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&; ee FE; ne Ti F, FERME, Ga LES 7 ns FAR. Ce etc, — etc.

dont la loi est manifeste.

A l’aide de ces dernières quantités, la génération

technique de la fonction Fx, en fraction continue, est

Fx = @ + &.9x

1 + a,.vx

1 + a.ox 1 + etc.

expression que l’on peut encore mettre sous la forme

EF : a, + 9x

Di + ox b,+sx b; +ox b, + etc.

en faisant I Y 4 I = —, b = —— = , D = ———., etc, D: AD e 4::be bs 43.05 ai. b,? sis et, en général , by — 2 ÊT aubus

Nous avons exposé ailleurs la déduction et la démonstration de ces lois. (7’oy. Fracrions conTINUES et SÉ- RIES), et nous n'avons sans doute pas besoin de faire observer ici qu’elles donnent d’une manière générale ou universelle la génération technique d’une fonction quelconque Fz d’un variable x , à l’aide d’une fonction entièrement arbitraire 9x de la même variable, Les détails dans lesquels nous sommes entrés mettent daus tout son jour l'importance des algorithmes techuiques primitifs des séries et des fractions continues , ainsi nous ne nous y arrêterons pas davantage pour procéder

TH

à la déduction des algorithmes qui répoudent à la seconde forme de transformation ; ces algorithmes n’ayant point été l’objet d’articles particuliers réclament quelques développemens.

5. Dans la seconde forme générale de transformation (c) Fr —AX ox

la quantité À peut être indifféremment considérée comme dépendante ou comme indépendante de la variable æ, et c’est ce qui rend les transformations effectuées suivant cette seconde forme essentiellement différentes de celles de la première forme. Examinous d’abord le cas où le facteur A est fonction de Fr.

Lorsque le facteur A est dépendant de x, ce facteur est lui-même la mesure générale de la fonction Fx, de sorte qu'il doit être tel que la valeur de x qui rend Fx = o le rende aussi zéro , afin que le rapport

Fx

+ ne devienne pas indéfini et, par conséquent, que la fonction x qui est l'expression de ce rapport puisse être déterminée dans tous les cas. Cependant il est important de remarquer que la fonction de x qui forme le facteur A reste indéterminée quant à sa nature, quoiqu’elle soit déterminée par rapport à sa valeur, d’après la circonstance que nous venons de signaler, et que l’on peut ainsi faire dépendre cette fonction d’une fonction quelconque arbitraire 9x prise pour mesure.

Désignons donc par f.x la fonction représentée généralement par À et dépendante dela mesure ox, et nous aurons suivant la forme (c) la première transformation

Fa = fix K dx

Observons maintenant que la fonction fx doit être pécessairement de la forme 9x — , y, désignant ici la valeur qui résulte pour la fonction arbitraire 9x lorsqu'on donne à x la valeur qui rend Fx = 0; car le rapport

ET Xe" ou la quantité æ,x, se trouve de cette manière parfaitement déterminable dans tous les cas.

Ainsi, comme tout ce que nous avons dit pour la fonction Fx s'applique exactement à la fonction %,x et que nous avons évidemment, pour seconde transfor-

mation, toujours suivant la forme (c), PT = fix X P,X

le facteur f.x, dépendant de la mesure yæ, doit être

nn nt

TH

aussi de la même forme wx — y,, y, étant la valeur de gx lorsqu'on donne à la variable x la valeur qui rend

Pæ —0, cette seconde trausformation donnera

ou Fr (QX — Jo) (9 — 1)

Br —

Opérant sur la fonction æ,r comme nous l’avons fait

sur les fonctions Fx et x, en posant de nouveau DL—= fit X DT;

la fonction fix sera de la forme ox — y, y, étant la valeur de gx qui correspond à la valeur de x donnée par

la relation &,x — 0, et nous aurons

d’où , encore,

Fx

BEEN on à (97—Y0) (p2—7,) (px —7:)

et la quantité @,x sera déterminable pour toutes les

valeurs de æ.

Procédant de la même manière dans l'évaluation gé-

nérale des fonctions successives DT > Bill y Pal PT, PT, etc.

Nous obtiendrons évidemment pour un indice quel-

conque y la valeur (4)

os tte (pay) (T7). + (ex —Y#)

Ty

Mais dans cette évaluation successive des fonctions PT, P,X, g:%, etc. il est visible par la forme même (d) de ces quantités qu’on épuise de plus en plus l'influence de la variable x dans la fonction Fx, de sorte que l’on doit nécessairement arriver, du moins à l'infini, à une quant té œax telle que l'influence de la variable x y soit nulle ou du moius infiniment petite. Donc, en désignant seulement par æ, cette dernière quantité, que lou doit considerer comme une constante, nous aurons définitivement, en vertu de la formule (4), l’expression (e)

Fr=0u{ (9x7) (pt—:) (gx —7,). . (px vu) }

Telle est, surtout lorsque y est infini, la génération technique ou l'évaluation de la fonction Fx parle moyen du troisième algorithme technique élémentaire