tang. H

d’où nous tirerons

__ ED. tang H + tang À “ie

D'autre part, le triangle CBE , nous donne BC: BE :: sin CEB : sin ECB

Mais CEB est le complément de l'angle horaire H, et comme l'angle CBE est la déclinaison du plan vertical, nous avons J ECB — 180° — CEB -- CBE — 180° — (90°—H) — d= Go° + H—9, conséquemment la proportion c- | dessus est la même chose que

GN BC : BE :: sin (90°—H) : sin (90° + H — 5) :: cos H : cos (H—5) d’où nous avons

__BE. cos ” cos(H—0)

substituant dans cette valeur de BC celle de BE trouvée ci-dessus , elle deviendra

__BD.tang H. cos IH 7 tang à. cos(H—9)

ce qui nous donnera

BC sin H BD ” tang À. cos(H—5)

en remarquant que tang H. cos H — sin H.

Maintenant le triangle CBD , rectangle en B, nous

fournit I Te HE BD EMBC d’où tang H' — et, définitivement (1) sin H

ang Hot".

& tang À. cos(H—0)

Cette expression nous donnera les valeurs des angles ho-

raires du cadran vertical, en y substituant à la place de

H les valeurs angulaires des angles du cadran horizon-

tal, lesquelles sont données par la formule (2)

tang. H = tan h. sin à

h étant l'heure comptée à partir de midi etconvertie en degrés de l’équateur à raison de 15° par heure. (Voyez ci-dessus, 4.)

Daws cette construction nous n'avons considéré que Ja moitié du plan du cadran , celle qui reçoit les ombres après-midi; pour rendre la formule applicable à l’autre moitié, car ici les deux moitiés du cadran ne sont plus semblables, il faut faire H négatif, ce qui donne

sin H

E . = Qt ee ——— lang. H tanp À. cos(H+0)

le signe négatif de tang H' indique que l'angle H' doit être pris sur le cadran à l'occident de la méridienne. En faisant tourner le plan vertical autour de sa ligne équinoxiale M'N' jusqu'à ce qu’il soit rabattu sur le plan horizontal , on trouve sans difficulté la construction graphique que nous allons exposer. Soit D (PI. 4r, fig. 6) Tome 11,

le centre du cadran vertical et BD la méridienne verticale ; menons arbitrairement une droite M'N' perpendiculaire à BD , et par le point B menons une autre droite MN qui fasse avec M'N' un angle MBM' égal à la déclinaison du plan vertical. Du point B élevons sur MN une perpendiculaire indéfinie BA , elle représentera la méridienne du cadran horizontal. Pour trouver le centre de ce dernier, faisons au point D un angle BDA' égal au complément de la latitude et portons la distance BA’ de Ben A, A sera le centre du cadran horizontal. Il ne s’agit donc plus que de décrire ce cadran par le procédé donné ci-dessus (4), en prenant A pour centre et AB pour méridienne, et les intersections de ses lignes horaires avec l’équinoxiale M'N' du cadran vertical nous donneront les seconds points cherchés des lignes horaires de ce dernier. Mais pour nous servir des constructions déjà faites , abaissons du point B sur DA' la perpendiculaire BE , et portons la longueur BE de Ben P, P sera le centre du cadran équatorial à l’aide duquel il faut construire le cadran horizontal. Décrivons donc le demi-cercle QBS , et divisons-le en douze parties égales ; faisons passer des rayons par tous les points de divisions, enles prolongeant jusqu’à l’équinoxiale MN du cadran horizontal. Achevons ensuite ce cadran comme cela est indiqué dans la figure ; les ligues horaires, ou leur prolongement, rencontreront M'N' en des points IX, X, XI, I, IT, etc. Enfin menons du point D une droite à chacun de ces points, etle cadran demandé sera construit.

11. Un objet préalable important , soit qu’on veuille se contenter de la construction graphique , soit qu’on veuille calculer les distances angulaires des lignes horaires à la ligne de midi, par les formules (1) et (2), c’est de connaître avec exactitude la déclinaison du plan vertical. Nous allons indiquer un moyen très simple d'arriver à cette connaissance. L’axe AC (PI. 41. fig 1.) étant établi, on sait qu’il doit toujours être dans le plan du méridien et dans la direction de l’axe du monde, par la pointe € de cet axe, on mènera une horizontale CD, et l’on marquera le point D où elle rencontre la méridienne À XII; cette dernière est donnée dans tous les cadrans verticaux par la direction d’un fil à plomb suspendu au centre À du cadran. Par ce point D, on mènera dans le plan du cadran une horizontale MDN, sur laquelle on marquera deux points M et N également distans du point D. Cela fait, on mesurera avec le plus grand soin tous les côtés des triangles MCD, DEN, et dans chacun d’eux on calculera l'angle en D. Dans tous les cas, ces deux angles doivent être supplémens l’un de l’autre , ce qui sert à vérifier l'opération; s'ils sont tous deux droits , le plan est sans déclinaison ou directement méridional ; s'ilssont inégaux, leur différence est égale à la déviation du plan dû cadran.

GN 12. Lorsque la déviation du plan du cadran est égale à 90°, ce plan se confond alors avec celui du méridien

et le cadran prend le nom d’ortental ou d'occidental, selon qu'il est tracé sur la face qui regarde lorient, ou Sur celle qui regarde l'occident. La construction est la mème dans les deux cas.

Eci, le plan du cadran contenant l’axe ne peut recevoir sonombre , et l’on doit établir cetaxeen dehors et parallëlement au plan. Soit, donc pris à volonté un point A (pl. 13, fig. 4); on mènera d’abord dansle plan unehorizontale indéfinie AB, etensuite une droite AK qui fasse avec celle-ci un angle égal à la latitude du lieu. D'un point quelconque D on élèvera sur AK une perpendiculaire EDC, elle représentera ‘axe du monde. Au point D on élèvera une verge ou faux style d’une longueur de quelques pouces, et à son extrémité on fixera le vrai style en l'inclinant parallèlement à EC. Ceci posé, on prendra DE égale à la longueur du faux style, et par le point Æ on mènera EG parallèle à AK, ce sera l’équinoxiale. Du point D comme centre , avec DE pour rayon , on décrira une circonférence EKC , dont on divisera la moitié inférieure en douze parties égales, et par chaque point de division on mènera unrayon qu'on prolongera jusqu’à sa rencontre avec l’équinoxiale EG. Par tous les points ainsi trouvés sur l’équinoxiale, on mènera des droites parallèles à EC, ces droites seront les lignes horaires demandées. EC est la ligne de six heures, c’est-à-dire qu'il est six heures du matin ou du soir lorsque l'ombre du style coïncide avec EC. Il est facile d’après cela de connaître quelles sont les heures indiquées par les autres lignes.

Le cadran oriental ne peut servir que depuis le matin jusqu'à midi, etle cadran occidental que depuis midi jusqu’à la nuit. Dans ces deux cadrans, les lignes horaires sont toutes parallèles entre elles et à l'axe du monde, parceque cet axe étant l'intersection commune de tous les plans horaires , et étant d’ailleurs parallèle au plan donné , les intersections des plans horaires avec celui-cine sauraient rencontrer l’axe et lui sont aussi nécessairement parallèles, On peut donc se rendre aisément compte de la construction que nous venons de donner.

13. Cadrans inclinés. On nomme généralement ainsi tous les cadrans dont le plan fait un angle quelconque avecde plan de l'horizon. Dans ce sens, le cadran équatorial et tous les cadrans verticaux sont des cadrans inelinés. Si l'intersection du plan du cadran avec l'horizon:est une droite qui passe par les points d’orient et d’occident, le cadran est simplement incliné; dans tous les autres casle cadran est ditincliné et déclinant.

La construction d’un cadran incliné ne présente pas plus de difficulté que celle d’un cadran horizontal ; il faut seulement substituer dans la formule

tang L' = tang A. sin À

Sin( a+ i),à la place de sin à, z étant l’inclinaison du plan, que l’on mesure à Vaide d’un quart de cerclé gradué; et, dans la construction graphique (pl. 41, fig. 3) faire l'angle BAD égal à à + 5. Le style doit faire aussi avecla méridienne du cadran un angle égal à À + à. Toutes ces conditions sont assez évidentes pour qu'il suffise de les énoncer. E

14. Il est cependant un cas remarquable que nous devons examiner, c’est celui où le plan donné passe par les pôles du monde, c’est-à-dire lorsque son inclinaison est égale à la latitude. L'axe se trouve alors compris dans le plan et toutes les lignes horaires lui sont parallèles. Le cadran tracé sur ce plan prend le nom de c4dran polaire. I y en a de deux espèces ; s'ils regardent ie zénith, on les nomme polaires supérieurs, et s'ils regardent le nadir, polaires inférieurs. Les premiers marquent les heures depuis six heures du matin jusqu’à six heures du soir, et les derniers les heures du matin jusqu’à six heures, et les heures du soir depuis six heures jusqu'au coucher du soleil. Leur construction est la même ; la voici :

Sur le plan du cadran menez une droite horizontale AB (pl. 13, fig. 3 )et ayant pris CE pour méridienne,: d’un point D comme centre , avec DE pour rayon, décrivez un quart de cercle DGE. Divisez ce quart de cercle en six parties égales et du centre D, menez par les points de division les droites Dr, D2, D3 ,etc., qui rencontrent l'horizontale AB. Portez les intervalles Er , E2, E3, etc., de l'autre côté de.CE,..et par tous les points de division élevez des perpendiculaires à AB, elles seront les lignes horaires. Enfin élevez en D un style perpendiculaire au plan Au cadran et égalaa rayon DE ; ou sur deux faux styles égaux à DE, et placés perpendiculairement l’un en E ct l’autre en C, placez une règle parallèle à CE; son ombre marquera les heures en tombant sur les ligues horaires marquées 1, DD MELC ;

Daos le cadran polaire inférieur, on supprime les heures d'avant midi,9,10 et 11, et celles d'aprèsmidi 1, 2,3, etc.; l’on ne conserve que les heures 7 et8 du matin et 4 et 5 du soir, qui deviennent les heures 7 et8 du soir et { et 5 du matin en retournantle cadran.

15. Cadran incliné et déclinant. C'est ici le cas le plus compliqué et le plus général de la gnomonique plane : cependant nous en obtiendrons la solution sans avoir re-

cours à d’autres principes que ceux qui nous ont guidés |

jusqu'ici.

Soient (pl. 42, fig. 3)

demandé, MN son équinoxiale et DD' son axe. Prolon- .

geons cetaxe jusqu’au plan horizontal, que l’on peut con: cevoir passer par MN, et prenons le point À, où il ren:

DB'la méridienne du cadran ?

contre ceplan, pour centre d’un cadran horizontal dont M'N', mené perpendiculairement à la méridienne AB par le point B, et dans le plan horizontal, sera la ligne équinoxiale. Une ligne horaire quelconque AE du cadran horizontal coupera l'équinoxiale MN du cadran éncliné et déclinant en un point C qui déterminera la ligne horaire correspondante DC de ce dernier cadran. Il ne s’agit donc plus que de calculer l'angle CDB. Or, désiguons l'angle DAB ou la latitude du licu par à, l'angle MBM' ou la déviation du plan donné par d'et enfin l'angle ABD ou linclinaison du plan par 7; désigaous de plus par H l'angle horaire BAE et par H'son correspondant CDB. Ceci posé, le triangle ADB nous donne

AB : BD :: sin(180—à—1) : sin à ::

et le triangle ABE

Sin(A+i): sin À