CD

Or, CC' est, dans l'hypothèse de PP’ infiniment petit, la différentielle de l'arc de la courbe dont l’expression est \/{dx°+dy?) (voy. Recriricariox); ainsi cette égalité est la même chose que

2V (+ dr)

normale —

En substituant dans cette expression la valeur de la seconde puissance de la dérivée différentielle de l’ordonnée d'une courbe, on aura la valeur de la normale. Pour le cercle, la dérivée différentielle de J, considérée comme fonction de +, étant

dy noie

et, par suite

normale

Vl®—(e—x)]

VI2axz—a—(a—x)]

Va = a

c’est-à-dire que la normale, dans le cercle, est constante et égale au ravon. On sait en effet que la perpendiculaire menée à une tangente quelconque et au point de

contact passe par le centre.

SOUPAPE. (Héc.) C'est le nom générique qu’on donne, dans les machines, à de petites portes destinées à permettre et à empêcher alternativement le passage de l’eau ou de tout autre fluide.

SOURD. (4rith.) Un nombre sourd est le même qu’un nombre érrationnel où incommensurable, comme ! V/2. Ce mot a vieilli.

SOUS-CONTRAIRE. (Geéom.) Deux triangles semblables ont une position sous-contraire lorsqu’ayant

un sommet commun, leurs bases ne sont pas parallèles,

Tels sont, par exemple, les deux triangles rectangles ABC, ADE. (PI. 57; fig. 2.)

SOUS-DOUBLE. (4rith.) Une quanuté est sousdouble d'une autre, lorsqu'elle est sa moitié. Ainsi 4 est sous-double de 8, comme 8 est double de 4.

SOUS-DOUBLE. (Arith) Deux quantités sont dites en raison sous-doublée de deux autres lorsque leur rapport est égal à celui des racines carrées de ces deux

autres. Par exemple si l'on a la proportion A:.B :: N/G:: \/D

on pourra dire que les quantités A et B sont en raison sous-doublée des quantités C et D.

SOUS-MULTIPLE, (4le.) Toute quantité contenue un nombre exact de fois dans une autre quantité est un sous-multiple de cette dernière. 3, par exemple, est sous-multiple de 12. Tous les facteurs d’un nombresont

ses sous-mulliples.

SOUSTRACTION. (Arith. et Alg.) Une des opérations fondamentales ou des règles primitives de la science des nombres. Elle a pour objet de construire un nombre qui soit égal à la différence de deux nombres donnés.

La soustraction est l'inverse de l'addition, car or doit toujours se représenter le plus grand des nombres pro-

posés comme prodait par l'addition du plus petit avec le nombre inconnu qu'il s’agit de trouver; par exemple, chercher la différence des deux nombres 30 et 12 est évidemment la même chose que chercher le nombre dont l'addition avec 12 donne 30 pour résultat. Aiusi, désignant ce dernier par x, on peut dire indifféremment 30 moins 12 est égal à x, ou 30 est égal à 12 plus æ. H résulte de cette considération que le procédé qu'il faut employer pour faire la soustraction doit être l'inverse de celui qu'on suit dans l’addition; en effet, pour obtenir la différence des deux nombres85634, 85887, ou pour retrancher 85634 de 86587, on doit raisonner ainsi : 89887 peut être considéré comme formé par l'addition de 85634 avec le nombre cherché et alors ses unités, ses dixaines , ses centaines, etc. sont composées de la somme des unités, des dixaines , des centaines , etc., des deux nombres ajoutés ensemble ; donc en retranchant les unités de 85634 de celles de 89887, il doit nécessairement rester les unités du nombre cherché, et en retranchant les dixaines de 85634 des dixaines de 89885, il doit rester les dixaines de ce même nombre cherché, ainsi de suite. On peut aisément conclure, comme règle générale, que pour

il faut

cher les unités du premier de celles du second,

retraucher un nombre d’un autre, retranpuis les dixaiues du premier des dixaines du second,

les centaines des centaines, etc. , etc. Bien enteudu qu'il s'agitici de nombres entiers dont les unités sont de même nature; car, par la même raison que deux kilogrammes et deux mètres ne peuvent former un ensemble auquel on donne le nom de quatre , ilseraitimpossible d'évaluer la différence de deux nombres dont les uvités seraient d’une nature différente.

Pour effectuer une soustraction on écrira donc les deux nombres proposés l’un sous l’autre, en plaçant le plus petit sous le plus grand et en faisant correspondre les unités, les dixaines , les centaines, etc., de l’un avec les unités, les dixaines , les centaines, etc., de l'autre, comme il suit

Teste. 4293

puis, commençant par les unités, on dira : 4 ôté de 7 reste 3, qu’on écrira dans le rang des unités ; passant aux dixaines, on dira : 3 ôté de 8 reste 5, qu'on écrira dans la colonne des dixaines; passant aux centaines , on dira de même: G ôté de 8 reste 2, qu’on écrira. Pour les mille, on dira : 5 ôté de 9 reste 4, qu’on écrira encore ; et enfin, pour les dixaiues de mille, on dira: 8 ôté de 8 reste 0, qu’on se dispensera d'écrire parce qu'il n’y a plus rien à mettre après.

Ainsi, 4253 est le résultat, ou, comme on le nomme,

le reste de la soustraction de 85634 de 89887, et ce nombre 4253, ainsi trouvé , est nécessairement celui dont l’addition avec 89634 forme 85887. L'addition de 4253 avec 85634 est le moyen de vérifier la soustraction, car si l’on ne s’est pas trompé dans cette dernière opération, on doit, en additionnant, reproduire 89887.

Ilarrive souvent, lorsqu'on retranche un nombre d’un autre, que le chiffre inférieur dans une colonne est plus grand qne le chiffre supérieur, et alors on est forcé d’empruntersur le chiffre supérieur, à la gauche de celui sur lequel on opère , une unité, qui, valant dix unités pour la colonne en question, donne alors le moyen de retrancher le chiffre inférieur. C’est ce qu'un exemple va rendre sensible.

Soit par exemple 6586 à retrancher de 14543; après avoir écrit ces nombres l’un sous l’autre comme il est prescrit

reste..... 4557

on opérera de cette manière : 6 étant plus grand que 3, où sjoutera à 3 une dixaine qu'on empruntera sur le chiffre 4 des dixaines, puis on dira: G ôté de 13 reste 7, qu’on écrira dans la colonne des unités. Passant aux dixaines, on ne dira plus : 8 ôté de 4, puisqu'on doitse rappeler que le chiffre supérieur 4 est diminué d’une unité par l'emprunt qu'on vient de faire, mais on dira : 8 ôté de 3 , et comme on ne peut encore retrancher 5 de 3, on ôtera 8 de 13, en empruntant de nouveau une unité du chiffre 7 des centaines, unité qui vaut dix dixaines. Arrivé à la colonne des centaines et remarquant que le chiffre supérieur ne vaut plus que G, et qu'ilest plus petit que le chiffre inférieur 8, on empruntera une unité sur le chiffre des mille et on dira : 8 ôté de 16 reste8. Enfin, arrivé à la colonne des mille, comme il ue reste plus que 3 mille, on prendra le chiffre 1 des dixaines de mille et on terminera en disant : 9 ôté de 13 reste 4. Le nombre cherché est donc 4853. On peut voir encore facilement ici qu’en opérant , comme nous venons de le faire, nous avons exactement suivi une marche inverse de celle par laquelle on formerait lenombre 14743 par l'addition des deux nombres 9886 , 4857, car après avoir ajouté les deux chiffres d’une même colonne il faudrait reporter la dixaine de

la somme sur la coloune suivante.

S'il se trouvait un zéro dans les chiffres supérieurs ou même plusieurs zéros de suite, on procéderait comme il suit :

1° Soit à retrancher 258169 de 360584

resle.... 102119

Ayant généralement le soin de marquer d’un point les chiffres sur lesquels on emprunte pourse rappeler qu'ils sont diminués d’une unité, on dira : 9 ôté de 14 , reste 5; 6 ôté de reste 1 ; 4 ôté de 5 reste 1; 8 ôté de 10 reste 2 ; 5 ôté de 5 reste o ; et 2 ôté de 3 reste 1. Le résultat de l'opération est donc 102115.

2. Soit à retrancher 3985678699 de 5800430608. 5800430608 3985978699

reste. ... 1514451909

Le premier chiffre 8 des unités étant plus petit que le chiffre inférieur 0, et le chiffre suivant des dixaines étant Oo, il faut emprunter üue unité sur le chiffre G des centaines, mais cette unité vaut dix dixaines ct, comme on n’a besoin que d’une seule dixaine, on en laissera neuf au rang des dixaines, et l’on dira seulement: 9 Ôté de 18 reste Q. Passant aux dixaines, et se rappelant qu'on a laissé 9 surle zéro, on dira: 9 ôté de o reste o. Le chiffre 6 des centaines supérieures ne valant plus que 5 , on empruntera encore une dixaine sur le chiffre suivant o , et à son défaut sur le chiffre d'ensuite 3, laissant alors Q surleo , car c’est absolument la même chose que si on empruntait immédiatement 1 sur 30, il resterait 29; on dira donc : 6 de 15 reste; 8 deg reste 1; 7 de 12 reste 5 ;9 de 13 reste 4, mais pour ce dernier comme il a fallu emprunter 1 sur 800, il reste aux chiffres supérieurs 700, c’est-à-dire que les deux o valent chacun 9 et que le 8 ne vaut plus que 3 ; on poursuivra donc en disant: 5 ôté de o reste 4; 8 Ôté de orester; 9 êté de 17 reste 8; et enfin 3 ôtéde 4 reste 1. Et avant écrit bien exactement chaque reste dans la colonne dont il provient, on aura définitivement le nombre 1814451909 pour le reste général.

Ces exemples suffisent pour mettre la règle danstout son jour.

La soustraction, comme l'addition, se divise en simple et en complexe, la soustraction simple est celle qu’on opère sur des nombres entiers, la soustraction complexe est celle qu'on opère sur des nombres composés de parties entières et de parties fractionnaires, Nous venons de traiter la première , nous allons maintenant examiner la seconde.

SOUSTRACTION COMPLEXE. Deux quautités composées d’unités de diverses dénominationsétant données, trouver leur différence, tel est le but de cette opération.

SO Le procédé qu’il faut suivre étant une conséquence de celui de l'addition des quantités complexes , il suffira d'un seul exemple pour le faire comprendre. Soit 3% 24"21" à retrancher de {0° 30' 10"; ayant écrit les

nombres proposés comme il suit :

TOC ss 5]

C'est-à-dire , en plaçant exactement les unités de même espèces les unes sous les autres , on commencera par les unités de la plus petite dénomination et l’on dira : 1 ôté de 10 reste 9 qu’on écrira dans le rang des secondes ; passant aux dixaines de secondes, comme il ne reste rien au chiffre supérieur à cause de l'emprunt qui vient d’être fait, on empruntera une unité sur les 30 minutes, laquelle unité vaut 6o secondes où 6 dixaines de secondes; ainsi on dira: 2 de G reste 4, et l'on aura pour premier reste partiel 49”; on passera aux minutes dont il ne reste que 29, et l’on aura pour second reste partiel 5"; enfin on passera aux degrés et l’on trouvera pour troisième reste partiel 5°; le reste général sera donc Ge 5° 49".

SOUSTRACTION DES FRACTIONS. Si les fractions ont le méme dénominateur, on opérera la soustraction sur les numérateurs, et on donnera au reste le dénominateur commun. Dans le cas contraire ; on commencera par réduire les fractions au même dénominateur, puis on

opérera comme il vient d’être dit. Par exemple, si

ment 8 de 11, et on donnera au reste 3 Ie dénomina-

V « Û s . 5 IT s x , 1 Il on veut retrancher -—— de — , on retranchera simple-

teur 17; on aura de cette manière

S'il s'agissait de retrancher

11 RE de Gr 00 réduirait ces

fractions au même dénominateur, ce qui se fait en multipliant les deux termes de chacune par le dénominateur de l’autre, puis on ferait la soustraction sur les

numérateurs. On aurait ainsi

Il 5

(voy. Fracriox.) Fa soustraction s'opèresur les fractions décimales de la même manière que sur les nombres enüers ; il suffit de compléter par des zéros le nombre des chiffres décimaux dans les deux quantites proposées , ct de procéder comme s’il n’y avait pas de virgule. On place ensuite la virgule avant le premier chiffre des entiers, s'il va des entiers, ou à leur défaut avant le zéro

SO qui tient leur place; soit par exemple à retrancher d’une part 0,75 de 0,90357, et de l'autre 21,4538675 de 29,35. Voici les opérations :