Si l’on forme le produit de deux facteurs semblables

cos sin æ.\/—1, cosz + sinz.y/—1 (cosxsinx.y/—1).(co52+sinz.\/—:1) —cosx.cosz —L cosx.sins|/—1

+ co:s.sinx.V/—1 — siux.sinz

SI

= COS L.COSZ — SIDT.Sin z

+ (cosx.sinzÆcosz.siniæ).\/—1 Or, on a en vertu des expressions (d), COS x. 053 — sin .sins = CO$ (x+-2) cosæ.sinz + cosz.sinx = sin (x+47) ainsi,

(cosxæ + sinæ.l/—1).(cosz + sin 2V/—1) — cos (x+-<) + sin (x+3)/—1

On obtiendrait de la même manière

(cosæ—sinx\/—1).(cosz—sinz,\/—1) — cos (æz) — sin (x—2)/—1 d’où l’on voit que la multiplication de tels facteurs s’ef-

fectue par la simple addition desarcs qu'ils renferment.

Si lon fatx—z,ona (cosx + sinx \/—1) — cos 2x + sin2x. V—I et par suite (cosæ+sinx.\/—1)

(cosx+sinx.\/—1}*

— cos 3x + sin3z.\/—1 = cos 4x + sinix.\/—1

etc.

En général (f),

(cos +sinx.y/—1}" = cosmx + sin mx V=1 .

Il est facile de voir qu’on a aussi (g)

(cos æ — sinx .V/—1)" — cos mx — sin mx .y/—1.

10. Eu prenant d'une part la somme, et de l’autre la différence des deux égalités (f) et (g), on obtient

pour les valeurs de sin 2x et de cosr2x les expres-

sions : cos Lsina/— 1 nr —(cosx—sinx \/— 1" Sin XL — (cosx+sinal/—1} (c SX—SINT.\/—1) 2V—1 cosx+sinx\/— 1)" + (cosæ—sinx.\/— 1)" Cos 7x ( 2 À am Le Mmx.\/—1)

Or, si l’on considère l’arc æ comme infiniment petit, il se confond avec son sinus, etl’ona