L’équation générale d’une ligne droite étant (voy

APPLICATION, 11, 6), y =ax + b

Si nous voulons lui faire exprimer la condition que la droite touche une courbe quelconque en un point dont les coordonnées sont x’, y', il faudra remarquer qu’à ce point cette équation devient

A = ax + b ; et, en outre, que la tangente trigonométrique a doit être égale à

' pour que la droite soit tangente. Les

conditions du contact sont donc

' dy" ou en déduit (f) r__ dy | pr = À (es

Telle est l'équation de la tungente.

On tire immédiatement de l'expression (f) l'équation de la normale, car cette dernière ligne étant perpendiculaire à la tangente au point x'y' son équation est (voy. Arrz. Il, 15), (g),

, dx ; A (x—x').

L'emploi des équations (f) et (g) est souvent plus commode que celui des expressions qu'on pent tirer des formules générales (a) et (b) ci-dessus, et des formules de l’article Souvonmaze. Eu y faisant y — 0, pour

TA

déterminer l'intersection des droites avec l’axe des x,

on obtient pour la tangente

'ax' gg =) F dy et pour la normale, "dy x— x Er dx

Or, pour interpréter ces résultats, remarquons, dans la figure 11, PI. 57, que l'abscisse æ , de la tangente, au point d'intersection T est AT, quantité qui doit être prise négativement , parce qu’elle est à la droite de

l'origine A, tandis que l’abscisse æ' du point de contact

Cest AP ; ainsi x—x' = — AT— AP—— PT, d'où ‘d: " PT ou soutangente — Léa dy

Quant à la normale, l’abscisse + de son point d’intersection avec l'axe est ici AD , tandis que l'abscisse x’ du point de contact est toujours AP, nous avons donc æ—x — AD — AP — PD, d'où

y'dy'

PD ou sounormale — + Ces expressions de la soutangente et de la sounormale sont identiquesavec celles que nous avons précédemment trouvées.

8. Les équations (f) et (g) sont particulièrement utiles dans les cas où l’on peut se proposer, soit de mener une tangente à une courbe d’un point donné hors de la courbe , soit de mener une tangente assujétie à certaines conditions, comme d’être parallèle à une droite donnée de position , ou de faire un angle donné avec l'axe des x, etc. , etc. En général, toutes les fois qu'il s’agit de déterminer le point de contact et non de partir de ce point, l'emploi des équations est plus direct et plus élégant que celui des expressions de la soutangente et de la sounormale., Nous avons montré ailleurs comment on tire de ces équations le moyen de déterminer les asymptôtes des courbes. (/’oy. Asymrrrôes.)

MÉTHODE INVERSE DES TANGENTES. On désigne sous ce nom la méthode de trouver la nature ou l'équation d’une courbe par quelqu’une de ses propriétés, comme par le moyen de sa soutangente, ou de sa tangente, ou de sa normale, etc. La première question de ce genre fut proposée par Beaune, l'ami et le commentateur de Descartes. Comme sa solution dépend généralement de l'intégration d’une équation différentielle du premier ordre, les premiers géomètres qui se sont occupés de ces équations avaient appelé méthode inverse des tan-

gentes , la partie du calcul intégral dont elles sont

l’objet ; mais cette dénomination vicieuse n’est plus en usage, Nous allons développer, dans quelques exeniples, les artifices de calcul à laide desquels on peut remonter à l'équation d’une courbe quand on connaît seulementune de ses propriétés caractéristiques.