AT
A de ee Ag
et ensuite que cette première égalité: est la même chose que
AFx = A:.A9x un A3.40x? È
puisque Aÿx° — 0. Comparant cette dernière avec la seconde égalité
SE AFF =: Ar. A\'ox + À; Mox?i
on peut les considérer toutes deux comme deux équations du, premier degré entre les inconnues A, et A, ; ainsi construisant la valeur de A, d’après la règle couuue (voy. ÉqQuarTio®, 1°) on aura
Aox.AFx—4ox.dFx
A = Re AT. A°0225—A'0x . Aox2E
ce qui est la même chose que (vo. ci-dessus, n.8).
AT Diee dem]
De même, puisque A971Ë—0, 49x30, A1 —0, les trois premières des égalités (2) sont identiques avec
les trois équations Fa = A1,49x7 + A:.4px2 — AÀ,.Apxi:
AFx —= À:: gx +A, . AO x2ÈH A. Aa FERENY ApdLA, : Mog1E As. Mot faciles dabbent
Werder. AFx]
À3 — je ——— ——> ViA'er. A 0x2, A0x3E]
Eo continuant de la même manière, on verra, nou par induction, comme le fait observer M. Wrou:ki, mais par le principe même de la formation de ces quan:
tités, qu'on aura en général
TL eT gite, Axe HE A6F x] is .. VLA'ex .A'oxti AB igrb—t F. Apoxb#]
# étant un indice quelconque.
Mais comme il faut faire or — 0, après avoir pris les différences, la somme combinatoire, qui forme le dénominateur.de l'expression générale , se réduit à son premier terme, car, dans tous les autres, la permutation dés-exposans des différences introduira des différences AoxrE dans lesquelles» sera plus petit que # et qui conséquemment se réduiront à zéro, On a donc simplement L
V'[Aïpx .A@x2Ë...Ab—1@xmpr1lf, Apt] — — Apr. Au... Au—i@xu—iE, Angault et la loi générale de la série est, ainsi que nous l'avions posée, (2)
€ V'IA'px.A'px? ,... Ab—1@rt—1 F.APFx] Apr. Aa... ,.Al—1@xm—115, ARQærE
Quant aux expressions zrédiates (g) des cocfficiens A:, A2, À des mêmes AS (UbRE une simple transposition.
13. Les expressions simplifiées (f) contiennent encore, après le développement des fonctions Ÿ, des termes qui se réduisent à zéro , mais on peut s'éviter la
, etc. on les tire
peine de les construire en développant ces fonctions d’après le procédé d'exclusion indiqué par M. Wronski, dans une note placée à la fin de sa philosophie de l'infini. V'expression générale (f) prend alors une forme très-élégante dans laquelle il n’entre plus que les termes isolés construits avec les différences de la fonctionFx et des facultés gx ; @x25, etc: , ‘ét formant ainsi les élémens de la loi fondamentale des séries. Nous sommes forcés de rénvoyer pour les détails à ‘la Philosophie" ide la technie, deuxième section. À ; | 14. La loi fondamentale des séries étant maintenant connue, nous allons en déduire les principales lois particulières trouvées par différens géomètres pour le dé- D' abord dans le. ças, quelque sorte primitif, où l’accroissement + est pre ment petit, c'esta-dire lorsque £& où Az est simplement dx , les différences deviennent des différentielles, et la
veloppement des fonctions.
suite des facultés px, x, qui, pxii, etc.
devient la suite des puissances ordinaires ;
XL, PAT, Pa, pi, etc.
alors la forme générale (e) des séries se réduit à à ()
Fr — Ac A:.@x HA,.ox n A:.@x) + etc.
dont le premier coefficient À, est toujours FF ou ce que devient Fx lorsqu'on donne à la variable x la valeur
qui rend @x — 0. Le cocffcient général (à ) devient (2)
! Pidiogn. dpx..
6 dpx.d'ox.,
.dp—1prh1. déFx] ‘ .dér@ar x dégr#
expression dans laqueile il faut toujours donner à x.la valeur correspondante à gx — 0, après les différentiations.
Or, en retranchant les termes qui s’évanouissent par
cette valeur de x, on a dpx — d@x gx = 1.2 dx)
Œexi= 1.2.3,(dpx) digri= 1.2.3.4.(dpx)i
.3.4.5.(dex).
da 0 |
& etc =
SE
et, en général, dégxb — 1v\1.(dpx)v;
le dénominateur de l'expression (L) est donc la même chose que
(1).(n2).(1,243).(1.2.8.4).(1.2.3.4..2) (dex) +2+5...+8
ip) = (LISTES A). (dox) 27 f
et cette expression elle-même se réduit à
À — VId'@x.d'ox".dpx….. a iqatrt. dé
ù pu+i)
(r.12lr,13lr, 141...
Nous ayonc donc pour les coefficiens particuliers A, , A:,A,,etc., la suite de valeurs (72)
À = Fx A V[dFx] dEx db dpi ddr oise -4Tx] À, — Lu: 2) .( (dgxy A Ldigx.d’'ox.diFx] Lo TN 12 #4,2).(1.2.3). (dgx) L'[d'ex.dox1.d'gx". dix] A: — = = 1.2).(1.2.3).(1.2.4).(dpx) etc.— etc.
dans lesquelles il faut faire 9x=0 après les différentiations, et commeon a d''ox" —0, toutes les fois que x est plus grand que 2, on retranchera, en formant les fonctions , tous les produits dans lesquels la permutation des exposans des différentielles amènera de telles quantités.
15. Les expressions (2) et particulièrement l’expression générale (l) présentent la oc de la série primitive (À), loi qui n’était point connue avant M. Wronski, car toutes les formules qu’on avait trouvées jusqu'à lui pour les cocfficiens A,, À,, A,,etc , ne faisaient qu'indiquer une suite d’opérations propres à arriver à la détermination de ces coefficiens , mais ne donnaient pas les derniers termes mêmes ou les élémens dont se compose cette détermination, comme le font les expressions (1), après qu’elles sont développées suivant le procédé d’exclusion donné par ce géomètre. Par exemple, les coefficiens de Paoli que nous avons fait connaître , DirréRENcE, 42, expriment uniquement le. système des différentiations successives qu'il faut faire.
subir aux fonctions Lx et @x, sans indiçaër en aucune manière la loi qui régitles élémens de ces cocffciens. Toutes les autres expressions de ces mêmes coefficiens, obtenues par Euler, Burmian, Arbogast et Kiamp, ne présentent encore que leur génération relative et non leur génération absolue donnée seulement par les formules précédentes.
