CT

et voyons si r peut admettre une valeur réelle.

Les racines quatrièmes des deux membres de l’égalité (m?)sont, en ne considérant que les racines imaginaires ,

ati

Or,

Prenant les logarithmes des deux membres de cette

dernière égalité, on trouve

LU + V1) Li)

d'où l’on tire (7),

Appliquant aux logarithmes compris dans cette expression le développement connu (voy. Loca-

RITUME, 22) , on obtient

LV) = Vi (Vi) + 3 (Vi) etc.

ce qui donne en développant les puissances de y—1,

8 I I I I Et 1 Lin 2 ni FT — — etc......

ou, définitivement,

L’exposant # est donc un nombre réel, et la quantité

V4 est effectivement une racine déterminée de

l'unité.

Il résulte de cette circonstance que les sinus et cosinus ont une génération périodique, car puisque nous ayons

VE

nous avons aussi ,

mn étant un nombre entier quelconque positif, négatif ou zéro , et par suite VTT! . Can) V—1 |

avi mr\/=1 a°V sr id es

Les fonctions Fx et fx ont donc pour expressions générales,

+(x+mr)\/— n En |

Fx — se 13

fe = = at e+mnr) Vi (mn :

d’où l'on voit que Fx et fx ont des valeurs périodiques comprises entre les limites de

13. Le nombre + qui entre d'une manière si importante dans la théorie des sinus étant

Le” 3, 1415926 , etc.

sa valeur est liée à celle de la base a , et il est facile de reconnaître que lorsque cette base est celle des logarithmes naturels, cas où La — 1, et

r=2.(3,1415926,etc.),

ce nombre + exprime la circonférence du cercle dont le rayon est l’unité. Dans ce même cas, les sinus sont les sinus du cercle qu'on emploie en géométrie , les seuls sinus elliptiques dont les géomètres se svient occupés.

14. M. Wronski est le premier qui ait considéré la théorie des sinus sous le point de vue général que nous venons d'exposer : on avait cru jusqu'ici que ces fonctions tiraient leur origine de la géométrie, mais il résulte évidemment de ce qui précède que cette origine est purement algébrique, et que lors même que les sinus ne se retrouveraient pas dans la géométrie, ils n’en existeraient pas moins dans l’ilgèbre dont ils forment , comme les puissances , les logarithmes , etc., une partie essentielle entièrement indépendante de toute considération géométrique.

15. Désignons, comme en premier lieu, par les abréyviations sinx et cosæ , le sinus et le cosinus naturels d'un nombre x , et quittons le point de vue général pour ne nous occuper que de ces sinus, dont la base

cæay

470 SI est représentée par la lettre e. Nous aurons de cette manière :

9x — cos & + sin V/—1 et puisque, par la nature de la fonctions, l'égalité 4),

qui est notre point de départ , se trouve complètement

satisfaite, cette égalité, ou plutôt celle-ci (a)

(cosr, + sinæ:.l/—1).(cosx, + sinx,.|/—1).

(cosæa + sinx,. y—1).etc. ......— cos(x x +ir,Hetc.) +

+ sin(ribx,ait etc). /—1

est la loi fondamentale de la théorie des sinus. C’est d'elle en effet que nous allons déduire toute cette théorie.

16. Remarquons d’abord que si, dans les expressions théoriques primitives ,

< . Ee Pi due —2V—1

ne = | on

COST —= L Le zV—1 y 1 |

on fait x négatif, on aura

sin(—2) = let in | 2V—1 = — es + xV—1 — xV—1 2V—1 : . | = — sinx cos(—x) — : | CE aV—1 + aV/—1 |

Dim

| + ZV/—1 Vs

cos T.

Ainsi le sinus d’une quantité négative est négatif, tandis que son cosinus ne change pas de signe.

Ceci posé, dans la foi fondamentale (0), ne considérons que deux facteurs et faisons 1 x, 2: =5, nous aurons

(cosx + sinx\/—1). (cosz + sinz|/—1) = cos(æ + 2) + sin(xz)/—r

Or, en effectuant la multiplication, le premier membre de cette équation donne

SI (cosx H sinx Vi . (cosz H sinz V—i) —= COST . COST + cosx.sinz.\/—1 cosz. sinx\/—1 — sinx.sinz Nous avons donc aussi

cor Hz) + sin(x Æ 3j. V/—1 =cosr.coss—siux.sinz + (cosx.sinz—coiz.siræ).|/—1

Égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires de cette dernière égalté , nous obtien-

drous (p)

sin(x+z)—sinx . cosz + co:x . sinz

siDz

COS(x+-<) == COST . COSZ — Sinr.

principes dérivés considérés comme les théorèmes fondamentaux de la théorie des sinus , et que nous avons déduits ci-dessus, n. 7, de considérations géométriques.

Si dans ces deux égalités on fait z négatif, elles deviennent (g),

sin(æ—2) = sinx . COSz — cosx . sinz

Cos(x—z) — cosx. cosz + sinx. sinz

17. Les théorèmes (p) et (9) admettent plusieurs combinaisons qui fournissent un grand nombre de conséquences utiles pour les calculs où il entre des sinus, Nous nous contenterons de rapperter iciles plus remarquables.

En prenant d’une part la somme et de l’autre la différence de chacune des égalités (g) avec chacune des

égalités (p), on obtient

. ler : D: :

sinx.cosz — :: sin(æ+z) + — sin(x—:2)

: L ’ Dés LEA Z. = — SID(X+2Z) — - SIMX—3 sin Z. COST he n(æ+z) 3 SK ) 1 N A DE

COST. COST — > Cos(T—2 x cos(x +2)

: : I ; ’ sint.sinz — — COST —Z) — : cos{x +2)

formules au moyen desquelles on peut transformer un produit en une somme et vice versa.

Lorsqu'on veut faire usage de ces expressions pour transformer une somme en produit, il faut leur donner une forme plus simple, ce que l’on effectue en faisant x+z = p,a—z—=q, d'où

Lu =; 23 — ET,

Substituant ces valeurs, on obtiendra :

sinp+sing == 2 sin 2 (p+g).e0s s (p—9)

> sin

T I à (p—q).cos : (p+Q)

sinp—singq

cos p - cos q cos è (p+-9).cos = (p—)