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qui exprime, comme on le sait, le rapport du diamètre à la circonference.

Nous avons icir—#4,x—1,2—3; ainsi , substi-

tuant dans (4), et désignant par 7 la valeur de la série,

nous aurons

r = Log 3+A4— a à

mais Log 3 = 1,0986123 A4 = %,8411502 3,9397719 A3 — 0,7951789 Donc, r == 3,1415926

Il faudrait ajouter ensemble près de 100000 termes de cette série pour obtenir une valeur de 7 aussi approchée que celle qui résu'te de ce calcul si simple.

10. Ce n’est que dans un très-petit nombre de cas qu’on peut obtenir soit le terme sommaloire , soit la somme entière des séries sous une forme fiuie , et l’on voit que le problème général de la sommation des séries se ramène à celui de transformer une série donnée, dont la convergence n’est pas assez rapide pour faire connaître sa valeur numérique, en une autre série équivalente , dont la convergence soit telle qu'il suffise d'un petit nombre de termes pour déterminer sa valeur. Considéré de cette marière, ce problème a été l'objet des travaux des plus grands géomètres, et nous regrettons de ne pouvoir faire couuaitre les transformations ingénieuses à l’aide desquelles Moivre, Stirliug , Euler, Herman, Maclaurin, Lagrange , Simpson et tant d’autres l’ont résolu de diverses manières. Nous croyons cependant devoir exposer un procédé singulièrement commode, dû à Hutton, pour sommer, par approximation, toutes les séries dont les termes sont alternativement positifs et négatifs.

Après avoir réduit en fractious décimales les dix à douze premiers termes de la série proposée, on les écrit les uns au-dessous des autres, ce qui forme une colonne que nous désignerous par A. A côté de la colonne A on en forme une seconde B composée successivement du premier terme de A, de la somme des deux premiers , de celle des 3 premiers et ainsi de suite. Une troisième colonne C se forme ensuite en prenant la moyenue proportionnelle arithmétique entre les deux premiers termes de B, puis entre le second et le troisième et ainsi de suite. Une quatrième colonne D se compose, de la même manière, des moyennes proportionnelles entre les termes de C. Enfin, on continue ces colonnes de moyennes proportiounelles, jusqu’à ce

qu'on parvienne à une dernière colonne qui ne contien-

SO dra plus qu’un terme. Ce dernier termesera uue valeur approchée de la série, d'autant plus exacte qu'on aura employé un plus grand nombre de termes. Avec dix à douze seulement on obtient ordinairement six à sept décimales exactes. Voici un exemple de ces calculs sur

la série traitée ci-dessus :

Hs =

qui est une de celles dont la convergence est la plus

lente, Nous savons d’ailleurs que - r — 0,782398...

À B c RAR 0,833333 - — 0,333333 0,666667 0,500000

— 0,200000 — 0,142857 + o,11rrit — 0,090909 + 0,056023 — 0,066667 + 0,0556524 — 0,052032 + 0,047690

Arrivé à la colonne D, l'inspection de ses valeurs montre que les derniers termes convergent plus rapidement que les premiers ; alors, pour abréger, on se contentera de continuer le calcul sur les quatre derniers termes , ce qui donnera