TOME il
mais ce procédé très laborieux ne fait pas connaître la loi de la série, tandis qu’une application très-simple de la méthode des coefficiens indéterminés va nous rendre cette loi manifeste.
Puisque les puissances paires de æ manquent dans
cette série, posons tang x = Ax + Br’ + Cx° + Dr + Ex + etc.
et comme cost. tangx —sin x, en substituant, dans cette dernière égalité, les développemens aux fonctions, nous
aurons :
(Ax+-Bri+Cx°+etc...).(1— —— + —— ra )= x +3 x?
RS Pan nat
Effectuant la multiplication des facteurs du premier membre et égalant ensuite les coefficiens des mêmes puissances de æ dans les deux membres, nous obtien-
drons
seen 1.2 1.2.3 B A 14
RE arte
D c B À ne 1.2 1.2.3.4 3.4.5.6 1.2.3.4.5.6.7 D B
fee 2. RER
etc. — etc:
En divisant la série du cosinus par celle du sinus, il vient cotx = : 5 = RTS ce qui fait connaitre la forme de la série de la cotangente, et alors si on pose 1 ' ' 15 + cotx = À’. -— + B'x + Cas + D'x° + L'a7 + etc. KA la méthode que nous venons de suivre nous fait découvrir la loisuivante qui lie les coefficiens A", B'; CO‘; etc: 6L
A = r D 1.2.9 1,2 B' A' 1 PERS ini tious ; C' B' ÂA' I Gad oo ados ado D' B' pores se = 7e 142.3 1.2.3,4.5 1.2.3.4.5.6.7 7 1.2.3.4.5.6.7.8.9 __ 1.2.3.4.5.6.7.8 etc, — etc.
37. Les séries précédentes étant connues , il devient facile, par la méthode du retour des suites (voy. ce mot), de trouver celle qui donne la génération de Farc au moyen des puissances progressives de la tangente ; série que l’on peut aussi obtenir par une simple application de la loi fondamentale des séries ; mais le procédé le plus simple est celui d'Euler que nous allons faire connaître. La caractéristique L désignant les logarithmes naturels, on sait que (voy. Locarrrume)
Lio)=s Pr TT
en faisant æ négative, on a aussi
— — etc.
d’où, retranchant la secondeégalité de la première ,
Lido) ele) er [FE] —0|:+ a Eee}
ceci posé, nous avons
1 : —— COS 2+-sint.\/—1 et, en prenant les logarithmes , Æ.V/—1 = Licosx + sinxy/—1 et encore , — æ V—1= L(cosæ—sinr.y—1)
retranchant Ja seconde égalité de la première, il vient
SI z=—— L[ He VE
2V/— cosæ—sinx. W—1
or,
cosæ-sinæ .\/—-1 itangæe.V/—1
cosæ—sinx. V—1 1—Lanpæ . Ver
Ainsi, substituant, à la place de #, tangx.\/—1 dans ’ 1 ; le développement de L tro obtiendra
3 5 L tang'r tang° x tang7x à lbs pe Fe 12
3 + ÿ — + etc.
æ=tang x
38. La série que nous venons de déduire conduit à celle que Leibnitz a donuée pour la valeur de Ja circonférence du cercle, car, en observant que la tangente de l'arc de 45°, ou de la huitième partie de la circonfé-
rence, est égale au rayon, si l’on y fait tangx—1, ce qui
rend æ — g' elle devient I 1 I I I 1 ST = Is: —-+-—— +et p” : 375 dt. FT at
On reconnait que la tangente de 45° est égale à l’unité en partant des valeurs. (7/07. u° 26) I 1 H Fo ho — = —5, COS 4AD° — Te sin 45 s, 4 73 d'où sin 45° \/2
cos 453 V2
tang 459 —
39. En combinant, comme nous venons de le faire, les valeurs des sinus de la table du n° 25, on peut obtenir les expressions finies des tangeutes ; voici celles de ces expressions qui peuvent être employées avec avantage ; les autres sont trop compliquées pour être
utiles.
tang 15° = 2 — \/3 8 — 2 tang 19 = V/ [: | 30° = — tang 50° — VV taug 36° — V/ [5 — 21/5] tang 45° = 1
tang
tanÿ taug 72° —
tang
SI
La construction des tables des tangentes ne demande qu'une suite de divisions lorsqu'on a déjà construit celles des sinus et cosinus ; on peut aussi les calculer directement par les formules précédentes, mais ces détails ne peuvent trouver place ici.
Quant aux sécantes, lorsqu'il s'en rencontre dans les calculs, on les ramène aux sinus à l’aide des relations primitives.
; L ’ SécT — ——, COSÉCT = —— cosæ sinx
comme on ramène aussi les sinus-verses aux sinus par les
relations
sin, VErSe & — 1 — COS Z, COS. VOIS & — I— Sin
Nous devons renvoyer, pour tous les détails de cette théorie, à l’{ntroduction à l'analyse des infiniment petits d'Euler, et à la Trigonométrie de Cagnoli.
4o. Pour terminer ce qui concerne les sinus cireulaires, nous allons donner la déduction des expressions générales des différentielles de ces fonctions, en partant des expressions théoriques.
Va À j
sinx :
1 Le COX — à [AV + VS
Rappelons-nous d’abord que la différentielle première d’une quantité exponentielle az est (Foy. Dirr. 32.)
d[a’] = a:.La.dz
d’où il résulte pour la différentielle de l’ordre m2 l'expression
dma=] — a. (Lay". dim Dans le cas de a =e, on a La = 1, et par suite,
dm[e:] — ezdz"
Si nous faisons z = 4\/—1, nous aurons aussi visi= blement
xV/—1 e\/ nu Lau an e V | — VA Neon
xV/—1
—=(—1,".c (V/—1)". dam
dm [ cl
Ainsi (u)
disinx = —
{ az V — 1
| € RÉ TV . de”
dmcosx =" PEN ai)
Or, nous avons vu, n° 10, que 7 étant la circonférence du cercle dont le rayon est 1, on a
ef donc
MRry y
mr = VV —:
substituant dans (y) ces valeurs des puissances de V—1.
il viendra
MR, ,—“- : ï x4+—- —1 disinx = —— FE iV 2V/—1 6 mr D dE He TP | < IT = ï (æ+— Vi dmcosx = = (F 4 w 2 e
c’est-à-dire, en vertu des expressions mêmes dont nous
sommes partis,
d'siux
| mr — sin x + —- ) dx"!
d'icosx
= cos : La + T )- do
Ces belles expressions sont dues à M. Wronski, qui a fait également connaître la loi des difiérentielles successives de la tangeute. Nos limites ne nous permettent pas de rapporter cette dernière. (Voy. Philos. de la Technte, 2° sect., page 451.)
4r. En remontant aux principes dont nous sommes partis pour déduire la théorie algébrique des sinus, on voit que la question aui est l’objet de cette théorie est complètement satisfaite par la fonction exponentielle générale
Re — ( am Ye
et que le cas particulier où lon prend mr = V/—1 ct a —e west en réalité que le cas le plus simple des
fonctions transcendautes aux elles la trausiuon de Je
numéralion aux facultés donne naissance. En effet, nonseulement on peut former une infinité de systèmes différens de sinus en prenant pour la base & des quantités arbitraires; mais la valeur V1, que nous avons choisie pour »2, afin de faire sortir la fonction &#* de la classe des puissances susceptibles d’une détermination immédiate, est la plus simple des racines dites imagi-
naires que l’on peut employer pour obtenir ce résultat.
2n En prenant par exemple la racine générale y/Ær, l'expression fondamentale
2n \Ex z gx = (a ) conduirait à des fonctions transcendantes d'ordres de plus en plus élevés, dont nous ne pouvons ici que signaler l'existence.
Mais pour compléter au moins la partie élémentaire de cette théorie, il nous reste à examiner les fonctions qui résultent du cas en quelque sorte primitif où »—1+, et où l’on prend le signe + sous le radical, c’est-à-dire, le cas où l’on a
ex= ( ave ÿ
Alors la fonction gx n’est plus une fonction dérivée élementaire dans le sens que nous avons attaché à cette expression, puisqu'elle rentre dans la classe des puissances ordinaires, mais elle n’en a pas moins des propriétés très-remarquables qui doivent la rendre l'objet d’une considération particulière.
42. Si l’on remplace V/—1 par V/—+1 dans la déduction que nous avons donnée (Puirosopme, 62) des expressions théoriques primitives des sinus et cosinus elliptiques, et si l’on observe en outre que +1 —#r, on obtiendra pour la nature de la fonction 4x
gx = Fa + fe. +1
les deux fonctions Fæ, fx offrant les relations
Fz + fx Fx — fx
at=
ax
qui conduisent aux expressions théoriques primitives de ces dernières fonctions, savoir :
Fx — : (are Je = : Late a)
La dernière de ces fonctions est ce qu’on nomme sinus hyperbolique , et la première, ce qu’on nomme cosinus
SI
hyperbolique. La quantité variable x est le double du secteur compris entre le premier axe et le rayon vecteur mené du centre au point de la combe dont l'abscisse est égale à Fx et l’ordonnée égale à fx.
Es prenant les secondes puissances de ces expressions, on obtient pour la liaison des sinus et cosinus hyperboliques
Ex} — (fxP = 1.
4x. Si lon prend pour la base a lenombre e, base des logarithmes naturels, on obtient le système des sirus de l'hyperbole équilatère , système qui correspond à celui de l’ellipse équilatère ou du cercle. Ainsi désiguant par les caractérisques sh. et ch. les sinus et cosinus de l'hyperbole équilatère, nous aurons pour les expres-
sions théoriques primitives de ces fonctions (»)
er — ex SR TL — er Lex ch. == ns
Il nous reste à démontrer qu’on retrouve effectivement de telles quantités dans la géométrie.
42. Soit BC (PL. 57, fig. 9) une hyperbole équilatère dont le demi-axe transverse AB = 1. AC étant un rayon vecteur quelconque, si l’on compte les abscisses du centre À , AD sera l’abscisse et DC l’ordonnée qui correspondent au secteur hyperbolique ABC, ou, respectivement, le cosinus et le sinus de ce secteur.
Pour obtenir d’abord l'aire de ce secteur, observons qu’elle est égale au triangle ADC diminué de l’aire hy-
perbolique BCD, ou qu’on a ABC — ADC — BCD.
Cette égalité donne, en prenant les différentielles, d(ABC) — d(ADC) — diBCD).
Or, désignant AD par x, et DC par y, nous avons ADC = ZAD XDC—+x.V/(x—1),
car l'équation de l'hyperbole équilatère dont le demiaxe transverse est l'unité est = æt—1. (Woy.Hx- PERBOLE.) Il en résulte
: ox dx —dx d(ADC) — Her
d'autre part (voy. QuaprATURE) , d(BCD) = ydx = dx, V/(x—1).
Ainsi
SI dx
