TOME I

Pour comparer les solides entre eux et déterminer de combien l’un est plus grand que l’autre, il est nécessaire de les rapporter à une unité de mesure; or cette unité doit être elle-même un solide, car l'unité prise pour terme de comparaison entre deux grandeurs quelconques de même nature ne saurait être d'une uature différente de celle de ces grandeurs. C’est ainsi que pour mesurer les lignes on choisit une ligne, etque pour mesurer les surfaces on choisit une surface. (Foy. Arme.)

La grandeur d’un solide, ou ce qu'on nomme son volume ne peut donc être détermiué qu’en compa- Le cube

(voy. ce mot) étant le corps régulier le plus simple et

rant ce volume à un autre volume connu.

le plus facile à construire, c’est celui qu’on a choisi pour servir d'unité. Ainsi on connait le volume d’un corps lorsqu'on connaît le nombre de fois qu'il peut contenir le cube pris pour unité. Dans notre système métrique lPunité des solides est le cube dont le côté a un »2ètre de longueur.

Pour nous rendre compte de cette manière de mesurer, supposons que le cube abcdefg (PI. 57, fig. 10) est l'unité de mesure, et proposous-nous de déterminer le volume du parallélipipèderectangle ABCDEFG. Le côté ef du cube étant l'unité üinéaire, portons cette unité sur les côtés EF et FG de la base du parallélipipède, et supposons pour plus de simplicité que le eôté EF contienne G fois exactement cette unité et que le côté EG la contienne 5 fois. La surface de la base du parallélipipède sera donc exprimée par 6GX5 = 30, c’est-àdire, elle contiendra 30 fois la base du cube, car cette base west autre chose que l’unité de surface (voy. Aire). Sur chacun des 30 carrés de la base EG on peut placer le cube abcdefg ; et si l’on suppose encore que la hauteur AE contienne 4 fois l'unité linéaire, il devient visible qu'en superposant sur ces 30 cubes une autre couche de 30 cubes, puis sur ceite seconde une troisième, et sur celte troisième une quatrième , ces 4 couches Îde 30 cubes rempliront exactement le parallélipipède, de sorte que son volume sera représenté par le nombre 4X30 = 120. Si le cube abcde/g a pour côté un zaètre , ou si c’est le mètre cube, le volume du parallélipipède sera donc de 120 mètres cubes.

En revenant maintenant sur l'opération qui nous a fait trouver le nombre 120, nous voyons qu’il a fallu mesurer, avec l'unité linéaire , les trois dimensions du parallélipipède; savoir, sa longueur EF, sa largeur FG et sa hauteur ou épaisseur AE; qu’en multipliant la longueur par la largeur nous avons obtenu le nombre qui exprime l'aire de la base et qu'enfin en multipliant cette aire par la hauteur, il en est résulté le nombre qui exprime le volume. Nous pouvons donc en conclure, car le raisonnement serait le même quels

ET

que soient les nombres qui expriment les mesures linéaires des dimensions, que le volume d'un parallélipipède rectangle esr égal au produit de ses trois dimensions , ou, ce qui est la même chose, au produit de sa base par sa hauteur.

Oa démontre dans tous les traités de géométrie que

1° Un parallélipipède quelconque est équivalent à un parallélipipède rectangle de méme hauteur et de base équivalente.

2° Un parallélipipède quelconque peut toujours étre décomposé en deux prismes triangulaires équivalens entre eux,

3° Deux prismes quelconques dont les bases sont équivalentes et qui ont méme hauteur sont équivalens.

4° Deux pyramides quelconques qui ont des bases équivalentes el des hauteurs égales sont équivalentes.

5° Une pyramide triangulaire est Le tiers d’un prisme de méme base et de méme hauteur.

IL résulte de ces propositions que :

1° Le volume d'un parallélipipède quelconque est égal au produt de sa base par sa hauteur.

2° Le volume d'un prisme quelconque est égal au produit de sa base par sa hauteur.

3 Le volume d'une pyramide quelconque est égal au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

Le cylindre pouvant être considéré comme un prisme dont la base est un polygone régulier d’un nombre indéfini de côtés, et le cône comme une pyramide dont la base est également un polygone d’un nombre indéfini de côtés, on peut encore conclure que :

1° Le volume d'un cylindre est égal au produit de sa base par sa hauteur.

2° Le volume d'un cône est égal au tiers du produit de sa base par sa haueur.

Quant au volume de la sphère, voyez Srnère.

Ce qui précède est suffisant pour mesurer le volume de tout solide qu’on peut décomposer en prismes ou en pyramides, Les corps dont les surfaces sont remplies d’inégalités offrent des difficultés souvent insurmontables , mais on se contente d’obtenir approximativement leurs valeurs à peu près de la même manière qu’on obtient l'aire des figures dont les contours sont très-irréguliers. Cependant lorsqu'il s’agit de corps trèspetits, les physiciens emploient le procédé suivant, susceptible d’une grande exactitude.

Où prépare un vase cubique ou parallélipipède d'une capacité connue, et après l'avoir rempli d’eau on y plonge le corps qu'on veut mesurer, En plongeant, ce corps chasse un volume d’eau égal au sien; par conséquent en mesurant le volume de cette eau ainsi chassée, on a celui du corps. Mais comme il serait difficile de recueillir exactement l’eau qui tombe du vase, on dispose ordinairement sur sa hauteur une échelle

SÙ dont les divisions font connaître le volume de l'eau comprise entre le fond et chacune d'elles; ainsi après avoir plongé le corps et fait écouler l'eau qu'il déplace on le retire, ce qui occasionne un vide égal en volume à l’eau écoulée ou au corps. Les divisions de l'échelle fout connaitre immédiatement ce volume.

Pour la mesure du volume des solides de révolution, voy. CUBATURE.

Souines semeLasces. Ce sont ceux dont les volumes sont différens, mais dans lesquels la relation des limites est la même. Par exemple deux polyèdres sont semblables lorsque tous leurs angles solides sont égaux et semblablement placés, et que leurs faces situées de la même manière sont semblables.

Deux polyèdres semblables sont entre eux comme les

cubes de leurs côtés homologues.

ANGLE sOLIDE. C’est celui qui est formé par les iutersections de plusieurs plans qui se rencontrent en un même point; ce point est le sommet de l’angle. Les divers sommets des polyèdres sont des angles solides.

Deux angles solides sont égaux lorsque les angles des plans qui les forment sont égaux et semblablement placés.

ProsiÈème soupe. Les anciens donnaient ce nom aux problèmes qui conduisent à une équation du troisième

degré.

SOLIDITÉ. (Géom.) Quantité d'espace occupée par un corps solide. La solidité et le volume sont la même chose.

SOLITAIRE, (451) Nom d’une constellation méridionale introduite par Lemonnier. Elle est située entre la balance , le scorpion et l'hydre.

SOLSTICE. (454) Moment où le soleil est à sa plus grande distance de l’équateur et arrivé à l’un des tropiques. On lui a donné ce nom, de solis statio, parce que le soleil quand il est proche du tropique paraît, durant quelques jours, conserver à très-peu près la même hauteur méridienne, et que la durée des jours avant et après le solstice est sensiblement la même. Le solstice arrive deux fois chaque année , savoir le 20 ou 21 juin, jour auquel le soleil arrive au premier point du signe du cancer ou de l’écrevisse, qui est le point où l'écliptique touche le tropique du cancer, et le 20 ou 21 décembre, jour auquel le soleil arrive au premier point du capricorue, qui est le point de l’écliptique qui touche le tropique du capricorne. (Foy. ARMILLAIRE.) C’est le premier de ces jours qui commence notre été; aussi le solstice qui lui correspond se nomme le so/stice d'été. L'autre est celui où commence notre hiver ; c’est

pourquoi le solstice correspondant est appelé so/stice

d'hiver. Le contraire a lieu pour les habitans de l'hé-

misphère méridional.

SOLUTION. C'est en mathématique la réponse à une question ou la quantité qui satisfait aux conditions d’un problème. (foy. Résozuriow.)

SOMMATION. ( 4/2.) Opération qui a pour but de trouver la somme d’une suite de termes dont on connaît la loi. Elle est particulièrement l’objet d’une branche de calcul nommée calcul sommatoire.

Nous avons nommé, d’après M. Wronski, dans nos articles Maruémariques et Paicosopmir, algorithme de la sommation le premier mode élémentaire de la génération des quantités, dont la forme générale ou schématique est À + B —C.

SOMMATOIRE. Calcul sommatoire. (Alg.) Branche de l’algèbre qui a pour objet la sommation des termes des séries ou de toutes autres quantités liées par une loi.

Les premiers essais de sommation des séries paraissent dus à Leibnitz; on les trouve dans un mémoire intitulé: De proportione circuli ad quadratum circumscriplum in numeris rationalibus, et publiés dans les Actes de Leipsick pour 1682. Cet écrit, qui renferme un grand nombre de propositions très-curieuses et alors très-inattendues, attira l'attention des géomètres sur ce geure de recherches dont limportance se fit sentir de plus en plus, et bientôt le ca/cul soinmatoire fut considéré comme une branche particulière de la science des nombres. Il n’est en réalité qu'une application du calcul des différences. Nous allons exposer ici ses lois généraies.

1. Soient À, B, C, D, etc. , une suite de quantités quelconques que nous pouvons toujours considérer comme les valeurs successives d’une fonction Fx, dans laquelle x reçoit successivement un même accroissement £ , c’est-à-dire, supposons qu’en posant Fr — A, nous ayons Fix+Ë) — B, F{x+oë) — la nature des différences (voy.

G , etc. D'après

ce mot) nous aurons

donc AFx = AA = F(rtz)— Fr = B— A AFx(+£) = AB = F(x+o0ë) — F(x+2) =C— B AF(xboé) = AC = F(x+438) — F(x+oi) = D —C

etc. — etc.

En prenant l'accroissement £ négatif, nous aurons

AA — À —B AB — B—C AC—C—D etc. — etc.

et, par suite

MA — AA — AB = À — 9B+C AB — AB — AC —B — °C + D #C—= AC— AD—C—-0D+HE etc. — etc,

AA = AA — #B — À — 3B + 3C — D AB — AB — 4C — B — 3C + 3D —E AC — AC — AD = C — 3D +3E —F

etc, —= etc.

Il estfacile, en poursuivant ces constructions, de conclure , par induction, qu’on a généralement (a)

ArA— A —nB Fous

Cette formule est identique avec celle que nous avons donnée (Dirr., 14) pour l'expression de la différence de l’ordre 7 d’uue fonction quelconque ex.

2. La formule (a), subsistant pour toutes les valeurs de l’exposant », devient, lorsqu'on fait » négatif

A-nA = A+ nB+ TT ee CR

série qui ne peut s'arrêter qu'autant que les termes A ,B,C, etc. s'évanouissent quelque part eux-mêmes.

Or, la différence à exposant négatif A—" est la même chose que la somme de l’ordre n; ainsi l’expression pré-

cédente peut encore s’écrire (b) \ AA LB et C+ sait MEp Fe ® Re

ce qui forme le théorème fondamental d’où dépendent toutes les sommations d’un ordre quelconque.

Ainsi pour trouver la somme de la série qui forme le second membre de l’expression {b), il n'y a qu'à trouver l'expression générale de la dilférence A'"A et mettre dans cette expression — 7» à la place de + ». Supposons, par exemple, que les quantités A, B, C, D, etc., soient les termes consécutifs de la progres-

sion géométrique 1, r, 7°, 7°, ri, @lC., On aura

A = AA— I —7r MA — I — 97 + nm = (17) AA — 1 — 3r + 3 — 7 = (17) etc. — etc.

et, en général , AA — (1—r)"

Faisant » négatif, il vient donc

Qi—r)-r = 1 + nr 1,2

C'est en effet ce que donne le binome de Newton, dans le cas de l’exposant négatif.