Toutes les sphères sont des figures semblables

5. Les volumes de deux sphères sont entre eux comme les cubes des rayons ou des diamètres.

On nomme segment sphérique toute portion de sphère séparée par un plan, et zone sphériqueune partie de sphère comprise entre deux plans coupans et parallèles entre eux.

Si nous désignons par r le rayon d’une sphère , par c la circonférence d’un de ses grands cercles, par S sa surface et par V son volume, 7 désignant toujours le rapport du diamètre à la circonférence , où la demicirconférence dont le rayon est 1, les propriétés précédentes donneront lieu aux expressions

Pour les évaluations numériques, en remplacant + par sa valeur 3,1415926, etc., on peut employer les formules

Quant aux segmens et aux zones sphériques, en conservant les dénominations précédentes et en désignant de plus par R le rayon de la base d’un segment et par À sa hauteur, par R et R'les rayons des deux bases d’une zone et par 2 sa hauteur, on aura les formu-

les suivantes :

Seginent sphérique surface — (6,283185).rh volume =1(0,523590).(3R°4 + h°) —= (0,523509). (cr — 2h) Zone spherique

surface == (6,28318).rh

volume = (1,570796).(R2 + R'2 + 3%)

Les rapports entre la sphère, le cône et le cylindre

circonscrit ont été trouvés par Archimède, comme

nous l’avons dit ailleurs. Une particularité très-remarquable, c’est que le rapport des volumes de la sphère et

du cylindre est le même que celui des surfaces de ces

corps, c'est-à-dire, 2 : 3.

SPHÈRE ARMILLAIRE. (Woy. ARMILLAIRE.)

Spuène, en astronomie, c'estcet orbe immense ou étendue concave qui entoure notre globe et auquel les étoiles fixes semblent être attachées. Le diamètre de la terre est si petit quand on Île compare au diamètre de la sphère céleste que le centre de cette sphère est partout où l’on se place. Dans tous les temps et dans tous les lieux, quelle que soit la position de la terre dans l'espace et celle des observateurs sur sa surface, on a toujours les mêmes apparences de la sphère, c’est-àdire que les étoiles fixes paraissent occuper le même point sur la surface de cette sphère. Notre manière de juger de la situation des astres est de concevoir des ligues droites tirées de l'œil ou du centre de la terre au centre de l'astre, et qui continuent jusqu’à cequ’elles coupent cette sphère ; les points où les lignes se termiuent sont les lieux apparens de ces astres. Pour déterminer ces lieux, ou a imaginé différens cercles fixes auxquels on les rapporte. (Foy. ARMILLAIRE.)

SPHÉRIQUE. (Géom. et ast.) Se dit en général de tout ce qui a rapport à la sphère. Un triangle sphcrique est une partie de la surface d’une sphère comprise entre trois arcs de grands cercles de la sphère qui se coupent deux à deux. Les propriétés de ces triangles sont l’objet de la wrigonomctrie sphérique. (Foy. Taicono-

MÉTRIE.)

SPHÉROIDE. (Géom.) Solide engendré par la révolution d’une courbe ovale autour de son axe. Si l’ovale est régulière’, ou si c’est une ellipse, le sphéroïde se nomme aussi e/lipsoïde.

Où nomme sphcroile allongé celui qui est engendré par la révolution de l’ovale autour de son grand axe, et sphcroïle aplati celui qui est produit par la révolution autour du petit axe. La figure de la terre parait être celle d’un sphéroïde aplati. (Voy. Terre.)

Quand on a l’équation de l'ovale genératrice, on peut aisément obtenir la surface etle volume du sphéroïde par les méthodes exposées aux mots Cuvarure et QUADRATURE, ;

SPIRALE. (Géom.) Ligne courbe d’une espèce circulaire qui s'éloigne de plus en plus d’un point, que l’on nomme son centre, tout en tournant autour de lui.

On distingue diverses espèces de spirales, parmi lesquelles la plus célèbre est celle de Conon; elle est particulièrement connue sous le nom de spirale d'Archimède, parce que ce grand géomètre découvrit le premier ses propriétés. Nous allons exposer la construction de quelques-unes de ces courbes.

SrinALe D'ARGHIMÈDE. Imaginons que lerayon AC du cercle C (PI. 57, fig. 12) se meut uniformément autour du centre de manière que son extrémité À décrit la circonférence dans le même temps qu'un point, parti

SP o11 du centre, parcourt d’un mouvement uniforme le ravon AC; le mouvement de ce point, en considérant sa trace sur le plan du cercle, engendrera une courbe Crmn'm'm"A qui est la spirale d'Archimède.

Après une première révolution du rayon CA, on peut en imaginer une seconde pendant laquelle le point continue à se mouvoir sur son prolongement, de manière à parcourir une longueur égale à AC pendaut cette révolution; et après cette seconde, une troisième, puis une quatrième et ainsi de suite, ce qui donne le moyen de prolonger la spirale à l'infini.

Pour décrire cette courbe par points, on divisera la circonférence du cercleen parties égales, en 10 par exemple, puis on divisera le rayon AB en 10 parties égales, et ayant mené par chacun des points de division p, p', p' etc., de la circouférence les rayons cp, cp', cp" etc., on portera sur le premier rayon Cp, de C en »?, une des 10 parties du rayon AC; sur le second ravon Cp', on prendra Cm’ égal à 2 dixièmes du rayon; sur le troisième rayon Cp”, on preudra Cr" égal aux 3 dixièmes du rayon, et ainsi desuite.Les points »2,m',m", etc. appaitiendront à la spirale.

D'après la construction de cette courbe, le rapport entre un quelconque de ses rayons vecteurs Czetle rayon AC du cercle est le même que celui de l'arc correspondant Ap'x à la circonférence entière; ainsi désignant par = le rayon vecteur, par r ceiui du cercle, par c sa circouférence et par v l'arc Ap'x, on aura

3iriivioe d’où

Telle est l'équation de la spirale d’Archimède. En ob-

r se , EL:

servant que —est une quantité constante égale à —, € 27

r exprimant le nombre 3,1415026 etc., on peut donner à cette équation la formule plus simple z = av, en

T se rappelant que a— —.

La rectification de cette courbe ne peut être obtenue que par approximation, car en substituant dans l'expression

ds = V/[dz + 2.4], de laquelle dépend la rectification des courbes exprimées en coordonnées polaires (voy. REcrIFICATION, 6), les valeurs de z’ et de dz’ tirées de 3 — av, on trouve ds = V/[a ds + a wdw] = adv.V/[1 +]

expression qui ne peut s'intégrer que par les séries ou

512 SP les logarithmes, et qui dépend évidemment de la rectification de la parabole. (Foy. Recrir., 41.)

La quadrature de la spirale dépend de celle du cercle et ne peut être obtenue aussi que par approximation, mais e le présente une particularité remarquable

que nous devons signaler. Substituant dans l'expression

I LL : Æ z°«dv

de la quadrature des courbes rapportées à des coordon-

générale

nées polaires la valeur de de prise dans l'équation

a fra

2 = av, il vient

1 ii I S — + a ve? VE — à 2

— ga vs + const )

En prenant l'aire à partir de l’origine et remplacant a? P P 8 plaç

par sa valeur : — La

4m comprise entre la courbe et le ravon vecleur corres-

on a donc pour l'aire de la spirale

pondant à l'arc », l'expression

Si l'on prend pourunité le rayon r du cercle, sa circonférence € sera exprimée par 2r, et si alors on fait l'arc # égal à 97, on aura pour l'expression dela surface

entière Crom'm'm'm'zA, S = 7. Or, dans ce cas

comme il s’agit d'unités carrées, 7 représente la surface du cercle ; ainsi La surface de la spirale est le tiers de celle du cercle.

A s’agit simplement ici de la spirale de la première révolution où, comme on la nomme, de la première spire. Pour les autres spires, il faut remarquer qu’à chaque nouvelle révolution du rayon du cercle il repasse sur les aires tracées par les révolutions précédentes, de sorte que ces aires s'ajoutent les unes aux autres ; ainsi, si l’on demandait l'aire qui se termiue à la 72 ième révolution, il ne faudrait pas prendre l'intégrale depuis # = 0 jusqu'à v — 27, mais bien depuis v= (n—1).2r jusqu'à v — 7.97. On trouve de cette inanière

S = 5 — Fe

m désignant le nombre des spires. Ainsi , on a pour 2

spires, S = £r; pour 3, S — 3 T3 pour 4,