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luer Euler, Lagrange et Laplace vinrent ensuite généraliser de plus en plus la question en apportant les moyens puissans de calcul dont ils ont enrichi la science, et nous pouvons dire que tout ce qui était alors humainement possible a été fait par ces illustres géomètres. Mais malgré tant d'efforts le problème demeure encore sans solution, car les données physiques manquent complètement, et aucune des hypothèses aveclesquelles ona voulu l’attaquer n’est revêtue d’une probabilité assez élevée pour qu’on puisse s’y abandonner avec confiance. Pour être traité d’une manitre directe et rigoureuse , ce problème exigerait qu’on connût la nature des forces élémentaires et primitives de la matière, ainsi queles lois que suivent ces forces dans leur équilibre pour coustituer lestrois états distincts de gazéite, de fluidité et de solidité sous lesquels la matière nous apparait; sans cette connaissance, toutes Îles tentatives que l’on voudrait faire dans le but de reconnaitre et d’expliquer la forme des corps célestes en général et de la terre en particulier pe pourront jamais conduire qu’à des résultats hypothétiques dont l’expérience seule peut constater le plus ou le moins de valeur, puisque la construction de ces corps, par l'équilibre de la matière, dépend évidemment de la construction de la matière elle-même. Nous devons donc plus particulièrement jusqu'ici nous

TE en tenir, pour l'évaluation de l’aplatissement de la terre, aux résultats de la mesure des degrés du méridien et des observations du pendule, et adopter le nom-

bre -=

=, comme celui qui représente le mieux cet apla-

tissement.

Quoique le nombre ,!, soit assez considérable lorsqu'il s’agit des dimensions absolues du globe terrestre, il est presque impossible d’en tenir compte dans la construction des sphères qui servent à le représenter, car pour un sphéroïde dont le demi grand axe aurait , par exemple, 6 décimètres, l'aplatissement ne serait que de 2 millimètres, et une si petite quantité serait entièrement insensible à la vue, si l'on parvenait à la représenter avec exactitude. Il en est de même, à plus forte raison, des montagnes dont la plus hautene dépasse pas de beaucoup, en ligne verticale, la longueur d’une lieue marine de 20 au degré; le diamètre de la terre contenant environ 2292 de ces lieues, on ne pourrait représenter une telle montagne sur un globe de 6 décimètres de diamètre que par une saillie à peine sensible au toucher , mais entièrement insensible à l'œil, On peut donc continuer à représenter la terre par une sphère parfaite, car les aspérités de sa surface comparées à son volume sont beaucoup moins considérables que les petites aspérités qui se rencontrent sur la peau d’une orange.

Si le problème de la figure de la terre est encore compliqué de difficultés insurmontables, il n’en est pas de même des questions relatives aux mouvemens dont ce globe est animé. Ici la marche de la science est certaine, ses procédés sont rigoureux et la théorie et les faits viennent se prêter un mutuel appui. Nous savons eufin que la terre n’est pas immobile au centre de l’Univers, comme on l’a cru pendant si long-temps, mais qu’elle est douée de deux mouvemens distincts dont l’un, sous le nom de mouvement diurne, est une rotation sur son axe qu’elle effectue en 23! 56 4", et dont l’autre, sous celui de mouvement annuel, est une révolution autour du soleil qu’elle accomplit dans la durée d’une année. Les diverses particularités de ces mouvemens ayant été déja l’objet de plusieurs articles, nous devons nous borner ici à en présenter le résumé.

La terre décrit autour du soleil une ellipse dont il occupe l’un des foyers, et qui est située dans le plan de lécliptique. Ce mouvement est prouvé théoriquement comme une conséquence nécessaire des lois de la gravitation universelle (voy. Arrracrion et Graviré), et il se manifeste empiriquement dans le phénomène de l’aberration de la lumière ( voy. Asrrrarion ). Sa durée périodique, qui détermine celle de l'année, est de 3651 54 48° 51"; pendant ce temps le soleil, par une illusion optique, nous parait parcourir l’écliptique d'Occident en Orient,

La moyenne distance de la terre au soleil ‘étant supposée de 100000 partiss, l’excentricité de son orbite, c'est-à-dire, la distance d’un des foyers de l'ellipse à son centre, est de 1679 de ces paities (voy. Excenriicrré); ainsi lorsque la terre est à sou aphélie, où au poiut de son orbite le plus éloigné du soleil, sa distance de cet astre est de 101679 parties, et lorsqu'elle est à sou périhélie elle en est distante de 98321 de ces mêmes parties. Sa plus grande distance est donc à sa plus pelite à peu près comme 30 est à 29.

Le mouvement de rotation de la terre sur son axe s'effectue d'Occident en Orient dans un intervalle de 23h 56" 4". Comme dans cet intervalle la terre s'est avancée sur son orbite et que sa situation a changé par rapport au soleil, un même méridien terrestre ne se retrouve coïucider avec le soleil qu'après une rotation eutière plus une petite partie de la rotation suivante, de sorte qu’en rapportant au soleil la rotation de la terre sur son axe, la durée de cette rotation est de 24 heures. C’est ce mouvement qui produit l'illusion d’uu mouvement en sens inverse du soleil, des planètes et des étoiles fixes. Dans son double mouvement de rotation et de translation, la terre conserve toujours son axe dans une même direction : on nomme cette circonstance le parallélisme de l'axe de la terre. La rotation de la terre se manifeste dans l'expérience par la diminution de la pesanteur à l’équateur et par la déviation de la chute des corps, (Foy. DÉviaTioN.)

Le centre de la terre ne quitte jamais le plan de l’écliptique avec lequel son axe fait un angle de 20 degrés et demi. Cette inclinaison étant constante, du moins à fort peu de choses près, il en résulte que le soleil ne répond jamais perpendiculairement deux instans de suite au même point de la surface de la terre. C’est ce qui occasioune le changement des saisons , ainsi que nous allous le faire voir.

La terre, dans sa révolution aunuelle autour du s0leil, ayant son axe de rotation AB (PI. 54, fig. 12) incliné sur le plan de l’écliptique, a son mouvement de rotation dans le plan de l’équateur EQ , de sorte que chaque jour le soleil doit paraitre décrire un cercle parallèle à cet équateur. Mais ces cercles changent continuellement , car lorsque la terre est en Y, le soleil répond perpendiculairement à l’équateur et semble ce jour-là décrire l'équateur lui-même, tandis que, lorsque la terre est en Y, le soleil répond perpendiculairement au cercle du tropique MN, qu'il doit alors paraitre décrire. Dans les positions intermédiaires de la terre, le soleil semble parcourir des cercles intermédiaires entre l'équateur et le tropique. De & à 2 l'effet est tout opposé; le soleil, après avoir paru décrire le tropique MN, décrit chaque jour un cercle quise rapproche de l'équateur jusqu’à ce que, la terre étant en >, il répond

de nouveau perpendiculairement à l'équateur. Deen % les cercles décrits sont entre l'équateur et l’autre tropique TC, qui semble être décrit le jour où la terre arrive au point %. Enfin de % en Y le soleil répond successivement aux cercles intermédiaires entre TC et EQ , et lorsque la terre, après une révolution, est de retour dans le signe du bélier, l'équateur semble être de nouveau décrit par le soleil.

Dans les deux positions extrêmes où le soleil répond perpendiculairement à l'équateur, la durée du jour est égaleà celle de la nuit; dans toutes les autres ces durées sont inégales. L’inspection de la figure montre que les plus grands jours ont lieu pour un hémisphère lorsque lesoleilrépond à son cercle tropique. Dans nos contrées, le printemps commence lorsque la terre est dans la b1lance, et que par conséquent le soleil nous paraît dausle signe du bélier. Il en est de même pour toutes les autres saisons , la terre se trouve réellement dans le signe opposé diamétralement à celui quelesoleil paraît occuper. La distance de la terre au soleil n’influe en aucune manières sur la chaleur des saisons , car c’est pendant l'hiver que la terre parcourt la partie de son orbite où se trouve le périhélie.

Voyez, pour tout ce qui a rapport à la terre, les mots Précession, Nuration, PErTungariox, ANNÉE et SOLEIL. Quant aux ouvrages que l’on doit consulter au sujet de la détermination de sa figure, voici la liste des principaux : Maupertuis, de La figure de la terre. Bouguer, Jigure de la terre. La Condamine, mesure des trois premiers degrés. Cassini, méridienne de Paris vcrifiée. Clairaut, théorie de la figure de la terre. D'Alembert , recherches sur différens points du système du monde. Lagrange, Mém. de Berlin, 177%. Laplace, mécanique céleste.

TETE pu pracon. (4st.) Nom que l'on donne au nœud ascendant de la lune ; on l'exprime par le caractère Q.

TÉTRAGONE. (Géom.} Polygone de quatre côtés ; on le nomme plas communément guadrilatère. (Foy. ce mot.)

TÉTRAËDRE. (Gcom.) C'est un des cinq solides réguliers. Il est compris sous quatre faces qui sont des triangles équilatéraux égaux. (Voy. Pozxèpre et Récu- LIER.)

TÉTRAPASTON. (Méc.) Nom que les anciens donnaient à une machine composée de quatre poulies. (Foy. Pour.)

THALES (de Milet). C’est à l’époque de la fondation de l’école ionienne, où ce célèbre philosophe exposa ses doctrines et ses travaux , qu’il faut placer le com-

TH mencément de la première période de l’histoire authentique de la science, et celle des développemens rationnels de l'esprit humain; les connaissances vagues, les notions incomplètes que pouvaient posséder , avant ce temps, quelques nations, dont on a voulu reculer le berceau et la civilisation dans un passé sans limites ne constituaient point la science. Il fallut, pour mériter ce nom aux premières tentatives de l'intelligence, qu'elles fussent vivifiées et agrandies par le génie brillant de la Grèce. Thalès doit l’immortalité acquise à son nom à ses heureux et nobles efforts pour initier sa patrie à ce grand mouvement des idées qui, depuis lui, n’a pas cessé d’agiter le monde et de guider l'esprit humain de découvertes en découvertes,

Les historiens de l'antiquité et Diogène Laërce, qui fut spécialement le biographe de Thalès, fixent l'époque de la naissance de ce grand homme à l’an 640 avant J.-C. Suivant un grand nombre d’historiens, ce père de la philosophie grecque était Phénicien et ne vint à Milet, qu'étant déja avancé en âge, mais le nom de cette dernière ville est demeuré attaché au sien, et nous nous conformons à l’usage, car ceci est fort important pour Fhistoire de la science, à laquelle Thalès appartient spécialement. Son esprit ardeat et appliqué à l'étude des grands phénomènes de la nature lui fit prendre en pitié, dit-on, les connaissances qu'il était possible d'acquérir dans son pays, et il résolut d'aller chercher en Egypte des enseignemens plus élevés et plus dignes de son génie. Ce qu’on a dit de Thalès, où l'a dit depuis de Pythagore et de Platon. Mais il est au moios extraordinaire que ces hommes, divinités par la Grèce, dans son poétique enthousiasme pour les nobles et grandes choses qu’ils lui révélèrent, rapportèrent tous de l'Egypte un savoir que les prêtres si savans de ce pays n'avaient pas même acquis plusieurs siècles après. En effet, Plutarque rapporte que le roi Amasis fut dans l'admiration de voir Thalès mesurer les pyramides ou les obélisques par leur ombre, c’est-à-dire, probablement par le rapport qui existe entre les corps verticaux et leur ombre projetée sur un plan horizontal. Cette opération, dit l'historien des mathématiques, est la première ébauche connue de cette partie de la géométrie qui mesure les grandeurs inaccessibles par les rapports des côtés des triangles. Thalès était donc, au moins sur ce point, plus avancé que ses maîtres, Pythagore rapporta du même pays des idées sur le mouvement de la terre que, plus de mille ans après, Ptolémée n’annonça en passant dans l’Almageste que comme une vieille erreur de l'astronomie des Grecs, et dont l'Egvpte s'était toujours bien gardée. Platon, qui appréciait les connaissances mathématiques, n’était pas lui-même un grand géomètre, dans le sens pratique de l'expression ; mais it révéla à

l'Egypte un grand nombre de problèmes géométriques

TH enseignés depuis long- temps dans les écoles de la Grèce.

Quoi qu’il en soit de cette particularité historique sur laquelle nous avons insisté à de-sein dans plusieurs articles de ce dictionnaire, ce n’est du moins qu’au retour de ses voyages que Thalès fonda l'école d'Touie, dont l'étude des mathématiques prenait le principal enseignement. Ea faisant l’histoire spéciale de chaque branche de la science, nous avons eu soin de remonter à l’origine des connaissances et des premières recherches dont elles furent l’objet , et nous avons par conséquent mentionné la part qne ces travaux de Thalès eurent à leur production ou à leur perfectionnement. (Foyez ECOLE D'ALEXANDRIE, ARITHMÉTIQUE,ASTRONOMIE. GÉOME- TRE, etc.) Thalès n’a point laissé d’écrits ou plutôt ceux qu’il a dûcomposer n’ont pu traverser l’abîme des temps et venir jusqu’à nous. On lui a attribué, peut-être avec raison , la plupart des doctrines principales qui furent enseignées après lui dans l’école dont il fut le fondateur, doctrines parmi lesquelles il faut distinguer la géométrie, plusieurs découvertes sur les propriétés du triangle et du cercle, et en astronomie la sphéricité de la terre et la vraie cause des éclipses de lune et de soleil. Thalès mourut dans un âge fort avancé, durant la

LVITI olympiade.

THÉODOLITE, (Géodeésie.) Instrument dont on se sert pour mesurer les argles dans les opérations géodésiques. Son nom à été formé de #:owa voir, et de odos distance.

Il existe plusieurs espèces de théodolites, mais tous ces instrumensse composent en général d’un cercle gradué sur lequel tourne une alidade sui montée d’une lunette. Cette lunette est disposée de manière à pouvoir s'élever ou s’abaisser, et la qiantité dont sa direction diffère de celle de la ligne horizontale se trouve indiquée sur un demi-cercle vertical. De cette manière , lorsque l'instrument est placé dans le plan de l'horizon, on peut mesurer tous les angles horizontaux et verticaux. La figure 7 de la planche 46 représente un théodolite.

THÉODOSE, géomètre célèbre de l'antiquité , né dans la Bithynie, suivant Vossius, dont l'opinion a été adoptée par tous les historiens de la science, est aussi nommé quelquefois Théodose de Tripoli , et confondu ainsi avec un philosophe sceptique de ce nom, qui vivait à la fin du dixième siècle de notre ère. Théodose le géomètre, contemporain des astronomes Sosigènes et Géminus de Rhodes, existait ainsi cinquante ans avant l'ère chrétienne, Parmi ceux de ses travaux qui sont venus jusqu'a nous, on doit citer un Traité de la sphère, qui a conservé à son auteur un rang distingué dans l’histoire de la science, Cet ouvrage est divisé en trois livres,

TH 540 dont les deux premiers offrent un exposé systématique des vérités trouvées avant Théodose dans cette branche de la science. Le troisième livre renferme plusieurs propositions fort remarquables, et d’une difficulté assez grande pour qu’elles aient été l’objet des commentaires de Pappus, Montucla regarde cet ouvrage de Théodose comme un des plus précieux monumens de la géométrie ancienne, Un astronome moderne en porte un jugement fort différent et très-sévère. Cependant le Traité de La sphère de Théodose a été long-temps un ouvrage classique en astronomie; traduit en arabe, il fut traduit ensuite de cette langue en latin par un géomètre italien et imprimé à Venise en 1518. Le texte grec a été publié, avec une version latine, par J. Pena, mathématicien français, et imprimé à Paris en 1558. Cet ouvrage a été successivement l’objet d’une étude sérieuse de la part de Maurolycus, de Clavius, du père Mersenne, d'Isaac Barrow, etc. Les autres opuscules de Théodose offrent aujourd'hui peu d'intérêt. On ne sait rien sur cet ancien géomètre, Sirabon (Lib. XIT) nous apprend seulement qu’il avait deux fils qui cultivaient les mathématiques avec succès.

THÉON, d'Alexandrie, l’un des plus illustres maîtres de cette grande et célèbre école, vivait durant la seconde moitié du IV° siècle de notre ère, et il est l’un des derniers géomètres qui maintinrent , à Alexandrie, l'éclat que l'étude des sciences mathématiques y avait si long-temps jeté. Il observa , en 365, des éclipses de lune et de soleil ; mais il nous laissa ignorer les moyens qu'il employa pour les calculer, Les seuls ouvrages qui nous restent de lui sont : un Commentaire sur Les élémens d'Euclide, et un autre sur | A/mageste. Peut-être Théon est-1l moins célèbre dans l’histoire de la science par ses travaux, fort estimables d’ailleurs et qui ont loug-temps exercé la patience des plus savans commentateurs, que comme père de la savante et malheureuse Hypatia. On croit géaéralement que c’est pour elle et pour son fils Epiphane qu’il avait composé les ouvrages dont nous venons de parler, Voy. Hyxparra et Ecore D'ALEXANDRIE,

THÉORÈME., C'est, en mathématiques, une proposition qui énonce une vérité concernant la nature ou les propriétés d’un objet; par exemple, la proposition : la somme des trois angles d'un triangle est équivalente à celle de deux angles aroits est un Théorème.

Un théorème est toujours une proposition synthétique, car il ajoute à la connaissance que nous avons déjà de l’objet des déterminations nouvelles de sa nature, il n’est donc jamais évident par lui-même comme un axiome qui est une simple proposition d'identité, et

demande une démonstration pour devenir certain.

THÉORIE. Ce mot, qui est à peu près le synonyme de spéculation, s'applique généralement à tout ensemble de connaissances purement spéculatives, c’est-à-dire qui reposent sur des principes une fois posés et dont la combinaison peut conduire à la découverte d’autres connaissances indépendamment de lexpérience. Dans les arts, la théorie est considérée comme l’opposé de la pratique où de l'exécution, parce que cette dernière exige une certaine habileté qui ne peut être que le résultat de l'expérience. Quant au véritable sens du mot TAcorie,

en mathématique, voyez l’article suivant.

TECHNIE (de sy» art). Mot employé par M.

Wronski pour désigner les branches des mathématiques qui ont pour objet spécial la mesure ou l’évaluation des quantités.

Dans la déduction philosophique à priori de toutes les parties de la science des nombres, donnée par M. Wron:ki (/ntrod. la Ph. des Math.), ce savant montre qu’une quantité mathématique peut être envisagée sous deux points de vue essentiellement différens et fondés l’un et l’autre sur la nature même de l’intelligence humaine. D'après le premier de ces points de vue, on découvre la nature particulière ou la construction primitive d’une quantité. D'après le second, on découvre sa mesure où son évaluation numérique. Nous avous déjà (roy. Maru. 15 et Pair. 65) exposéles différences caract ristiques de ces deux manières de considérer les quanütes. Ainsi nous pouvous nous contenter ici de les rappeler par un seul exemple. On sait que la base des logarithmes naturels ou hyperboliques est un nombre tronscendaut dont la valeur est dounée par la série indéfinie (a)

I I I I I LE 1 he 1.2 A 1.2.3 F WAV QUE 12.340 LL

de sorte qu’on obtient cette valeur par l'addition successive des termes qui la composent, ce qui fournit des évaluations d'autant plus approchées qu'on emploie un plus grand nombre de termes. Mais la quantité 2,715281828450... etc., à laquelle on parvient par ce moyen, nous fait bien connaitre la valeur numérique ou le rapport de la base des logarithmes naturels avec l'unité, mais non ce qu'est cette base elle-même, sa nature ou sa construction primitive ; et, cependant, c’est cette construction primitive opérée par l’entendement qui crée la quantité en question , lui donne une forme particulière, distincte de celles de toutes les autres quantités, et la rend ainsi susceptible d’une évaluation numérique. Or, la nature dela base des logarithmes naturels (roy. LoGarirames , 13) est donnée par l'expression (b)

TH

qui, à son tour, nous fait bien connaître l'opération transcendante de la raison dans la construction primitive de cette base , mais non les moyens d’en évaluer la grandeur numérique; de sorte que ce n’est que par une détermination secondaire , c’està-dire , par une transformation opérée sur l'expression (b), qu’on peut parvenir de cette expression à l'expression (a), qui fait connaitre ces moyens d'évaluation et découvrir légalité

1 \Ÿ I I I I Gel ent Taser a CURE dont les deux membres sont essentiellement hétérogènes.

La nature et la mesure des quantités mathématiques sont donc deux objets distincts et nécessaires des mathématiques en général, et dans chacune des branches de ces scieuces il devient essentiel de distinguer ce qui appartient au premier de ces objets de ce qui appartient au second.

Appuyé sur ces principes incontestables, M. Wronski donne lenom de théorèmes aux propositions qui ont pour objet la nature des quantités mathématiques , et celui de r1ethodes aux propositions qui ont pour objet la mesure de ces quantités. Le système des théorèmes forme aiusi, en général, la TuiontE MATHÉMATIQUE, et le système des méthodes, la TECHNIE MATHÉMATIQUE.

Lu nous rapportant à ce que nous avons dit, Marux- MATIQUES 2, 12, 16, 17, 18, 10, 20 et 21; et Par- LOSOPHIE 22, 65; nous pourrons encore défiuir la Taéonte et 'la TEcunEe mathématiques de la manière suivante :

La thcorie mathématique a pour objet les modes distincts et indépendans de la génération et de la comparaison des quantités. La Zechnie mathématique à pour objet les #70odes universels de cette génération et de ceite comparaison.

Nous allons présenter ici l'ensemble dela Technie de la science des nombres tel qu'il a été donné par M. Wronski dans ses divers ouvrages.

1. Une fonction théorique quelconque Fx étant donnée, la transformer en fonctions de numération ou de Jfaculés, tel est le but général de la technie. Les deux formes générales de cette transformation, déduites Ma-

THÉMATIQUES 16, sont Fr=A<+Lox, et Fr— A.

dont la première se rapporte à la transformation de la fonction Fx en fonctions de numération , et la seconde à la transformation de cette même fonction Fx en fonctions de facultés.