CHR

Pour avoir égard aux pertes d’eau qui ont lieu autour des aubes, il faudra supposer une dépense d’eau un peu plus grande que la valeur de E introduite danses formules.

Les augets doivent avoir une figure particulière, qui les rende propres à admettre l’eau facilement, et à la conserver lonug-temps (voy. les notes du tom. 1°’ de l'Architecture hydraulique de Bélidor, p. 415). Quand la roue se meut dans un coursier, les aubes doivent le remplir exactement , être un peu inclinées en avant sur le rayon, saillir au-delà des jantes de la roue (afin que ces dernières ne plongent point dans l’eau) au-delà d’un tambour. On diminue l'effet des pertes d’eau en laissant prendre à la roue une vitesse plus grande.

7. Des roues horizontales destinées à transmettre l’action d’une chute d'eau d’une capacité donnee.

Les dispositions des roues horizontales sont plus variées que celles des roues verticales. Leur théorie n’est pas susceptible comme celle de ces dernières d’être renfermée dans une seule formule générale.

Roues horizontales mues par le choc de l'eau. Considérons une roue horizontale (PI. 39, fig. 11) dont la circonférence est garnie de palettes inclinées faites en forme de cuillères, qui reçoivent le choc d’une veine d’eau jaillissant hors d’un tuyau ou d’une buse; supposons le mouvement de la roue uniforme, et nommons : IH la hauteur AC de la chute,

V la vitesse horizontale circulaire du point C de la pa-

lette rencontrée par l'axe de la veine d’eau ,

À l'angle DOM, inclinaison de la palette sur l'horizon, 9 l'angle de l’axe de la veine d’eau avec la normale à la

surface de la palette en C,

P l'effort exercé tangentiellement àla circonférence passant par le point C, par suite de l’action du courant,

m, E,n, g, ayant les mêmes significations que cidessus,

On a : vitesse de la palette estimée perpendiculaire ment à sa surface.

V sinA.

Vitesse perdue par l’eau , par l’effet du choc,

V2gH .cos9— Vsin à.

Vitesse conservée par l’eau, après le choc, et quand elle cesse d’agir sur la roue,

VLgH.sin 02 V’sin’à].

D'où force vive acquise par le système dans l'unité de temps ,

m(2gH .sin?9-E Voisin’).

Force vive perdue par l'effet du choc,

m(V/28H.cos0—Vsinà}, Les quantités d’action imprimées sont P mg.H—PV.

Egalant la somme des forces vives acquises et perdues

au double des quantités d'action imprimées, il vient PV =m(y2gll.cos —Vsina)Vsinà,

pour l'équation du mouvement de la roue.

La roue doit être disposée de manière à rendre cette expression de PV un maximum. On voit d'abord que l’on doit avoir

c’est-à-dire que la veine d'eau doit choquer perpendi-

culairement les palettes ; d’où PV = m(V/2gH—Viin à,Vsin à.

On devra faire ensuite

d'où

PV = = mgll, où PV =; nE.ll.

Le mouvement de la roue doit être réglé de manière que la vitesse ait la valeur ci-dessus. La quantité d’action transmise est alors théoriquement la moitié de celle qui représente la chute. On voit que, la vitesse de l'eau demeurant la même, on peut faire varier la vitesse de la roue sans cesser d'obtenir le maximum d’effet, en variant l'inclinaison des palettes.

On n’a pas sur les roues de cette espèce d'expériences spéciales qui fassent connaître avec certitude la quantité d’action'qu’ellestransmettent. On peut présumer qu'elle

est à peu près la même que pour les roues verticales considérées n° 4, et qu’il y aurait aussi de l’avantage à donner à la roue une vitesse un peu au-dessous de celle que la théorie indique ; l'établissement de la roue se ferait aussi d’après des formules analogues à celles du numéro cité.

8. Roues hor/zontales mues par le choc et par La pression de l'eau. On suppose une roue dont la circonférence est garnie de palettes courbes. La veine d’eau BC (PI. 30, fig. 10), quiarrive suivant une directioninclinée, choque perpendiculairement le haut de ces palettes, coule entre elles, et sort de la roue à leur extrémité inférieure D. La veine d'eau est supposée, pendant son mouvement dans la roue, demeurer à la même distance de l'axe. Nommant

FH la hauteur totale de la chute,

h la portion AC de la chute parcourue par l’eau avant

qu'elle n'entre horizontale; on a alors

è : — re : :

PV=mising/2gh + V2 (1h) — : V(i+sin9)] V.

On devra faire ensuite

sin OV/2gh+V/2g Hi h)

1 +sin’ÿ ;

ce qui donnera

m {sin

agh 4/28 M—h)} ; 2(1+-s1n"6)

PV —

faisant varier L, on aura, pour la valeur qui répoud au

maximum ,

d’où

[sin G\/2gH\

PV— m U

Eafñiu, faisant varier 9, on aura, pour la valeur qui

répond au maximum sn 0—=1,

valeur qui conduit aux suivantes:

Ainsi, pour obtenir le maximum d'effet, 1° la veine d’eau , eu entrant dans la roue, doit être dirigée horizontalemeut; 2° la hauteur qu'elle a alors parcourue doit être la moitié de la hauteur de la chute ; 3° la vitesse de rotation du point de la roue où l’eau entre doit être égale à celle de l'eau, en sorte qu’il n’y ait point de

choc. Le maximum d'effet est théoriquement la moitié de la quantité d’action que représente la chute. Cette roue n'offre donc aucun avantage sur celle du numéro précédent.

9. Roues horizontales mues seulement par La puissance de l’eau. Conservant toutes les dénomipations du numéro précédent, on supposcra les aubes tellement formées que la veine d’eau entrant dans la rouene les choque point , mais s’introduise entre elles tangentiellement à leur courbure, Ou supposera toujours que cette veine d’eau demeure pendant son mouvement à la même distance de l'axe de la roue. Comme ici il n’y a point de choc, il s’agit seulement de connaître la force

vive dans la roue. Nommons donc

V la vitesse circulaire horizontale de la roue, à l'endroit où l’eauentre dans laroue,

9 l'angle ACB que forme la direction de la veine d'eau avec la verticale,

@ l'angle que la tangente DE, au point le plus bas de la palette, forme avec la verticale,

P l'effort exercé, par suite de l’action du courant, tangentiellement à la circonférence passant par le point

où l’eau entre dans la roue,

m,E,1n,g ont les mêmes significations que ci-dessus. La vitesse que perd l’eau, par l'effet du choc, à son

entrée dans la roue, est, comme ci-dessus, V'2gh—Vsin9.

Après ce choc, l’eau n’a plus aucune vitesse relative dans la roue; mais en y parcourant la hauteur I—X, elle acquiert la vitesse relative Vs). Cette der-

nière se décompose en une vitesse verticale — cos? V/28 H—),

sineV'2 Se (H — pe Quand l’eau quitte la roue, sa vitesse sertieslé ne s’ul-

et en une vitesse horizontale

tère point, mais sa vitesse horizontale cffective se trouve de la quantité V. La vitesse effective de l’eau est donc alors

plus petite que la vitesse horizontale relative

VLcose. 2g(H—A) + (sing\/2g(—A)—V}:]

d’où l’on conclut : force vive acquise par le système dans l'unité de temps,

m{cos’e.2g Ah) + (sinoy/2g H—4)—V}] force vive perdue par l'effet du choc m(\/28 ogh—Vsin9)

La somme des quantités d'action imprimées est T mg.H—PV,

l'équation du mouvement de la rouc est donc

PV=: m {aVsin0 V/ogh — Vr(1 sin 0)

+ osin ». VW/2g(Hi—h) |

quantité qu'il faudra rendre la plus grande possible, eu réglant les valeurs de,9,V et. On voit d’abord qu'on doit faire sing = 1.

Conservant toutes les dénominations précédentes , nommons de plus

# la vitesse angulaire de la roue,

r la distance à l'axe d’un point quelconque delaroue, 2 la distance à l'axe du point où l’eau entre dansla roue, r' la distance à l’axe du point où l’eau sort de la roue.

On verra comme ci-dessus que la vitesse relative avec laquelle l’eau commence à couler le long de l'aube est

V/[cos* 0.9gh H (sin 0\/2gh—v'r}],

la force vive que l’eau possède à cet instant {en ne considérant que son mouvement relatif dans la rouc), est

mfcos 0.2gh + (sin9 y2gh—vr')].

Pendant que l’eau est contenue dans la roue, sa force vive doit augmenter d’une quantité égale au double des quantités d'actions qui lui sont imprimées par la gravité et par la force centrifuge. La quantité d'action imprimée par la gravité est mg(11—h). Celle imprimée par la force centrifuge est #

mdrr —

= — mw(re — 7?)

Par conséquent la force vive de l’eau doit devenir

m[cos’0.2gh

+ (sin9/o2gh — vr'}] + 2mg(ll — h) | mere) :

ou m(2gH—ovr'sin0y/2gh + var"),

Sa vitesse effective, à l'instant où elle quitte la rouc est donc, en supposant sa direction horizontale ,

VS — ovr'sin0y/ogh + #27] — or".

La force vive qu’elle possède alors est égale à 72 multipliée par le quarré de la vitesse. Egalant cette force vive à 2mgI—2P.4", on a

Por" =m À vr'sin0y/ 2gh—v7r"2 + 7 V/L2gH—ovr'sin0\/2gh + ver" |}, Cette valeur de la quantité d’action transmise à la

rouesera la plus grande possible, ct égale à la qantité TOME II,

d'action #2g.H fournie par la chute d’eau, si la vitesse effective de l’eau, au sortir de la roue, est nulle , ou si l’on a

VLgll — ovr'sin\/2gh + wr"] — pr" =

d'où

Cette valeur de V est celle qui rend nulle la vitesse effective de l’eau au sortir de la roue.

Des trois quantités V,0, L, il y en a deux arbitraires. La troisième étant réglée conformément au résultat précédent, la plus grande quantité d’action possible se trouvera transmise À la roue.

La valeur théorique de cette quantité d’action est celle même représentée par la chute d’eau.

10. Les roues où l’eau ne choque point les aubes peuvent donc, d'après la théorie, transmettre une quantité d’action double de celle que pourraient transmettre les roues où l'aube est choquée. Il y a lieu de présumer que l'avantage est au moins aussi considérable dans la pratique. On n’a point encore publié d'expériences suffisamment exactes sur les roues de ce genre. Pour que l’eau entre dans la roue sans choquer les aubes, elles doivent être tracées comme il suit. BC (PI. 57, fig 1) représentant la vitesse effective \/25h de l’eau quand elle entre dans la roueen C, les composantes horizontale et verticale de cette vitesse sont AB, AC. Portant la vitesse V en BF, CF représentera le vitesse relative avec laquelle l’eau commencera à couler le long de l'aube. Cette ligne marque la direction de la courbe de l'aube en C. La figure de la courbe entre le point C et le point inférieur D où sa direction doit être horizontale , est indifférente.

On pourrait même se dispenser de mettre des aubes dans la roue. Il suffirait que le fond offrit des orifices, dent l’eau sortit suivant une direction horizontale , et en sens contraire du mouvement de rotation.

11. Considérant toujours la roue dans l'hypothèse du n° 4, où l'eau ne choœue point les aubes, examinons ce qui aurait lieu si l’eau, en descendant dans la roue, s'apprachait ou s'éloignait de l'axe de rotation.

La vitesse de l’eau, quand elle entre dans la roue,

est V/2gh équivalente à la vitesse verticale cos 0V/25h ct à la vitesse horizontale sin0\/2gh. L'eau commence donc à couler le long de l'aube avec la vitesse relative

V/Icos0.2gh + (sin0W/2gh—V}].

L'eau descendant dans la roue de la quantité H—, sa vitesse relative, quand elle arrive à l'extrémité inférieure de laube, est due à la hauteur

[cos0.2gh+ (sinfl/2gh —V}] + H—a:

c'est-à-dire que cette vitesse est

VLgH—a2Vsinl/2gh+ V:].

Elle équivaut à la vitesse verticale

cos V/[2gH—2Vsin6l/2gh + V:],

et la vitesse horizontale, sin gV/{28H—92V sin 0y/2gh+V>].

Quand l’eau quitte la roue, sa vitesse horizontale effective est plus petite que la vitesse relative de la quantité V,et par conséquent la vitesse effective de l’eau est alors

V'{ cosp(2gH—2 Vsino\/2gh + V?) + (singV/Lgl — 2Vsins|/2gh+ V:|—V}}.

La force vive possédée par l’eau est égale à » multi-

pliée par le quarré de cette vitesse.

La somme des quantités d’action imprimées étant

mg. H— PV, où a donc pour l'équation du mouvement de Ja roue, PV = mV {sin6l/2gh—V + sin gV/{28H —2Vsin 6V/2gh + V:]} Il faut déterminer», 0, V et h, de manière à rendre

cette expression de PV un maximum. On voit d’abord, comme dans le numéro précédent, qu’on doit supposer

snp—1,

ou que l’eau sorte de la roue suivant une direction horizontale, On aura

PV = mV {sin6l/2gh — V VD — 2 Vsin OV2gh+V]};

et en faisant varier V,on trouve pour la valeur correspondante au maximum,

Ne tie sinGV/2gh ?

valeur identique à celle trouvée pour V dans le n° 0. Ainsi, quand l'eau en se mouvant dans la roue s’approche ou s'éloigne de l’axe, cette circonstance n’a aucune influence sur les conditions de l'établissement de la machine. Il faut toujours donner la même vitesse

d’où PV = mg.H

de rotat on au point de la roue où l’eau entre. 12. La théorie des diverses espèces de roucs horizon-

tales connues, ou qui pourraient être proposées, est comprise dans les résultats des numéros précédens. Le

u° O se rapporte aux rouessemblables à celles des moulins du Basacle, décrites par Bélidor. Le n° 11 montre que les roues construites sur le même principe que la Danaïde de M. Manoury Dectot { c’est-à-dire où l’eau entre à la circonférence de la roue et en sort près de l'axe), offrent les mêmes propriétés et doivent être établies d’après les mêmes conditions que les précédentes. Ces conditions conviennent aussi aux roues où l’eau entre près de l’axe et sort à la circonférence, disposition qui constitue les roues à réaction proprement dites. Dans ces dernières, la roue a souvent toute la hauteur de la chute et l’eau y entre avec une vitesse sensiblement nulle, Ona alors y/2gh —0 , d'où v æ @ : ainsi le maximum d’effer a lieu quand la vitesse de la roue est infinie.

13. Le même résultat peut être obtenu par un autre procédé qui s'applique plus directement aux roues à réaction où l’eau entre par-dessous; supposons une roue tournant dans l'air ou plongée dans l’eau du réservoir inférieur, dans l'intérieur de laquelle l’eau arrive par le centre, et à la circonférence de laquelle sont des orifices, disposés de manière que l’eau sorte horizontalement, et en sens contraire du mouvement de rotation. Admettons que l'aire de ces orifices est très-petite par rapport aux sections du réservoir supérieur, que leur entrée est évasée, et que l’eau n’éprouve dans les conduits qui l’amènent dans la roue aucun changement

brusque de vitesse. Nommons :

H la hauteur de la chute ou la différence de niveau des réservoirs supérieur et inférieur ,

V la vitesse circulaire horizontale de la roue, au centre des orifices d'écoulement,

la vitesse angulaire de la roue,

r la distance à l'axe d’un point quelconque de la roue,

R la distance des orifices à l'axe,

P l'effort exercé, par suite de l’action du courant, tangentiellement à la circonférence passant par le centre des orifices.

m, E, n,g ayantles mêmes significations que ci-dessus. Si la roue était immobile, la pression contre les ori-

fices étant due à la hauteur H, l’eau sortirait des orifices avec la vitesse Vos. La roue étant en mouvement, la force centrifuge cause, à l'endroit où les orifices sont placés, une pression excédante représentée par l’action de cette force sur une colonne horizontale dont la longueur comptée à partir de l’axe est R. Cette pression est exprimée par

laquelle est due à la hauteur — 2g orifices est donc due en totalité à la hauteur

. La pression contre les

et par conséquent la vitesse relative avec laquelle l’eau en sort ; est

L'eau quitte donc la roue avec une vitesse effective

Vas E VV,

et une force vive m\/284 + VV}.

La quantité d’action imprimée est toujours mg — PV.

Ainsi l'équation du mouvement de la roue est

SACROBOSCO (Jran DE), né à Holyrood, dans le

Yorskshire, vers le commencement du xn°

siècle, est célèbre dans l’histoire de la science comme l’auteur du premier traité d'astronomie que l’Europe ait possédé, indépendamment des anciens, Sacrobosco fit ses études à l’université d'Oxford, et vint ensuite à Paris, où ses connaissances en mathématiques, supérieures en effet pour son temps, lui attirèrent une grande réputation ; il mourut dans cette dernière ville en 1226. Le livre de ce savant, qui pendant près de quatre cents ans a été suivi dans les écoles, est intitulé : De Spherd mundi; ce n’est qu'un abrégé de l’{lmageste et des commentaires des astronomes arabes. Cet ouvrage entièrement oublié comme production scientifique, n’est plus considéré que comme un objet de curiosité, et il est d’ailleurs trop connu pour que nous ne nous bornions pas à ajouter ici qu’il a eu de nombreuses éditions durant le xvif siècle, et qu’il est un des premiers livres que l’imprimerie ait reproduits. Melanchton, à la suite d’un traité de la sphère, imprimé à Wittemberg en 1508, a donné un autre écrit de Sacrobosco, qui a pour titre :

De anni ratione, sive de computo ecclesiastico.

SAGITTAIRE, (451) Nom du neuvième signe du zodiaque qu’on indique par cette figure »#, et d’une constellation appelée aussi centaurus , taurus, chiron,

phillyrides, (Voy, AnmiLLalnE, 15.)

SA PV = myagl HVi— NV) V, \

comme on le trouverait en faisant k— 0 dans l’expression du n° 9. Cette quantité sera la plus grande possible, etégale à la quantité d’action mg.H fournie parla chute d’eau , quand la vitesse effective de l’eau au sortir de la roue sera nulle, ou quand on aura

V'L2gH + V1] — V= 0", d’où V = @œ.

Voyez, pour les détails, l'Architecture hydraulique de Prony, et les Recherches expérimentales de Smeaton , traduites par M. Girard. M. Poncelet, à qui on doit plusieurs expériences hydrauliques très-importantes, a proposé une nouvelle roue à aubes courtes, dont les effets sont supérieurs à ceux des autres roues du même genre. (Voy.son Mémoire sur les roues hydrauliques.)

ROULETTE. (Gcom.) Nom de la courbe plus connue sous celui de CycLoïpe. (Foy. ce mot.)

SAISONS. (4st.) Parties de l’année solaire divisée relativement à la position de la terre par rapport au soleil. On distingue quatre saisons qu’on nomme le printemps, l'été, l'automne et l'hiver. (Foy. ces divers mots.)

SALOMON pe CAUS. Nous avions cru devoir renvoyer ici cet article biographique, dans l’espoir que nous pourrions nous procurer quelques renseignemens moins vagues que ceux que nous possédions sur cè mathématicien. Notre espérance a été trompée en grande partie : Salomon de Caus n’était connu dans l’histoire

de la science que par un Traité de Perspective, qui n'aurait pas sauvé son nom de l'oubli ; mais les perfectionnemens de la machine à vapeur , et l'importance que ce puissant moteur a acquis dans l’hydrodynamique , a dû faire chercher à qui l'humanité était redevable d’une telle découverte. On trouve dans un ouvrage de Salomon de Caus, intitulé Les raïsons des Jorces mouvantes, avec diverses machines tant utiles que plaisantes , Francfort, 1615, in-4°, la première exposition scientifique de la théorie des machines à vapeur. En effet, l’auteur partant de ce théorème : « l’eau montera, par aide du feu, plus haut que son niveau », explique avec beaucoup de lucidité tous les avantages qu'on pourrait tirer en mécanique de l'application de ce moteur, Il donne même l'idée d’une machine de ce