec la

vitesse V, on doit avoir

Le coefficient K peut varier suivant le nombre des aubes que porte la roue, leur figure et leur disposition, leur hauteur comparée à celle du rayon, etc. On déduit de la pour l'expression de la quantité d'action transmise dans l'unité de temps

(—VPV

PV—KTne

La faisant varier V, et supposant que cette variation laisse K constant, la valeur de PV deviendra un maxi-

mum quand on aura

£ v / + RQ, PT K nn 27 28 9

r ll « 7 V=rc d'ou PV 2. Il paraît que‘le nombre K demeure sensiblement constant quand vet V varient, lorsque les aubes plongent entièrement dans l’eau. Quand elles ne plongent qu’en partie, KR augmente probablement un peu ; quand V diminue par rapport à v , la valeur de V correspon-

dante au maximum d'effet serait alors un peu plus : : I pete que = v.

Ô Les tentatives faites pour évaluer K, en estimant:

les actions exercées sur les aubes d’après fes principes, des anciennes théories de la résistance des fluides, ne peuvent conduire qu’à des résultats entièrement illusoires et erronés. La valeur du coefficient K ne peut | être déterminée que par des observations faites sur des

roues, et il ne paraît pas nécessaire que ce genre d’observations soit fait très en grand. Les expériences connues ne donnent pas sur ce sujet des résultats suffisamment précis et assurés. Pour les roues à aubes, telles qu'on les construit communément , la valeur de K paraît étre comprise entre 2, à et 3.

Cette valeur peut être augmentée par une disposition plus avantageuse de la roue. Il ne faut pas que la 3 ou plutôt de ; de son rayon. Les aubes doivent avoir au moins 0”, 33

roue plonge dans l’eau de plus de

de hauteur. Elles doivent être espacées d’une quantité au plus égale à leur hauteur. Elles doivent être incli-

nées en avant , et former avec le rayon un angle égal

nt : I à + de l’angle droit quand la roue plonge de 1 Las 1e , ou de - de son rayon, et un angle moitié moindre si 5 y

avantage à leur donner une légère concavité du côté

la roue plonge de + du rayon. On doit trouver de

où l'eau les frappe.

3. Roues verticales destinées à transmettre l’action d'un courant ou d'une chute d’eau d’une capacité donnée.

Quelque variée que soit la disposition de ces roues, l'action de l’eau sur elles offre généralement les circonstances suivantes. Avant de frapper les aubes ou les augets fixés à la circonférence de la roue, l’eau a parcouru une partie de la hauteur de sa chute et acquis une vitesse. Cette vitesse est plus grande que celle de la circonference de la roue. Après avoir frappé les aubes, l’eau a pris leur vitesse avec laquelle elle parcourt le reste de sa chute, et qu’elle possède encore à l’instant où, étant parvenue au bas de la chute, elle cesse d’agir sur la roue. Nommant H la hauteur totale de la chute,

h la portion de la chute parcourue par l’eau, avant qu’elle ne frappe les aubes ou les augets,

m la masse de l’eau fournie par la chute dans l'unité de temps,

E le volume de cette eau,

I le poids de l'unité de volume du fluide,

A l'aire moyenne de la section transversale de la veine d’eau qui agit à la circouférence de la roue,

V Ja vitesse uniforme de la circonférence de la roue

passant par l’axe de cette veine, on a

mg == TE = nov.

P l'effort qui s'exerce, par suite de Vaction de l’eau, dans le sens de cette circonférence, S la longueur de l'axe de la circonférence susdite com-

prise entre le point où l’eau frappe les aubes et le

point le plus bas où elle quitte la roue,

z Ja distance verticale de ces deux points,

p le poids du volume d’eau que déplace la portion susdite de la circonférence de la roue, en plongeant dans l’eau contenue dan; le coursier.

Supposant le mouvement de la roue uniforme, en observant qu'à l'instant où l’eau frappe les aubes ou augets elle perd subitement la vitesse Vogh—V; qu'à l'instant où elle quitte la roue elle posside ja vitesse V ; on a

Force vive acquise par le système dans l'unité de temps... TA

Force vive perdue par l'effet du choc miV2gh—\): Quantité d'action imprimée dans le mème temps... mgH—PV

Egalant la somme des forces vives acquises et perdues

ns cesser

au double des quantités d'action imprimées, il vient, pour l'expression de la quantité d'action transmise dans l'unité de temps

PV = mg (H—h) + m (V/2gh — V) V.

Oa peut disposer des quantités À et V, et on doit le faire de manière à rendre PV le plus grand possible. Ou

satisfera d’abord à cette coudition, en faisant

Vogh , d'où PV = mg(l — . h).

Il faudra ensuite supposer

h—0o, d'où V—o, ct PV = mg.H.

D'où il résulte 1° que le maximum d’effet a lieu quand la vitesse des aubes ou augets est la moitié de celle de l’eau qui les frappe; 2° que ce maximum est d'autant plus grand que cette vitesse est plus petite ; 3° que la limite théorique est la quantité d'action représentée par la chute de l’eau.

Cette théorie établie, examinons successivement les principales dispositions connues pour les roues verticales.

4. Roues en dessous. Ce qui caractérise ce genre de roues est que l’eau frappe les aubes après avoir parcouru toute la hauteur de la chute, et avec la vitesse due à cette hauteur (PI. 39, fig. 10) on a alors AH,

m(V/2gH—V JAH Le plus grand effet a lieu quand

V =! gl", d'où PV = mg.H.

Ainsi, la vitesse des aubes doit être la moitié de celle de

l'eau qui les frappe, et la limite théorique de la quantité d'action transmise est la moitié de celle représentée par la chute de l’eau.

Les observations et expériences faites sur ce genre de roues ont appris 1° que la vitesse des aubes doit être

seulement les £ de celle de l’eau qui les frappe, 2° que la quantité d'action transmise à la roue était seulement le 3 de celle représentée par la chute, On a donc dans la pratique :

géneralement

PV — 3 m(V28H—V) v

PV = 2 Vas —VIV >1Q PV — — (V/28H—V)V:

dans le cas du maximum d'effet,

PV == mg H, P =3— V2 PV P— 5 Vel PV — 10H V2gH, P =; noH

Q a ici la même signification qu’au n° 1.

Ces formules ne représenteront d’aillears exactement l'effet obtenu qu'autant que les dispositions admises seront réalisées. Les principales conditions à remplir sont 1° que la vitesse de la veine d'eau, quand elle vient frapper les aubes, soit véritablement celle due à la chute (on v parviendra en évasant l'entrée de l’orifice et mettant peu de distance entre cet orifice et les aubes) ; 2° que les aubes soient contenues dans un coursier qu’elles remplissent exactement, et aient une hauteur suffisante pour quela veine d’eau ne passe pas pardessus. On trouvera de l'avantage à les disposer conformément à ce qui a été dit n° 2.

5. Roues de côté. Ge sont celles où l’orifice qui donne l’eau est placé à une hauteur intermédiaire entre le hautet le bas de la roue. Leur établissement doit être assujéti aux résultats du n° 2.

Leur vitesse devrait être la moindre possible , mais l'expérience apprend que la vitesse de la circonférence d’une roue hydraulique, pour que cette roue marche régulièrement, doit être au moins d'environ un mètre

par seconde. Il faut régler les dimensions de l’orifice et la charge sur son centre , de manière que la vitesse del’eau , quand elle frappe les aubes , soit double de la vitesse de ces aubes.

Les roues dont il s’agit (PI. 39, fig. 9.) peuvent être disposées de deux manières différentes : 1° l'eau peut être reçue dans des augets portés par la roue; 2° elle peut agir sur des aubes se mouvant dans un canal ou coursier concentrique à la roue, que ces aubes remplissent exactement. Dans le premier cas, le poids de l’eau qui agit sur la roue est entièrement supporté par elle, en fatigue la charpente et augmente le frottement. Dans la seconde disposition, qui paraît préférable (surtout quand la hauteur de Ja chute est petite), la plus grande partie du poids de cette eau est portée par la paroi du coursier. Mais il arrive alors qu’une portion de la circonférence de la roue plongeant dans l’eau, v perd un poids égal à celui du volume d’eau qu’elle déplace , dont l’action diminue celle que le courant exerce sur la

roue.

6. Roues en dessus. On désigne ainsi les roues qui reçoivent l’eau sur leur sommet(Pl. 40, fig. 1). Elles la reçcoivent ordinairement dans des augets, quelquefois entre des aubesse mouvant dans un coursier concentrique, comme il vient d'être dit. L'emploi des augets paraît convenir dans le cas ou il y a une très-petite quantité d’eau, et une grande hauteur; et l’autre disposition dans le cas contraire. L'établissement de la roue est d’ailleurs assujéti aux mêmes considérations théoriques rappelées dans le numéro précéden!. Les observations et expériences indiquent que la quantité d'action transmise à la roue est les $ de la valeur donnée par la théorie.

Le calcul des roues de côté et des roucs en dessus, lorsque l’eau est reçue dans des augets, se fera au moyen des formules suivantes :

Dans le cas général ,

PV — S [men + msi vi ]

Le)

PV = i [Er +Vas VV] Dans le cas du maximum d'effet, ave

T J VS) Vr=—= V8; h = cs

PV = À (mime).

Lorsque la roue est contenue dans un coursier, on aura, pour le cas général,

PV = mg H—h) +m(V2gh—N)V—p : V nE , — : 3 PV = 1h) + — (V2gh—V)V — p : V pour le cas du maximum d’effet, . 1 -— 2V:

Vi ;Vash, h mr

PV = mg—mV—p °V.

PV = nE (H — SE VS