ABC

Intégrant les deux membres de cette dernière égalité, il

vient ATAE " 2.ABC = Je = Lx+y(x—1)].

L désignant le logarithme naturel. Ainsi, exprimant par zle double du secteur ABC , nous aurons l'égalité

2 = L{xy/{x—:)]

d’où, passant des logarithmes aux nombres,

En faisant z négatif, nous aurons évidemment en-

core ex —\/(x—1) ces deux dernières égalités étant la même chose que TE à ET LT —Y

on en tire

ou, comme ci-dessus ,

(lc sh2— :

ch.z —

es + ere

En faisant = négatif, on a généralement Sh.(—x) = —sh.z, ch.(—z) = ch.z.

43. D'après la nature de ces fonctions, leur loi fondamentale est donc

(ch.æ, Æsh. x;).(ch.x:+sh.x,).(ch.x;sh.x).….etc. = ch(ti+2,#xs+ etc...) + sh.(æ, +, +x, + etc...)

et c’est de cette loi qu’on doit déduire toutes leurs propriétés.

D'abord dans le cas de x, — Li =élin=T, sinous désignons par 72 le nombre des facteurs du premier membre, il viendra

(ch.æ + sh.x }® = ch. mx + sh.mx,

eten faisant x négative

SI

(ch.x— sh. x)" =: ch. mx —sh, mx

expressions semblables à celles des sinus circulaires et dont on peut déduire les séries qui donnent le sinus et le cosinus hyperboliques du secteur multiple en fonctions des sinus et cosinus du secteur simple.

44. x etz étant deux secteurs différens, on a , d’après la loi fondamentale,

(ch.x+sh x).(ch.z+sh.z) — ch.(x+2) H sh.(x+=) (ch.x—sh.x).(ch.z—sh.z) = ch.(x+47) — sh.(x+2)

Si, d’une part, on ajoute ces égalités ensemble et que, de l’autre, on retranche la seconde de la première, on obtiendra , après avoir développé les produits,

Sh.(t+z) = sh.x.ch.z + ch.x.sh.z

ch.(æ+z)= ch.x.ch.z + sh.x.sh.

ce qui donne, en faisant z négatif