SIT == L; COS D

Ainsi, faisant 72 infiniment grand , pour que le produit

mx soit une quantité finie que nous désignerons par %,

nous aurons € =, = Ctlesexpressions précédentes nt

deviendront G+HE VD —(—gV—) OZ = ——"" ur 2V/—1 > Ce)

Mais e étant la base des logarithmes naturels on a (voy. LoGariTumE, 13),

ee É.

et, par conséquent, v étant une quantité quelconque

d=(t+n) ou = +) :

car on peut s'assurer, en développant les binomes

Le)

HR) Hier,

que ces binomes sont identiques. Faisant donc P=3.\/—i nous obtiendrons

sinz

cos 7

Telles sont les expressions théoriques primitives des quantités sin 3 et COSZ ; expressions qui nous dévoilent la nature transcendante de ces quantités. Euler, à qui elles sont dues, les a obtenues par le procédé indirect que nous venons d'employer,

11. Abandonnons maintenant toutes données géométiques et reportons-nous à la partie élémentaire de la théorie de la Science des nombres où, par la nature

méme de notre savoir , nous sommes conduits à recher-

cher s'il existe une fonction & des quantités variables di, Æ,, &, etc. , capable de donuer l'égalité (à) ,

PL, PT, pas. etc. = p(X, + x, + xs + etc...)

Nous avons vu (PuiLosopuie, Gr) que ceite question nécessaire dépend de la fonction transcendante

daus laquelle & est une quantité arbitraire, et qu’en désignant par Fx et fr deux autres fonctions de la même variable x, dont les valeurs sout données par les expres-

sions (hi),

(La}.x? (La)i.xi (Lay. xi nat Ut = te. D ich. 1.2 La 1.2.9.4 1.2.5.4.5.6 ve (La)#.x3 , (La).x (La. x7 LA. L———-; RE — tc.

dr 1.2.9 1.2.3.4.5 PRE RCA RS °

dans lesquelles La désigne le logarithme naturel de «, on a pour la nature de la fonction gx

gx — Fr +- fx . V5,

et que de plus les expressions théoriques primitives de ces fonctions Fx et fx impliquées dans la fouction @

qui satisfait à l'égalité hypothétique (à) sont (1)

MR Di |

mx. Re en à | # | Î

C’est la seconde de ces fonctions, fx, que nous désignerons gévéralemeut sous le nom de sinus, et c’est la première Fx que nous désignerons sous celui de cosinus, Ou voit ici, comme pour les logarithmes, que la base à étant arbitraire on peut former une infinité de systèmes différens de sinus et de cosinus. Ce n’est qu’en prenant pour a la base des logarithmes naturels qu'on obtient le système usuel des sinus naturels ou du cercle, comme cela devient évident en comparant les expressions (2) avec les expressions (4) d'Euler. Pour toute autre valeur de &, le système des sinus correspoudans se rapporte à une ellipse dans laquelle p désignant le premier axe et 4 le second, on a

Nous nommerons donc généralement séaus elliptiques

les sinus donnés par les expressions générales (2), pour

les distinguer des sinus hyperboliques dont nous parlerons plus loin, en faisant observer que la variable x est alors le double du secteur compris entre le prem'er axe de l’ellipse et le rayon vecteur mené de son centre à l’un des points de sa circonférence.

12. Les expressions () étant les expressions théoriques primitives des sinus elliptiques renferment implicitement , comme nous allons le voir, toutes les propriétés caractéristiques de ces fonctions.

En prenant les secondes puissances des deux mem-

bres des égalités (2), on trouve

CSS CURE nd) fx} = — 3 Chsbdn: a VI :|

d’où

(x + (fx)

c’est la propriété fondamentale, ou plutôt la liaison du sinus et du cosinus d’une même quantité x.

Cette propriété jointe à la forme de la fonction gx

gx = Fr + fr. V1

peut faire supposer que la fonction ? ou

est une racine zmaginaire de l'unité dans Île cas de x—1 et généralement une puissance de l'unité pour toute autre valeur de x, car nous avons vu (ÎMAGINAIRE, 4)

que les racines raginaires de l'unité sont de la forme

a+b\/—+, les quantités a et b donnant l'égalité

+ br :.

= Ê D; Pour nous assurer si effectivement F4 est unera-

cine déterminée de l’unité, ce que rendent probables les circonstances que nous venons de signaler, désignons

par 7 l’exposant, s’il existe, capable de donner (71)