SY
Re I r à nie LX=S,.x — S,.x° +3 Ss.x— 7 Si.xi + etc.
2 4 égalité qui devient, en différentiant ses deux membres,
dx. .
XLR = Si S,.x + Six —S,.a HÆ S;.xi— etc.
Mais nous avons d’autre part, en remettant à la place de X le polynome qu'il représente et en effectuant la différentiation ,
dX
TL = A, HoA x Æ 3A,n1 Æ {Aix — etc.
Il en résulte donc définitivement
Art2A,xH3A,2tfAir +5 ,rietc.
1HA 2% A ,23H A 3x A ri bete. un
= S, —S5,.x +S;.x — Si.axi HS,.xi— etc.
Maultipliant le second membre par le dénomiuateur du premier etégalant ensuite les coefficiens des mêmes puissances de x, on obtient (a),
S, = AÀ,.S: — 2A
S, = A,.53 — À,.5, + A:.S; — 4A,; etc. — etc.
Ces expressions importantes ont été données pour la première fois, sans démonstration , par Newton dans
son Arüh. universelle.
: = 1 Si nous remplaçons, dans la polynome X , + par —, =
ct si nous égalons le résultat à zéro, nous aurons l’équa-
tion xM + Ati HA ,xt—2 Æ etc... LA, —o
dont les racines seront — &, —b,-—c, etc. Ainsi les expressions (a) fournissent les moyens d'obtenir successivement la somme des racines, celle de leurs carrés, celle de leurs cubes, etc. d’une équation dont les cocfficiens sont connus.
Toutes les autres fonctions symétriques que l’on peut former avec les y quantités a, b ,e,d,etc., s'expriment sans difficulté à l’aide des sommes de puissances Sr, S2, S3, etc. , d'où résulte le théorème que toute Jonction symétrique rationnelle et entière des racines d'une équation peut, sans que l'or connaisse ces racines , être évaluée au moyen des coefficiens de l'équation. Nous ne pouvons entrer dans les détails de cette théorie dont Lagrange a fait la base d’une méthode
SY pour obtenir l'expression théorique des racines des équations du troisième et du quatrième degré. Cette méthode, comme toutes celles connues jusqu'ici, échoue aux équations du cinquième degré.
En prenant à la place des quantités 4, b, c, d,etc.,
la suite des nombres naturels 0,1, 2,3 , etc, jusqu’à mR— 1, et en exprimant alors généralement Sy par Mn et Ay. par (my), on tire des expressions (a) les
relations
(ali) = Min), DOUTE M{m),.(mli) — Mi(m), 3(m13) = Mn),.(ml2) — M{n',.(mli) + Mn),
dont nous avons fait usage ailleurs. (Foy. Facurrés, 18.)
SYNERONE {de xpovos, temps, et de cw ensemble.) On se sert de ce mot en mécanique pour désigner les mouvemens qui s'exécutent en même temps et daus un mème intervalle de temps.
Jean Bernouillia nommé courbe synchrone une courbe telle que plusieurs corps pesans égaux entre eux, partant d’un même point et décrivant des courbes, arrivent aux difrérens points de celle-ci dans le même temps et dans le plus petit intervalle de temps possible.
(Voy. les actes de Leipsik, 1697.)
SYCHRONISME. Expression dont on se sert pour désigner l'identité du temps pendant lequel plusieurs choses se font,
SYNODIQUE. (45st.) Nom qu’on doune aux révolutions des planètes considérées relativement à leur conjonction avec le soleil; de sorte que le temps qui s’écoule entre une conjonction et la suivante s’appelle resolution synodique. La révolution synodique de la lune se nomme particulièrement mois synodique.
Cette expression vient du mot synode, de cvrodes , assemblée, qu'on donnait aux conjonctions des astres dans l’ancienne astronomie.
SYNTHÈSE. Méthode de raisonnement qui procède du connu à l'inconnu par voie de composition, au en partant des élémens pour arriver au composé. Elle est l'inverse de l'analyse qui procèdepar voie de décomposition en redescendant du composé aux élémens. (Foy.
