UE

NTI 0, me 4,0 mt

uiu—3){u—0) + 1)w—2) 0,.me—3

nu )\u—2)\x—3)(2—4)

dans laquelle le terme + (—1)7.9, 41 résulte des constantes introduites par les intégrations. En désignant généralement par M{m), la somme des puissances », on trouve successivement

Mim), — m M(m): 2

ne — Om

Min):

LM — mn? + 20,

Min Emi — 6m + 30,n0

etc. etc.

valeurs que nous avons employées à l’article Facurrés.

19. On peut appliquer les formules générales à la sé- 1ie réciproque des puissances

Fer À

ï L Gone À Gare À ae

En faisant . négatif, on obtient pour la somme de cette série continuée à l'infini

HN | 2 > 1 F x

La convergente de cette série sommatoire dépendant du rapport de la différence r au premier terme z, on pourra la rendre aussi grande qu'on le voudra, en calculaut à part la somme d'un certain nombre de termes

de la série proposée, par exemple, depuis y J'squ'à

———— , puis en appliquant la formule à la somme

(zur —r,#

des autres depuis jusqu'a Piofioi, Faisant

(z+ar zæ+mr = x, cette dernière somme sera {s),

j— CCC:

(u—1)xr—1,r Fe D (£

Proposons-nous, pour exemple, de trouver la valeur

numérique de la série réciproque des carrés

continuée à l'infini. Nous avonsiciz = 1,7 1,20, La somme des neuf premiers termes est 1,5307631 ; et comme æ = 3 + mr = 1 + Q — 10, les termes

de la série (s) deviendront

premier (erme — 0,1000000

second terme 0,0050000

troisièmeterme —

quatrième terme — 0,0000003

Ainsi on peut négliger les autres, si l'on ne demande pas plus de sept décimales. Ajoutant la somme 0,1051669 de ces quatre termes avec celle des neuf termes de la série, on aura définitivement 1,6449349 pour la somme de la série réciproque des carrés, continuée à l'infini.

20. On peut encore déduire de la formule (7) l'expression générale du logarithme naturel d’une factoriclle quelconque ar, expression très-utile dans un grand nombre de cas.

La factorielle &* 7 étant identique avec le produit

a(a-r) (ar)... (amr—r) on a d’abord évidemment Log(an") = Loga + Log(a+r) + Log(a+2r) + ete... + Logla-tmr=r)

502 S0 mais on a aussi généralement, quelle que soit la quantité æ ,

Logxz = æ(x° — 1)

(Foy. Locanrrumes, 6) ; désignant donc, pour faciliter l'impression, par 7 la quantité infiniment petite =, ce

: + Li qui rendra réciproquement © = —

, la somme des lon

garithmes prendra la forme

Log(ar”) —-} an + {a+ri+etc..….(arnr—r) —m n | Appliquant à cette suite la formule {r), en observant qu'on a généralement z — 1 + x Logz,

lorsque r = 5, on trouvera pour les trois premiers

termes de la série sommatoire

— m + i[(e +r).Log(a-mr)—aLoga |

—- Log (Æ,.

Quant aux termes suivans, si l’on désigne par la caractérisque ®% la fonction de x dounée par la série (9),

I £ I dx = x + 3 ne + 3 GX + 5 a + etc.

se r leur somme totale sera exprimée par ® ——— — a+ mr

Le logarithme demandé sera donc (u)

Log(anr) — — m +- =: [(a+mr)Log(a+mr)—aLoga]

Li a-+mTr nr

21. Si l'onfait a — 1, ce qui rend ces formules plus simples sans en diminuer la généralité, il vient (v)

Log(1#r) = mr — À Log(1+mr)

r LD ——— — 1+ar "

expression dont on peut tirer les moyens de calculer facilement la valeur numérique de la fonction &r, quelle que soit la quantité r, En cffet, prenons à volonté le nombre 72, il suffira de le supposer égal à 6, 8 ou

9 tout au plus; nous aurons (x)

Ew77

I mr

Dr—=— mn + [E — :] Log(r+nr) +

— Log (11)

s à r ; ; et la fonction ——, dont le développement pré-

1+ 72 sente une série tellement convergente ; que les deux premiers termes suffisent dans presque tous les cas pour déterminer sa valeur, fera connaitre celle de «y. Cherchons pour exemple la valeur numérique de r. Ayant icir—1, prenons 2—40, et nous aurons, à cause 191 — 362880 = 720 X 504,

BI = — 9 + 2 . Log 104 d — Log (362880).

ss ji Li I La fonction æ — est 9,. — 0. —— etc... et 10 ‘ro +3 1000 +

comme ÿ, = :

Re . et —— + il suffit de ces deux

premiers termes pour nous faire connaitre

avec sept décimales exactes. Nous avons d'autre part :

Log(191)— 12,8018275

Log io == 2,3025851

J c Fm . Log 10 — 21,8745584 à l’aide de ces données on obtient définitivement 1 — 0,0810615.

Se Prenons pour second exemple 3° Faisant le nombre

arbitraire #2 — 6, la formule (y) donne

d ? — — 6 2 5 9 11 13 v =— 6-7 Log5+ 0 — Log É LE |

et l’on trouve en réalisant les calculs 23 = 0,0538141.

22, Les formules (x) et (v) ont le grand avantage de

faire obtenir avec facilité les valeurs numériques des factonielles à exposans fractionnaires, factorielles qui peuvent servir à donner la génération d’une foule de quantités transcendantes, Proposons-nous pour exem-

ple la factoricile remarquable 1°, Nousavonsicia=1,

F1, = —; ainsi, substituant dans (v), il viendra Ls

3 2 Log(i® )= — = + Log = +4 go)

voici le calcul :

Log 3 — 1,0986123 0,6931472

Log 2

Log” — 0,405/4651

Logti®l) — — 0,1207823

le nombre qui répond à ce logarithme étant 0,886227 , nous en conclurons

Ce nombre estla moitié de la racine carréede3,1415206, ou du nombre qui exprime le rapport du diamètre à la circonférence. Nous avons démontré en effet que

Lye = (r LR

(voy. Cencrr, 33); or, en vertu du théorème (voy. FAcroRIELLE, 2)

anir = (a+-{(m—i)r}rir

on a évidemment

(ef) JC

23. Euler a obtenu, pour les séries réciproques des puissances des nombres naturels, des expressions sin-

gulières dépendantes du nombre # = 3,1415926. Il à

trouvé que la somme de toutes les séries continuées à l'infini et représentées sous la forme générale

I l 1 1 I Pur Vgn Dr T5 & + etc

est toujours dans un rapport commensurable avec #7.

lorsque » est un nombre pair. Cette somme pour

n— 2,est....... ——— . T° ’ 1,2.3 2? I F NM Liinoseusese — ri FA 142:94460 3 6 24 Ÿ n = séodsaesce - ——— T° 1.2.3.4.5.6.7 3 6 3 M OL. saone ———, LT D 0 2° 9 10 = 10e reset ————— 57 Leds des dese DE ‘9 240 6ot R = Ido — ——— . —<—=. 7x"?

Tededesesseld 109 , 27? 1 RE DE RP .5=. m4 L Indidarsesc la 2 214 361 LR Te ——— ET 122.3... 17 15 216 4386 A LR SE yat lDcdss es 10 21 2 1222277 h.= 20. sise = — . .722 MO PRES 55 220 854513 2 Nn = DBerrosrouo.s = . — . T°° 1251 31 2% 1181820455 ; A RCD DOOROD e ——— . mi x21E 27 224 697792 :

= tee ne ee - JOUET 127 I La série très-irrégulière des cocfficiens tr Ur03 51601 :

I rs ——%, etc.

+31 \ BY Sbwroat

se représente dans d’autres circonstances. (7’oy. Euler, Introd. analy. infinitorum.)

24. La sommation des séries présente un grand nombre de particularités qui ne peuvent trouver place

dans cet article ; nous devons nous borner maintenant

à indiquer à nos lecteurs les sources où ils doivent

puiser. Ce sont : le calcul différentiel d'Euler; l'anadyse des refractions astronomiques de Kramp ; Miscel. analyt. de Moivre; Methodus differentialis de Stirling; De sertebus infinie. de Jacques Bernouilli; Théorie des jeux de hasard de Montmort; Meditationes analyt. de Warivrg ; Mathematical dissertations de Simpson ; Lucubrations de Landen: etle Traité des différences

et des scries de Lacroix.

SOMME. (44g.) Nom que l’on donne à la quantité

résultante d'une addition. (Foy. ce mot.)

SOMMET. (Gcom.) On désigne généralement sous ce nom le point le plus élevé d’une figure géométrique.

Le sommet d'un angle est le point commun des deux lignes qui le forment.

Le sommet d'un triangle est ordinairement le sommet de l'angle opposé au coté que l’on considère comme sa base.

Le sommet d'un solide est le sommet de l'angle solide opposé à sa base. Dans un polyèdre le sommet de chaque angle solide est considéré comme un sommet du corps.

Le sommet d'une courbe est en général le point où

la courbe coupe l'axe des abscisses.

SON. (Acoust.) Résultat du mouvement vibratoire des corps transmis aux nerfs acoustiques , ou forme dont les organes de l'ouie revètent les sensations qui leur sont propres. (/'oy. ACOUSTIQUE.)

Les vibrations d'un corps élastique, causes premières du son, se communiquent à toutes les matières immédiatement contijuës et par suite à toutes celles qui se trouvent en contact avec ces premières. Pour qu'il y ait sensation d’un son, il faut qu'il existe une continuation de matière quelconque entre le corps vibrent et l’oreille. L'air atmosphérique est ordinairement le milieu qui transmet l'impression des vibrations aux organes de l’ouie, mais toutes les matières liquides ou solides peuvent remplir la même fonction.

La propagation du son, considérée sous le point de vue de la vitesse avec laquelle il parvient à l'oreille, à été l’objet des recherches d’un grand nombre de savans; ils se sont accordés à reconnaître que dans cette propagation le mouvement est toujours uniforme, c'est-àdire que les espaces parcourus sont proportionnels aux temps. Des sons forts ou faibles, comme aussi des sons graves et aigus, sont propagés de la même manière et avec la même vitesse. Quant à cette vitesse elle-même, les évaluations sont très-différentes. Roberval l'estimait à 560 pieds par seconde de temps, Mersenne à 1474 ; Duhamel à 1338, Newton à 968, et Derham, Flams-

SO teed et Halley à 1142 pieds. Cassini de Thury a trouvé par une longue suite d'expériences fuites sous diverses conditions atmosphériques que la vitesse moyenue du sou est de 1038 pieds de roi par seconde; ce qui diffère peu des résultats de Derham, ea le pied de roi est au pied anglais dans le rapport de 16 à 15. Dausles expériences faites avec beaucoup de soin par le major Muller, à Groningue, la vitesse s'est trouvée de 1040, 3 pieds de roi par secoude. Plusieurs autres observations ont fait adopter pour la vitesse moyenne du sou

dans l'air atmosphérique le nombre de 1042 pieds ou , L , : , :

333 mètres par seconde. D'après cette donnée lin.

tervalle eatre la lumière qu'on voit presque instantauément etle son peut servir à évaluer approximativement la distance dans une explosion quelconque, comme le serait par exemple un coup de canon. Plusieurs géomètres asilingués et particulièrement Poisson (Journal de l'école potyt., tome vit) ont tenté de déterminer théoriquement la vitesse du son. Le résultat de ces recherches est qu’en désignant par d la densité de l'air et par gh son élasticité égale à la pression de la colonne barométrique de mercure dont la

hauteur est À etla gravité g, la vitesse du son est

gh d°

Le calcul donne à peu près 288 mètres par seconde, ou environ un sixième de moins que les expériences. Cependant Poisson et Biot ont montré que si l’on fait cutrer daws le calcul, suivant une idée de Laplace, le développement de chaleur qui se fait dans chaque compression de l'air et qui augmente l'élasticité, les résultats de la théorie peuvent concorder avec ceux des observations. D'après les recherches de Biot sur la propagation du sou par les vapeurs, cette propagation est en effet toujours accompagnée d'un développement de chaïeur. (Woy. Memoire de la société d’ Arcueil, tome ©.)

La vitesse du son daus l'air atmosphérique n’est Mmodifiée que par ce qui produit un changement dans l'élasticité spécifique de l'air, c’est-à-dire, par ce qui fait varier le rapport de l'élasticité absolue à la densité. Telle est par exemple l'expansion de l'air par la chaleur, qui augmente l'élasticité spécifique en diminuant la densité, pendant que la pression reste la même. Aussi d'après les observations de Bianconi (Comment. Bonon. ; vol. 11), la vitesse est plus grande en été qu'en hiver. L'intensité du son, et le degré de hauteur, n’influent pas sur sa vitesse. Sur les hautes montagnes et en général à une grande élévation la vi- Lesse est la même que dans l'air inférieur. La direction

même suivant laquelle le son est produit, n'apporte d'autre modification que celle de son intensité ct l’on entend, par exemple, un coup de canon après le même intervalle de temps, quel que soit le côté vers lequel il est tiré. On a aussi observé la même vitesse dans un temps de brouillard ou de pluie que dans un beau temps.

La distance à laquelle un son transmis par l'air est encore perceptible à l'oreille ne peut être l’objet d’aucune évaluation moyenne, car elle dépend de son intensité et par conséquent de toutes les circonstances contingentes qui peuvent contribuer à modifier cette intensité, telles que la direction des vents, les échos , les montagnes, etc. On cite des exemples où l’on a entendu des sons à de très-grandes distances : à un siége de Gênes les coups de canon se firent entendre à une distance de 90 milles d'Italie. (Zransactions philos. n. 113.) Chladni rapporte qu'étant à Wittemberg il entendit distinctement les coups de canon de la bataille d’Iéna, à une distance de 17 milles d'Allemagne (28 lieues), moins par l'air, à la vérité, que par les chranlemens des corps solides, car il appuvyait son oreille contre un mur.

Voyez pour la théorie de la propagation du son: Euler, De motu aëcris in tubis ; le même, Recherches sur la propagation du son; Lagrange, Rech. sur La nature et la prop. du son, tome 1 des Mém. de Turin; Riccati, Delle corde owero fibre elastiche, Bologne 1767; Young, Enquiry into the principal phænomena of sounds an musical strings, 1784; Lambert, Sur la vitesse du son, Mém. de Berlin, 15065; Trembley, Observations sur le mouvement des fluides, Mém. de Berün, 1801; d'Alembert, Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides ; Chladni, Traité d'acoustique; Poisson, Sur La théorie du son, Journal de l'école polytec., tome vu. Voyez aussi dans ce dictionnaire

les mots : AcousriQue , Ecuo et Porrevoix.

SOSIGÈNES. L'un des astronomes de l'école d'Alexandrie, qui furent appelés à Rome par Jules César, pour opérer la réforme du calendrier. Il n’est connu dans la science que par la part importante qu’il prit à ce travail, ct l’on ignore absolument le lieu et l’époque de sa naissance, Ce fut lui qui détermina César à adopter l’année solaire; il négligea les fractions de la limitation de cette année par Hipparque, et il la fixa à trois cent-soixante-cinq jours six heures ; c’estle calendrier de Sosigènes que César fit adopter par le monde romaiu et qui a reçu le nom de Julien. (Foy. GazEn- DRIER.)

SOTHIAQUE., (454) La période sothiaque ou caniculaire est une ancieune période de 1460 aus , qui ra- TOME Al

SO 505 menait le commencement des saisons aux mêmes jours de l’année égyptienne,

SOUNORMALE, (Geom.) On donne ce nom, dans la théorie des courbes, à la partie de l'axe comprise entre le pied de l’ordonnée et celui de la normale,

Soit AC une branche de courbe rapportée à l’axe AM (PL 53, fig. 11):si; par un quelconque de ses points C dont CP est j’ordonnée, on lui-mène la tangente CT, puisqu'on tire de ce même point C une perpendiculaire CD à la tangente, la partie PD de l’axe interceptée entre l’ordonnée CP et la perpendiculaire ou la normale CD sera la sounormale.

On peut obtenir l'expression générale de la sounormale dans une courbe quelconque, de la manière suivante: Menons d’abord une autre ordonnée P'C'prolongée jusqu’à ce qu’elle rencontre la tangente, et ensuite la droite C2 parallèle à l'axe. Le triangle rectangle CPD sera semblable au triangle rectangle Cr2C' et nous aurons

CP : PD :: Cm: Cm d'où CP X Cm

) — ÈS Cm

Si nous supposons maintenant que PP’est infiniment petit ou la différentielle de l’abscisse AP, C'”2 sera la différentielle de l’ordonnée, et en faisant CP = y, C'm= dy AP=x, On PP'= dx il viendra (a) sounormale = Ydy dx expression qui fera connaître la valeur de la sounormule dans une courbe quelconque en y substituant les valeurs de dy et de dx tirées de l'équation de la courbe. Proposons, pour exemple, de chercher la valeur de la sounormale daus les sections coniques. L'équation du cercle, rapportée au sommet, étant

on en tire, en différentiant , 2ydy —2adx — 2xdx d’où

dy __ ax

di + substituant cette valeur dans (a) il vient sounormale = a — x

Dans le cercle, la sounormale est donc toujours égale à la différence entre le rayon et labscisse.

L'équation de la parabole y? = px fournit

506 SO dy P di 2Y° d'où sounormale = £

ainsi dans cette courbe la sounormale est constante et égale à la ruoitié du paramètre,

+ ; db?

L’équation de l’ellipse 3° — — (2ax—2x*), donnant

ba— x) = ——, on en conclut dx æYy

sounormale = —(a—x) a?

Enfin, de l'équation de l’hyperbole y? eu (2ax+x), [24

on tire de la mème manière

b° sounormale — (a+x).

«a Les mêmes triangles rectangles qui nous ont fourni l'expression générale de la sounormale peuvent nous donuer celle de la normale, car ils offrent encore la proportion CP : CD :: Gm : CC' d’où CPYXCC’