CET

tielles par les accens ", ”, "etc., et remplaçant de plus

ox par y, l'ex{ression précédente devient

D y (fa.F'a) L = (far. F'a) Ex = Fa+ y(fa.F'a) 4 SU l'a)

en (fa .F'a) + etc.

c’est-à-dire l'expression dont Lagrange a donné une déduction dans sa Théorie des fonctions, et qu'il a appliquée au retour des suites dans la note XI, de sa Résolution des équations numériques.

27. Dans les formules de développement de Kramp et d’Arbogast, des coefficiens des puissances d’un polynome auxidifférentielles de

les coefficiens sont donués en fouctions liaire formé avec les la fonction Ex, qu'il s'agit de développer, et celles de la fonction gx prise pour mesure. Nous ne pouvons reproduire ici ces formules, dont la déduction nous entrainerait trop loin et qui ne représentent d’ailleurs que des procédés indirects. La prodigieuse extension que D.

Wronski a donnée à la théorie des séries, le haut degré

de perfection de ses formules, la généralité absolue de

ses résultats et la clarté inattendue qu’il a jetée sur la métaphysique obscure de cette branche si importante de l’algorithmie, ne permettent plus aujourd’hui de citer les résultats des calculs de dérivations autrement que pour l'histoire de la science.

outes les lois précédentes s'étendent avec facilité aux cas de plusieurs variables dépendantes ou indépendantes, mais nous ne pourrions entrer dans ces détails sans dépasser les limites très-étroites qui nous sont imposées; nous devons donc renvoyer aux traités de calcul différentiel, pour ce qui concerne le théorème de Taylor, et à la Philosophie de la technie de M. Wrouski, pour les lois universelles dues à ce savant. Nous traiterons ailleurs de la somination des séries. (Foy. Soymarion.)

28. L'emploi des séries ne remonte pas plus haut que le XVIT siècle, et Mercator parait être le premier qui s’en soit servi pour obtenir la génération d’une quantité cherchée; mais Newton et Leibnitz doivent être considérés comme les fondateurs de cet algorithme : Newton, par la découverte de son célèbre binome, Leibnitz, par ses travaux sur un grand nombre de séries numériques dont il enseigna à trouver la somme et dont il signala l'importance. Cependant on ne doit pas oublier qu’un des moyens employés par Archimède pour quarrer la parabole consiste dans la sommation d'une progression géométrique décroissante continuée à l'infini.

Les essais de Leïbnitz, publiés en 1682 et 1653, engagèrent les géomètres à s'occuper des séries ; les deux illustres frères Jean et Jacques Bernouilli s’excitèrent bientôt au mème genre de recherches en se faisant part de leurs découvertes mutuelles, et lorsque Taylor eut produit son théorème, ces grands géomètres et ensuite Euler s'élevèrent à des questions; qu’on avait crues jusqu’alors inabordables.

C'est au théorème de Taylor, dit M. Wronski, dans sou Prodroime «du messianisme, que commencent proprement Îles mathématiques modernes, dont Euler, muni de ce puissant instrument a fixé pour ainsi dire, à lui seul, toute la sphère, — « Aussi loin que pouvait s'étendre l'application du théorème de Taylor, directement Gu indirectement , aussi loin Euler a dévoilé la vérité, — On ne sait trop ce que l’on devrait désirer le plus, qu'Euler eût employé son génie à accomplir si parfaitement l'édifice d’un autre, ou qu'il l'eût employvé à poser les fondemens à un édifice plus vaste encore. Toujours est il certain que, commencant à seutir l'insuffisance du théorème de Taylor, ce grand géomètre préluda à un nouveau mode de génération universelle, dont nous parlerons dans l'instant (les

fractions continues},

« Cette insuffisance se faisait surtout sentir dans la résolution des équations infinies ou dans ce que les géomètres nommaient retour des suites. — Pour y suppléer, Lagrange, éclairé par ces travaux de l'Europe savante, fit la découverte de son fameux théorème, qui, à cet égard complète le système de Taylor, et qui, à d'autres égards, est déjà supérieur au théorème de ce dernier, lequel ne se trouve plus être qu'un cas particulier du théorème de Lagrange.

» Ce fut ainsi que se développa insens blement ce majestueux système de savoir qui, sans contredit, cest un des plus beaux titres de l'humanité, comme il est un de ses plus puissans instrumens. — Mais ce qu'il y a ici d’admirable, c'est que faisant abstraction de Newton et de Leibnitz, fondateurs de ce système, on trouve que les derniers résultats se concentrent dans trois points principaux : 1° le théorème de Taylor, comme principe de la génération des quantités, lorsqu'elles sont données immédiatement où par leurs fonctions ; 2° le théorème de Lagrange, comme principe de la génération des quantités, lorsqu’elles sont données médiatement où par leurs équations; et enfin 3° la réalisation de ce système par Euler, et la éransition opérée ainsi de l’un à l’autre de ces deux théorèmes, par un lien téléologique.

» C’est là effectivement à quoi se réduit cet immense recueil de savoir mathématique qui est la propriété présente de l'humanité. — Quiconque mécopnaitrait cette réduction précise et générale, ne saurait se flatter, ce nous semble, d’avoir approfondi la science dont nous parlons. Eu effet tout s’y concentre ainsi, d'une manière explicite, ou du moins d’une manière implicite : il n'existe aucuue proposition mathématique conuue qu'on ne puisse ramener à l’un des trois points que nous venons de signaler.

» Mais pour mieux apprécier cet état présent des mathématiques il faut, enremontant ainsiaux principes, découvrir le principe unique qui doit nécessairement servir de base à ce système. Nous pouvons nous borner ici à indiquer ce principe; et pour cela nous observerons que l'ensemble des mathématiques modernes, depuis Leibnitz et Newton, cousiste dans la génération universelle des quantités par le seul algorithme de la SOMMATION INDÉFINIE, qui constitue les séries.

« Tout ce que donne le calcul différentiel, ce grand » instrument de la période moderne des mathémati- » ques, ne sert en effet que pour arriver à cette uni- » verselle génération algorithmique par sommation in- » définie : car le très-petit nombre d’intégrations théo- » riques qu'on a pu obtenir mérite à peine d'être » mentionné; et l’unique moyen des géomètres mo- » dernes, pour arriver dans tous Îles cas à la connaissance des quantités ; consiste notoirement dans l’em-

SI » ploi, direct ou indirect, de cet algorithme » (Put. de la technie, 2° section, page 633.)

Nos lecteurs ont pu voir aux mots MaruémarTiQuEs et Puirosopuie que les séries ne sont pas le seul algorithme technique qui donne la génération universelle des quantités, et les paroles que nous venons de citer nous serviront à faire mieux comprendre au mot Técaxre la réforme que M. Wronski veut opérer dans la science.

SERPENT. (4st.) Nom d’une constellation boréale qui contient 6{ étoiles dans le catalogue de Flamsteed. Ce serpent est représenté entre les mains d’Ophiucus

ou du serpentaire, autre constellation.

SESQUI. Expression employée par quelques anciens auteurs pour désigner un certain rapport, ainsi :

SESQUI-ALTÈRE, C’est le rapport de deux quantités dont l’une contient l'autre une fois et demie.

SESQUI-DOUBLE, c’est le rapport de deux quantités dont l’une contient l’autre deux fois et demie.

SEsQuiI-TISRCE, c'est le rapport de deux quantités dont l’une contient l’autre trois fois et demie.

SEXAGESIMALE. {4rith.) On nomme fraction sexagesimale celle dont le dénominateur est une

= 5 -—; —, etc.

puissance de Go. Par exemple,

sont des fractions sexagésimales.

La division sexagesimale est également celle qui s’opère par des puissances de Go; ainsi la division du cercle en 360 degrés, qui comprend les subdivisions da degré en Go minutes, celles de la minute en 60 secondes, etc. est une division sexagésimale.

SEXTANT. (Géom.) Nom que l’on doune à la

sixième partie d’un cercle.

SEXTANT. (45) Instrument composé d’un arc de Go° ou de la sixième partie d’un cercle, avec des luneltes à angles droits et qui sert à prendre la hauteur des astres.

Sexranr est encore le nom d’une constellation boréale introduite par Hévélius entre l'Hydre et le Lion.

SIDÉPAL. (Ast.) (de sidus, étoile.) Ce qui est relatif aux étoiles, comme année sidérale, révolution sidérale , temps sideral, ete. (Voy. Axxée et Temps.)

SIGNE, (413.) On donne particulièrement ce nom aux caractères + plus et — moins, qu'on met au devant des quantités et qui indiquent soit l’état positif ou négatif de ces quantités , soit les opérations d'addition ou de soustraction qu’on doit effectuer,

Le signe radical est le caractère V/ par lequel onin-

dique les quantités radicales ou les racines. (Foy. Pa- CINE et Rapicar.)

SIGNE. (45e) Un signe est la

l’écliptique ou du zodiaque. (Foy.

douzième partie de ARMILLAIRE, 19.)

On compte les signes à partir du point équinoxial, c’est-à-dire, de l'intersection de l’écliptique et de l'équateur. (Foy. Zonraqur.)

SIMILITUDE. (Geom.) Relation de deux figures ou de deux solides semblables. (Foy. ‘Frraxeze et SOLIDE.)

SIMPSON (Tuomas) , mathématicien anglais, célèbre par l'importance et le nombre de ses productions, naquit à Bosworth, dans le comté de Levcester, en 1710. Ses parens étaient d’honnêtes industriels, peu disposés à aventurer le temps et l'argent nécessaires à son instruction. Ils lui firent seulement apprendre à lire et à écrire; mais les heureuses dispositions de Simpson et l’active curiosité qui le portait à lire tous les ouvrages qui lui tombaient sous la main triomphèrent de ces exigences de famille qui ne cessent d'être insurmoutables que pour les hommes de génie. Sa vie fut agitée, et nous laissons aux biographes ordinaires le soin de rapporter les diverses anecdotes dont il fut le héros. Nous devons nous borner à dire que parvenu, à force de travail et de mérite, à occuper une place du xvin* siècle

parmi les géomètres

distinguée :

Simpson devint professeur à l’Académie royale militaire de Wolwich, où il composa ses principaux ouvrages, parmi lesquels nous citerons : I. Nouveau

Taité des fluxions, 17937, in-4°. Traité sur la nature et les lois de la probabilité, etc., 1540, in 4°. IT. Traité sur les annuiïtés et lestontines, 1742, in-S°. IV, Dissertations mathématiques sur divers sujets de physique et d'analyse, 1743, in-8°. V. Doctrine des fluxions; 2 vol. in-8°. On a aussi de Simpsou un Traité de géométrie, un Traité d'algèbre, et un grand nombre d’autres écrits qui attestent ses connaissances et son aptitude pour toutes ces branches des sciences mathématiques.

Il est mort le 14 mai 1561.

hématicien écos-

SIMSON (Rorenr.) Célèbre ma sais, est né en 1687 à Kiston-ITall, dans l'Aryshire. Il fat d’abord destiné à l’état ecclésiastique ; mais envoyé à l’université de Glascow, les progrès remarquables qu’il y fit dans les sciences et les lettres l'appelèrent à d’autres destinées. Comme la plupart des hommes de géuie dont l’histoire de la science a conservé les travaux, c’est presque seul que le jeune Simson parvint à

Ja connaissance des branches les plus élevées des

464 1 sciences mathématiques. Son seul matñtre fat Eux ide, dont un exemplaire des Élemens toiba par hasard entre ses mains; son génie fit le reste. Devenu professeur de mathématiques au collége de Christ's-Hôpital, il occupa pendant cinquaute ans ces uules et honorables fonctions, et ses ouvrages ont jusufié la renommée qu'il ne cessa pas d' mériter. I mourut le 1°° octobre 1961. Pia plupart de ses ouvrages, où ne porteut pas son nom, où out été imprimés après sa mort par les soins du comte de Stanhope , son disciple et son ami. Les écrits qu'on sttribue généralement à Simson sont : [. Deux propositions générales de Pappus, mémoire inséré dans le volume XXXIE Des transactions philosophiques, 1723. Il. Sur l'extraction des racines approtimalives des ombres par séries infinies, volume LXXII de la mème collection, 1553. HE, Des sections

coniques, Londres, 1735. in-4°. IV, Loci plani & Apol-

lonius , rétablis. 1740, in-4°. Elémens d’'Euclide , traduits en anglais, 1750, in-4°, Le comte Stanbope fit imprimer après l4 mort de Simson un grand vombre d’écrits scientifiques de ce géomètre, parmi lesquels on distingue : Sections déterminées & Apollonius ; — Traié sur les prismes ; — Traité sur Les dogarithmes ; — Sur les limites des quantités et rapports ou propor

tions; — et eufin Problèmes géométriques.

SINUS. (4lg. et Géom.) On nomme, en trigonométrie, siaus d’un arc, ou sinus de l'angle dont cet arc est la mesure, la perpendiculaire abaissée d’une des extrémités de l’arc sur le diamètre qui passe par l'autre extrémité. En algèbre , les staus , comme les Zogarithmes, forment un algorithme théorique élémentaire. (Voy. PaiLosopnir, 62.)

Jusqu'au commencement du xvin* siècle les sinus, ainsi que les autres quantités qui en dépendent, malgré leur extrême importance dans les calculs astronomiques, n'avaient été considérés que d’une manière purement géométrique. C'est à Frédéric - Christian Maver, luu des premiers membres de l'Académie de St-Pétersbourg, que l’on doit les théorèmes fonda: mentaux de la théorie algébrique des sinus, théorie qui est devenue entre les mains d'Euler une des parties les plus importantes de la science des nombres. Nous allons commencer par quelques notions géométiques sur Ja nature des sinus, puis nous exposerons leur théorie dans toute sa généralité, en la fondant sur des cousidérations purement algébriques et sans rien emprunter à la géométrie.

1. Soit DB (PI. 55, fig. 6) un arc quelconque de cercle ; si de son extrémité D on abaisse sur le diamètre AB, qui passe par son autre extrémité B, la perpendiculaire DE, cette perpendiculaire sera le sinus de

Parc DB, ou eucore le sinus de laugls DCB dont Parc DB est la mesure. ,

Il est facile de voir, d'après cette coustrnction , que le sinus est d’autont plus grand que l'arc se rapproche plus du quart de la circonférence, car en faisant croître DB jusqu’à ce qu'il devieine FB, la perpendiculaire DE croit également jusqu'à ce qu'elle devienne FC ; c'est à dire , le rayon du cercle ; le quart de Ja circonférence ou l'angle droit dont il est la mesure a donc pour sinus le rayon : on nomme celui-ci sinus total.

Lorsque l'arc est plus grand que le quart de la circonférence, son sinus devient plus petit que le rayon, l'arc GB , par exemple , où l'angle GCB a GH pour sinus,

Si l’on observe que GIF est cn même temps le sinus de l’aic GA supplément de GB , on en conclura que de sinus d'un arc où d'un angle est égal au sinus du supplément de cet arc ou de cet angle. En désignant donc par sin À Je sinus d’un arc À, et en supposant la circon-

férence divisée en 360 degrés, on a l'identité sin À = sin(160° — A).

2. Depuis o degré jusqu’à 90°, les sinus croissent donc depuis o jusqu'au rayon du cercle et depuis 60° jusqu’à 180°, ils décroissent depuis le rayon jusqu’à 0. Eu désigant par R le rayon du cercle, on exprime ces circonstauces par les égalités

sin o — 0,sin 90° —RkR, sin 180° — 0.

Tous les angles dont on se sert dans la trigouométrie , et par conséquent tous les arcs qui leur servent de mesure ne dépassant jamais 180°, si l’usage des sinus se bornait à cette branche de la géométrie, on n'aurait pas besoiu de considérer les sinus des arcs plus grands que la deni-circouférence ; maïs dans les nombreuses applications algébriques de la théorie de ces quantités et même dans les applications géométriques on emploie très-fréquemment des arcs non seulement plus grauds que la demi-circonférence, mais encore qui comprennent plusicurs circonférences ; nous devons donc, sans sortir de la géométrie , examiner l'expression des sinus de tels arcs.

Remarquons que pour un arc BFAP plus grand que la deini-circonférence AFB la perpendiculaire abaissée de l’une des extrémités P sur le diamètre AB qui passe par l'autre extrémité A est la droite PO, située par rapport à ce diamètre en sens inverse de tous les sinus des arcs compris entre 0° et 190°; ainsi, pour teuir compte de cette situation inverse, il faut donner lesigue — , ou considérer comme négatifs les sinus des arcs depuis 180° jusqu’à 36o°, puisque ces sinus serout tous dans une position opposée à ceux des arcs depuis o° jusqu’à 180°.

Quant à la grandeur absolue de ces mêmes sinus, il est

facile de voir qu’elle croît, de 180° à 250° depuis 0, jusqu’au rayon, et que de 250° à 360° elle décroit depuis

le rayon jusqu’à o. Les limites extrêmes sont donc Sin 180° — 0, sin 250° = — R, sin 360 — 0.

Si l’arc devient plus grand que la circonférence entière, par exemple, s’il devient BFAPIBD , son sinus DE redevient positif tant que cet arc ne dépasse pas une circouférence et demie, puis de nouveau négauif quand cet arc est compris entre une circonférence ct demie et deux circonférences. Il est facile de voir que, mn étant un nombre quelconque et æ un arc plus petit que 360°, on a généralement

sin (72.360° +- x) == sin x

3. Mais en considérant comme négatifs les sinus qui tombent au-dessous du diamètre AB on doit aussi considérer comme négatfs les arcs qui appartiennent à la demi-circonférence APIB ; ainsi en remarquant que les deux arcs égaux et de signes contraires BD et BI ont des sinus égaux et de signes contraires DE et EI, on

pourra conclure généralement que sin (—x) = — sin x.

Il résulte de ces notions élémentaires que quel que soit l'arc x son sinus peut toujours être exprimé par le sinus d’un arc plus petit que le quart de la circonférence affecté d’un signe convenable. Nous reviendrons plus loin sur ces déterminations.

4. Le sinus d’un arc B qui est le complément d'un autre arc A prend le nom de cosinus de l’arc A. Par exemple, l'arc DF (PL. 57, fig. 7) étant le complément de l'arc DB, son sinus DG est le cosinus de l'arc DB, En désignant généralement sous le nom de complément d'un arc À ce qui reste lorsqu'on retranche cet arc d'un quart de la circonférence ou de 90°, on a la relation

cos À — sin (90° — A)

dont on peut déduire toutes les expressions des cosinus sans avoir besoin de recourir aux constructions géométriques. Par exemple, faisant successivement A — 0, 90°, 180°, 270°, 360° on obtient, d’après ce qui précède,

cos o — sin (90°—0) == sin 90° = R cos 90° =— sin (g0°—00°) —sin o = 0 cos 180° — sin (g0°—180°) — sin (—go°) = —R cos 270° = sin (90°—270°) — sin (—180°) — 0 cos 360° — sin (90°—360°) —: sin (—270°) —

c'est-à-dire que depuis o jusqu’à 90° les cosinus décrois- TOME 1,

sent du rayon à 0, que de 90° à 180 ils croissent de o au ravon; qu'ils décroissent de nouveau de 180° à 270° depuis le rayon jusqu'à o, et qu’enfin de 2730° à 360 ils croissent de o au rayon. De plus ils sont negaliss entre go° et 270°.

Pour interpréter géométriquement ces résultats, il suffit de considérer comme positifs tous les cosinus situés à la droite du diamètre FH et comme négatifs tous ceux situés à sa gauche. On voit alors qu'on a généralement

cos (—x) — cos æ

5. Le sinus et le cosinus d’un même arc sont liés entre eux par une relation très-simple qui permet toujours de considérer comme connue la grandeur de l’une de ces lignes lorsqu'on connait la grandeur de l’autre. En effet dans le triangle rectangle CDB (PL. 57,

fig. 7) on a CE* + DE° = CD°

or, CE — GD — cosinus de l’arc DB, DE — sinus de l'arc DB, et CD est le rayon du cercle. Désignant donc l'arc par x et le rayon par R, on obtient

(sin x)? + (cos x}? — R° ce que l’on peut encore écrire de cette manière (a) sin.x + cos’ .x — Ra.

Si l’on se rappelle maintenant que les autres lignes trigonométriques telles que les tangentes, sécantes, cotangentes et cosécantes (voy. ces mots) sont liées aux sinus et cosiaus par des relations également trèssimples, on verra que la THÉORIE DES siNus comprend les théories de toutes ces lignes.

6. La différence EB entre le rayon CB et le cosinus GD = CE prend le nom de sinus verse de l'arc DB, comme on nomme aussi cosinus verse de ce même arc DB le sinus verse GF de son complément. On a ainsi généralement

R — cos À

= R — sin A

sin. verse À

cos. verse À

relations qui font dépendre les valeurs des sinus et cosinus verses de celles des sinus et cosinus simples que l'on nomme aussi quelquefois sinus et cosinus droits pour les distinguer des premiers.

7- Avant d'exposer la théorie générale des sinus, nous allons encore déduire de la géométrie leurs théorèmes fondamentaux ainsi que leurs expressions théoriques primitives, cette déduction nous donnera ensuite les moyens de reconnaitre l'identité qui existe entre les lignes wr'igonométriques et certaines fonctions données par la nature même de la Science des nombres.

Soient donc (Pr. 57, fig. 8) un arc DL que nous désiguerons par b etun arc AL que nous désignerons par a; il est facile de voir en tirant les lignes de la figure, dans laquelle DL == LB, qu'on a

DQ — sin (a+-b), BR — sinfa—b), CQ — cos (ab), CR — cos (a—b)

et de plus

DO — sin b, LN —sina, CO —cos b, CN — cos a.

Ceci posé, les triangles semblables CLN et COM donnent