TURE

SYMÉTRIQUE. (Gcom.) Polyèdres symétriques. Nom donné par Legendre à deux polyèdres qui, ayaut une base commune, sont construits semblablement lun au-dessus du plan de cette base, l’autre au-dessous, avec cette condition que les sommets des angles solides homologues soientsitués à égales distances du plan de la base, sur une même droite perpendiculaire à ce plan. Ces polyèdres ont toutes leurs parties semblables en sens inverse comme un objet et son image vue dans un rniroir plan.

Deux polyèdres symétriques sont égaux en volume. (Foy. Legendre. Géométrie.)

Fonction symétrique. On donne ce nom, en algèbre, à toate fonction de plusieurs quantités dans laquelle ces quantités entrent d’une manière tellement identique, qu'on peut changer Jeur ordre ou les permuter l'une à la place de l’autre sans changer la valeur de la

fonction, Par exemple, si l’on a les quatre quantités

sY TE a, b,c, d indépendantes eutie elles, leur somme a + b Le + d, ja somme de les nuisances an + br Her L dr, ceile de leurs produits deux à deux ab+ ac + ad + le + bd +ed,etc., etc. sont des fonctions symétriques de ces quetre quautités.

Toutes les fonctions symétriques des mêmes quanütés ont entre elles des relations déterminées qui permettent de les exprimer les unes au movyen des autres, ce qui fournit plus'eurs théorèmes très-importans pour la théorie des équations. Nous aliens donner Ja déduction de celui de ces théorèmes qu'on peut considérer comme le fondement de la théorie des fonctions symétriques.

Soicnt m quantités a, b,c,d,e, etc. ; désignons d’une part par À, leur somme, par À, la somine de leurs produits deux à deux, par A;, celle de leurs produits trois à trois, elc., et en général par A, celle de leurs produits de p à w; désignons d'autre part par Si la somme de ces IèmeS quantités , par S, la somme de leurs secondes puissances , par 5, celle de leurs troisièmes puissances, etc., et en général par S4 ceile de leurs puissances du degré p.

Ceci posé, æétant une quantité variable quelconque, si nous formons le produit des g facteurs (1+ax), (14+bx), ({1+ex) , etc. nous aurons évidemment (voy. Murri-

PLICATION, 10) (i+ax).(1+bx).(14ex). (1 dæ)...ete. = = 14 A0 + À 7 + Asa + etc... .—+ Aux

Ainsi, désignant pour abrégerle second membre de

cette égalité par X et prenant les logarithimes naturels, LX = L{ibax) + L(i4-bx) + Lex) + etc.

Or, on & généralement, (voy. LocaniTumEs)

72 53 +. 75 PR TONNES TT Lis) — 3 Z + 3 PS etc.

ct, par conséquent , L{iax) == ax —- a + LA — Laixi + ctc.

à A ADS 4 I PRE 1 ñ px) = bx— - bar - bas — - bixi + etc.

L(ibx) = ba ! bar + gb + ; 1 — dd. è Lfitox)—=cx— -cx + Sox — 7 cat etc.

2 9 4 L(i+dx) —dx— dx . L'dixi + etc.

“ NES 2 3 4 etc. — etc.

La somme de ces logaridhmes sera donc égale à

; We DM RUE Ebuse 2s Si X— S,.x’+ > De L— > Die vit — SX? — ct 2 D 4 |

et l'on aura généralement