Trouver la courbe dans laquelle la sounormale est

une quantité constante égale à m.

; 3 Ve : «dy L'expression gévérale de la sounormale étant TOY : i dx posons Nous en tirerons mdx — ydy, et, eu intégrant, mx , »

= +, où 32 = 2mx. La courbe est douc encore une parabole dont le paramètre est on.

3. Trouver la courbe dont la normale est constante et égale à n.

Eu égalant n à l'expression générale de la normale

(vu. SounonuaLrE) , on a

équation dont on Lire

ydy dx = = Ve — 7] et = # = Jydn—p) =(e—-y) ou, définitivement, J'=nr —xt, équation d’uu cercle dont le rayon — 7.

4. Trouver la courbe dans laquelle la différence en- : la sounormale et l'abscisse est constante et = a.

TA La condition demandée étant exprimée par ydy

in — Ta;

nous en tirerons Jdÿ = adx + xdx,

et, en intégrant,

Lt x 3) —ax+ix, ou

—=2ax + x,

équation d’une hyperbole équilatère rapportée au sommet et dont l'axe — 24.

5. Etant donné une infinité de paraboles coniques : AM, Am, etc. qui ont toutes leur sommet au point À, (PI. 57, fig. 18) mais dont des paramètres sont dlifférens, trouver une courbe ON qui les coupe toutes perpendiculairement.

Menons une taugente TO à la parabole AM, au point d'intersection O, et de ce même poiut une tangente OQ à la courbe demandée. D'après la nature da problème, QO sera normale à la parabole AM, et la coutangeute TP dela parabole sera en même temps sounormale de la courbe cherchée. Or la soutangeute d’une parabole est égale au double de l’abscisse, ainsi il ne s’agit plus que de déterminer Ja courbe ON dout la sounormale soit égale à 2x. Mais TP étant pris en sens inverse de PQ, nous ferons 2x négatif et nous poserons

d'où ydy + 2xdx = 0.

fntégrant, nous aurons tac

c désignant une constante arbitraire.

Cette expression mise sous la forme (k)

nous montre que la courbe cherchée est une ellipse dont c est le carré de la moitié de l'axe des æ, et dont le carré de la moitie de l’autre axe est double de c. Nous u’avons considéré qu'une seule des paraboles, maisil est évident que la courbe de l’équation (4) les coupe toutes de la même manière.