OT’ = VIA + AT

z°.dv langenle = z\/ | 1 + ! | dz

Les signes dont les valeurs de la tangente et de la soutangente peuvent être affectées indiquent la position de ces lignes à la droite ou la gauche de l’origine.

3. Proposons-nous, pour exemple, de déterminer l'expression de la soutangente dans la spirale d’Archtmède. équation de cette courbe étant (voy. SrimaLE),

524 TA on en tire dv d: — us or

ce qui donne, en substituant cette expression de dz

dans (d),

soutangente = 7*,9r.

ou, encore,

soutangente = SA .

Ilrésulte de cette dernièreexpression que lorsquev—2r, c’est-à-dire, lorsque le point dont on demande la tangente est le dernier de la première spire, la soutangente est égale à 27 ou à la circonférence rectifiée du cercle circonscrit. Après un nombre de révolutions exprimé par m, l'arc v est 2m , et la soutangente devient omr , Cest-à-dire zx fois la circonférence 2m7, où fois la circonférence dont le rayon est 77. Comme nous avons pris pour unité le rayon du cercle circonscrit à la première spire, 217 exprime la circonférence du cercle circonscrit à la mime spire. Ainsi la soutangente du dernier point de la me spire est égale à 72 fois la circonférence du cercle qui embrasse les »2 spires. Cette belle propriété avait été découverte par Archimède.

4. La considération de l'angle que fait la tangente avec l’axe des abscisses, conduit à plusieurs particularités importantes que nous devons signaler; mais remarquons, auparavant, que la définition vulgaire de la tangente, savoir : une droïte qui touche une courbe en un point sans la couper, n’est exacte que pour les courbes du second degré, car dans toutes les courbes qui de concaves deviennent convexes , telle par exemple que la courbe MN (PI. 57, fig. 19), la tangente d’un point À peut très-bien couper la courbe en un point B et encore en d’autres points. La tangente doit donc être simplement définie: Ze prolongement de l'élément de la courbe, car en considérant le point de contact comme une ligne droite infiniment petite ou comme l'élément de la courbe, la tangente est en effet la droite qui coïncide avec cet élément. C’est pourquoi l'angle que fait.avec la tangente une droite menée au point de contact est pris pour l’angle de cette droite avec la courbe, et que l’on dit indifféremment que la normale est perpendiculaire à la tangente ou qu’elle est perpendiculaire à la courbe.

Dans le triangle rectangle CTP (PI. 57, fig. 11) formé par la tangente CT, la soutangente TP et l’ordonnée CP, l'angle T de la tangente avec l’axe peut toujours être obtenu à l’aide des relations qui existe entre les côtés. On a d’abord

TA lsstansl:: TP CP

tang. désignant la tangente trigonométrique del’angle T. Cette proportion donne CP

tang T — TP

et, comme SLR dy d TP Cm dx'

il en résulte qu’on a généralement pour l'expression de la tangente trigonométrique de l'angle fait par la tangente d’une courbe avec l'axe des x dy tanpT—", 6 dx

expression qui pour toutes les valeurs de x ou de y fait counaitrel’angle T.

5. Parmi les diverses valeurs que peut admettre l'angle T, les plus remarquables sont celles qui répondent aux cas où la tangente est perpendiculaire ou parallèle à l’axe des abscisses. Dans le premier, l'angle T étant droit sa tangente trigonométrique est infiniment

dx dans le second, l'angle T est nul et sa tangente trigone , dy 2 nométrique est zero ; On a donc alors —10, d'ou

dy = 0.

Ainsi, pour déterminer le point d’une courbe dans lequel la tangente est perpendiculaire à l’axe des x , il faut tuer de son équation la valeur de dx et l’égaler à zéro , ce qui fournira une équation qui fera connaître l’abscisse ou l’ordonnée de ce point. En égalant de la même manière à zéro la valeur de dy tirée de l’équation de la courbe , on déterminera les coordonnées du point où la tangente est parallèle à l’axe. Prenons pour exemple le cercle dont l'équation rapportée à l’extrémité d’un diamètre est