COS

COS p -- CO5 4 (p+q).sin : (p—9)

expressions d'un grand usage dans les calculs trigonométriques et dont on peut tirer, en les combinant, une foule de théorèmes.

18. Au moyen des principes précédens et de leurs conséquences les plus immédiates, on peut construire pour les sinus des tables semblables à celles des logarithmes, avec cette différence que les valeurs des sinus seront comprises entre certaines limites, puisque ces valeurs ont une génération périodique. Jusqu’à présent, les sinus n'ayant été considérés que comme des lignes géométriques, les tables dont on se sert ont été calculées pour les arcs da cercle, et au lieu de présenter les sinus des normbres, elles présentent les sinus des parties de la circonférence exprimées en degrés; mais on peut facilement exprimer tout nombre donné en degrés et réciproquement, En effet , la circonférence du cercle dont le ravon = 1 , étant supposée divisée en 360 degrés, ce nombre 560, qui est purement conventionnel, remplace 7 dans le calcul des sinus et donne le moyen de réduire en degrés un nombre quelconque; de plus, à cause de la périodicité des valeurs de sin + et de cosx, nous avons (2 et 12).

sin (ir + x) = sin x

cos (mr + x) = cos x

m étant un nombre entier quelconque, y compris o; ainsi comme 717 + x peut représenter tous les nombres entiers et fractionnaires , en supposant x+<77, pour trouver le sinus d’un nombre donné À, il suffira de chercher celui du reste de la division de A par r; c’està-dire que les sinus de tous les nombres sont donnés par ceux des nombres au-dessous de r. Nous verrons même plus loin qu’il suffit de considérer les sinus et les cosinus T

Ceci posé, æ exprimant un nombre plus petit que +,

des nombres compris entre o et

exprime conséquemment une partie de la circonférence, et pour réduire cette partie en dégrés, il ne s’agit que de connaître son rapport avec +, car r, ou la circonférence, étant supposé partagé en 360 parties, autant æ contiendra de ces parties, autant il vaudra de

nt ea T :

dégrés, Soit donc = = n, on aura aussi æ

Pré

[x] désignant x exprimé en degrés du cercle. Ainsi

et l’on voit que l'opération se réduit à multiplier x par le facteur constant

qui est l’arc égal au rayon ou à l’unité.

On a réciproquement

c'est-à-dire que lorsqu'une quantité est exprimée en degrés, pour avoir sa valeur en nombres naturels, il faut

la multiplier par le facteur constant —— 0,017453...

19. Ilest maintenant facile de s’assurer que le sinus d’une quantité quelconque peut toujours s'exprimer par le sinus ou le cosinus d’un nombre moindre que

r r, en les prenant avec un signe convenable; car 7 désignant ici la circonférence entière on a, d’après les numéros 2 et 3,

Si ©, +— 0: CDS OÙ "1

SmM-r—I!, cos - &— 0 4 4

Re T 3

sm-7r—0, COS = r—— 1 2 2

ns 3

oh int de + EE

sin x —O, COSr —I

une quantité plus petite que +, toutes les valeurs de x

mais z désignant une quantité plus petiteque ; 7, et x

sont comprises sous les formes

T T T 3r ri ie D RE Re

et en vertu des expressions (p) et (q)

=) = sin 2 .C053 — COS -; .sinz

sin (£ + :) —= sin oi —H cos .sinz 4 4 4

En subitituant dans ces égalités les valeurs précédentes

5 T . FT , 0 de sin j+ sin, etc.,ona définitivement 4 2 . FT sin (7 — :) — co5z siu(7 — =) = cosz + sin (7 + :) — — sinz . [37 sin PA —= — Cosz

Pour se servir des tables des sinus, il faut que le nombre = soit exprimé en degrés , et l’on ne doit pas oublier qu’alors