AB : BD :: AG : GC

Or, en désignant l'arc CB par x, nous avons BD=tangx,

sin æ, et, deplus, AB est le

AG = cos x, CG rayon du cercle que nous représenterons par r, la pro-

portion précédente est donc Ja même chose que

r : tangæ :: COSÆ : sinx d’où (a) : r,sin & ang X — — ë cos æ

En prenant le rayon du cercle pour unité, on a simple-

sin x ment tang © —

cos &° Les triangles semblables AEF, AHC fourniraient de la même manière

r,Ccosxr cot x —

sinx

Comparant ces expressions de la £angente et de la cotan-

gente d’un même arc, on en tire la relation générale

tangæ. cotx

Toutes les propriétés des tangentes dépendant de celles des sinus, nous renverrons au mot sinus pour la théorie de ces lignes.

Mérnope pes rancenrTes. C’est la méthode de mener des tangentes aux courbes, ou de déterminer la grandeur de la tangente et de la soutangente, lorsque l’équation de Ja courbe est donnée. De toutes ses découvertes en géométrie, celle que Descartes estimait le plus est la règle générale qu’il a donnée pour la détermination des tangentes des courbes. « C’est ici, dit-il, le problème le plus utile et le plus général, non seulement que jesache, mais même que j'aie jamais désiré de savoir en géométrie. » Ce problème sert en effet aux déterminations les plus importantes de la théorie des courbes , et la solution de Descartes, quoique remplacée aujourd’hui par les méthodes plus promptes et plus commodes fournies par le calcul différentiel, n’en doit pas moins marquer dans l’histoire de la science comme une invention trèsingénicuse, et d’ailleurs comme la première de ce genre.

La méthode de Descartes vant : soit AEN (pl. 58, fig. 1) une branche de courbe rapportée à l'axe AM. D'un point C de l’axe soit décrit

repose sur le principe sui-

un cercle qui coupe la courbe au moins en deux points, B et b, desquels les ordonnées communes à la courbe et au cercle seront BP et bp. Imaginons maintenant que le rayon de ce cercle décroît, son centre restant immobile; il est évident que les deux points B et D se rapprocheront et finiront par se confondre en E, lorsque le cercle ne fera plus que toucher la courbe à ce point. Alors le rayon CE mené au point de contact L, sera en même TOME I,

TA 521 temps normale à la droite qui serait tangente au cercle et à la courbe à ce même point E. Ainsi le problème de déterminer la tangente d’une courbe se trouve ramené à celui de trouver la position de la normale qu’on lui tirerait d’un point quelconque pris sur l'axe. Pour résoudre ce dernier, Descartes recherche d’une manière générale quels seraient les points d’intersection de la courbe avec un cercle décrit d’un rayon déterminé, et d’un point de l’axe comme centre. Il parvient à une équation qui, dans le cas de deux intersections, doit contenir deux racines inégales qui expriment les distances des ordonnées de ces intersections au sommet de la courbe, Mais si ces points d’intersection viennent àse confondre, alors les deux ordonnées se confondant, leurs distances deviennent la même, et l'équation doit avoir deux racines égales. Il faut donc déterminer les coeffciens de l'équation, de manière à ce qu’elle ait deux racines égales, et c'est à quoi Descartes parvient en comparant l'équation proposée avec une autre équation fictive du même degré, où il y a deux valeurs égales ; ce qui lui donne la distance au sommet de l’ordonnée abaissée du point de contact. Ceci une fois déterminé, le reste s'en déduit sans difficulté, comme nous allons le montrer par un exemple.

Soit ABEN une parabole ; désignant AC par a, AP par æ, et lerayon CB du cercle par r, nous aurons CP — a— x. Or, puisque l’ordonnée BP = y, appartient en même temps au cercle et à la parabole, on aura dans le cercle

fP=nr—CP=nr—(a— x) et dans la parabole

p désignant le paramètre de cette dernière courbe. On a donc aussi

1 (a — x} = pr

d’où, en ordonnant par rapport à «, on tire l’équation

a — (2a = px +a — 7 —=0

Cette équation, étant du second degré, admet deux valeurs pour +, qui correspondent aux distances A P et Ap; car nous aurions trouvé absolument la même chose en partant de l’autre intersection et en prenant l’ordonnée bp. Il s’agit maintenant de déterminer le rapport des grandeurs a, p, r, de manière à ce que BP se confonde avec bp, et que le cercle touche la parabole en dedans. Pour cet effet, formons une équation fictive du second degré, dont les deux racines soient égales entre elles, ce quise réduit à développer la puissance (x — ”) = 0, car l'équation qui en résulte æ? — 2x + m'=0n

Le Al 22 l'A évidemment ses deux racines égales à »2. Mais en comparant avec la précédente, on voit que celle-ci ne peut avoir ses deux racines égales, à moins qu’on n’ait les re-

lations 2m = 2a— p, et nn a — 7. La première

condition nous donne, à cause de x = m, 2x == 24 — p, d'Oùup = 2a—2%,eta—X—= Ep.

Or, par l'égalité des racines, x est devenu AQ, et conséquemment a — x = AC — AQ—CQ. Ainsi, dans la parabole, CQ, ou la sounormale, est égale à la moitié du paramètre. La valeur de la sounormale étant une fois connue, on en tire aisément celle de la soutangente, ainsi que les valeurs de la xormale et de la tangente. Quelle que soit la courbe proposée, on parviendra toujours, par ce procédé, à l'expression de la sounormale.

Outre cette méthode des tangentes qu'il a exposée dans sa Géométrie, Descartes en donne une autre, dans sa correspondance, dont les principes sont peu différens. Il conçoit une ligue droite qui tourne autour d'un centre sur l’axe prolongé de la courbe. Elle la coupe d’abord en un certain nombre de points ; mais à mesure qu’elle s'éloigne où se rapproche de Paxe suivant les circonstances, les poists d’intersection se rapprochent et coïncident ; enfin elle touche la courbe proposée, Pour déterminer la situation qu’a la courbe dans ce dernier cas, Descart-s procède à peu près comme dans sa première méthode. Il recherche d'abord l'équation générale, par laquelle cette ligne étant inclinée sous un angle donné avec l'axe, on trouverait ses points d’intersection avec la courbe. Ensuite, par le moyen d'uue équation fictive qui a deux racines égiles, il détermine cette inclinaison à être celle qu'il faut pour que la ligne soit taugente, Enfin il tire de là l'expression de la soutangente.

Une autre méthode des tangentes, non moins célèbre que celle de Descartes, est la méthode de Fermat, dans laquelle on a prétendu trouver l’origine du calcul différeutiel. Voici le principe sur lequel elle est fondée.

Si la ligne BD (PL. 58, fig. 2) est tangente à une courb2 ABBb, il est évident que toute autre 6rdonnée que BC,

comme dc par exemple, la rencontrera hors de la courbe . . . er) 4 Es .

en un point e, Ainsi le rapport de BC à ec, qui est le

- + | EE

même que celui de DC à De, sera plus petit que celui

de BC à Be, ou que celui de AC à Ac, en prenant une parabole pour exemple ; mais si l’on suppose que ce rapport soit le même, et que la distance Cc s’anéantisse, les points b et B se confondront, et l’on aura une équation qui, traitée de la même manière que dans la méthode des maœimis et minimis, donnera le rapport de CD à CA, ou de la soutangente à l’abscisse, Fermat, comme on le voit,

faisait dépendre sa méthode des tangeutes de sa méthode des maximis.

Les méthodes de Descartes et de Fermat recurent successivement divers perfectionuemens par les travaux de Sluze, Hudde, fluygens, etc., quenousne pouvons exposer ici. Cependant nous crovous devoir dire encore un mot sur la méthode des tangentes, de Brrow, dont l’aualogie avec la méthode que l'on tire du citcul ditféren tiel est beaucoup plus frappante que celle qu'on a prétendu reconnaitre entre cette méthode et la méthode de Fermat. Barrow considère le triangle différentiel QQ' (PI 59. fig. 19) formé par la différence »Q" des deux ordonnées infiniment proches PQ et PQ", leur distance Qm et le côté infiniment petit QQ' de la courbe. Ce triangle est semblable au triangle TPQ formé par l’ordonnée, la tangente et la soutangente, Il cherche donc, pour l'équation de la courbe, le rapport qu'ont ensemble ces deux côtés Qm et Q'm, ce qui lui fournit une équation de laquelle il tire Le rapport de la soutangente a l’'ordonnée, en népligeant les quautités iofinimeut petites.

Un exemple va faire comprendre ce procédé. Soit la courbe proposée une parabole dont l'équation est 3? — PT; désignons, comme Barrow, par e l'accroissement Qu, ou PP’ de Pabscisse AP = x, et par a Paccroissement correspondant Q'm de l'ordounée PQ = y. Or,y devenant y + a, et x devenant æ + e, l'équation de la parabole donne

J° +2ay + & = pr +pe Retranchant de cette dernière les termes égaux 3?—px, il vient 2ay + & = pe;

a étant infiniment petit, son carré a* peut être eutière-

ment négligé, et il en résulte simplement e 2y

d4V == -pe d'où 2 24ÿ = pe, d'ou = à

Mais le rapport des quantités a et e est le même que celui de l’ordonnée y où BP à la soutangente TP, donc

RE vd P ainsi

soutangente = << = —=— =

c’est-à-dire que dans la parabole, la soutangente est égale au double de l’abscisse,

Cette règle ne diffère évidemment de celle du calcul différeutiel que par la notation, car elle est représentée, en dernière analvse, par la formule

soutangente

TA ce qui est identique avec la formule différentielle

Fa dx +

soutangente —=

Il existe aussi une grande ressemblance entre la manière dont on prend la différentielle d’une quantité, et celle qu'emploie Barrow pour trouver le rapport des lettres e, a, et l’on ne peut s'empêcher de reconnaître qu'il a touché de très-près au calcul différentiel. Mais la nature des idées qui ont couduit Leibnitz et Newton à la découverte de ce calcul, ne permet pas de supposer qu’ils aient rien emprunté de Barrow.

Le problème des tangentes, considéré dans toute sa

généralité, dépend de l'expression (a)

Jdx soutangente =", —

(voy.SOUTANGENTE). Car en substituant dans cette expres-

Û (CE RE : on :

sion la voleur du rapport a tiré de l'équation de la dy

courbe, on obtient dans tous les cas la valeur de la soutangente. La grandeur de la tangente, comprise entre le point de contact et celui où elle coupe l'axe des x, est donnée par la formule (D)

tangente = y VAI + a dy?

ce dont on peut s'assurer facilement en remarquant (PL 59, fig. 11) que la soutangente TP, l'ordonnée CP ct la tangeute TC forment un triangle rectangle.

Nous allons donner quelques applications de ces formules.

1. L'expression (a)se rapporte à des coordonnées æ et y rectangulaires, et il faut lui faire subir une modification pour la rendre applicable aux courbes exprimées en coordonnées obliques ou polaires, si l'on ne veut transformer ces dernières coordonnées. Le cas des coordonnées obliques ne présentant aucune difficulté, nous nous contenterons d'examiner ici celui des coordonnées polaires.

Soit MN (PI. 58, fig. 4) une branche de courbe dont le pôle est en A, désignons par z un rayon vecteur quelconque, AO, et par v l’arc ZQ qui mesure la distance angulaire de ce rayon vecteur à l’axe fixe AZ. Prenons maintenant une droite quelconque AX pour axe des abscisses rectangulaires, et abaissons du point O, OP perpendiculaire à cet axe; le pôle étant pris pour origine, AP sera l’abscisse, et PO l’ordonnée du point O, nous désignerons ces droites à l'ordinaire par æ et y. Désiguous de plus par m2 l'arc Zn qui mesure la distance an-

gulaire de axe polaire AZ à l'axe des abscisses AX, ct

alors l'arc rQ, qui mesure l’angle PAO, sera représenté

par » — m. Ceci posé, le triangle rectangle APO nous fournit les deux relations (voy. TRriIGONOMETRIE)