TH DAT

que M. Wronski nomme Propuires continues, La valeur de la constante d, pourra toujours être déterminée par la relation particulière que donne l'expression générale (e) dans le cas de toute valeur déterminée de x.

6. La détermination des facteurser—7,,px—Y, , etc. qui donne en produite continue l'évalution d’une fonction quelconque Fz, doit toujours être obtenue à l’aide de cette fonction et de sa mesure arbitraire 9x, mais la loi de cette détermination ou la Zoi fondamentale de l'algorithme technique des produites coutinues n’est point encore donnée, M. Wrouski avait annoncé qu’il la ferait connaitre dans une suite de sa Philosophie de la technie; cette suite n’a point été publiée.

A defaut de cette loi fondamentale nous ferons observer que toute fonction Fx pouvant être développée

en une série (f) Fx = A, + A;ox+A,022 + À;ox$ A pxi etc.

procédant suivant les puissances progressives d’une fonction arbitraire yx, cette série égalée à zéro forme une équation d’un degré infini qui admet un nombre infini de valeurs pour la fonction gx (voy. Marué- MATIQUES, 8). Ainsi désignant par ye une de ces valeurs de #x et par x, la valeur de x qui lui correspond, nous aurons d'une part Fx,— 0 et de l’autre le second nombre de l'expression (f) ou l’équation du degréinfini sera exactement divisible par le facteur g%—7;, et plus généralement par le facteur

ME — We

mn, étant une quantité constante. Opérant cette division

nous trouverons À, + À,px A ,ga? + A:px5 + Apxietc... =

(9x — miye) (B,—+ Bic + B:px* + Box + etc...)

en posant A: m,Bo B =— 4° , B. = — A: + m:Bo 0} UTP TuŸo B = — A+. Æ a B = — Bitte ni L M Ÿo nu

etc., etc.......

4 nee Or, en désignant par ÿr, 9,5 33 €tC. à l'infini les autres racines de l'équation infiuie, comme nous aurons

évidemment

Ac Apt + A,px* + Ang + Aipri + etc... = (mex—m, Yo) (mp —may,) (NX —mays) ve, etc.

Nous en conclurons

Er = M{(p2—ye) (pt—7,) (exp). ++}

545 TH M désignant le produit des quantités constantes 72,, n:, 113, etc.

Ainsi, lorsque par la nature de ja fonction Fx, l’équation Fx — © aura un nombre infini de racines et qu’on pourra connaître ces racines, on obtiendra immé-

diatement les valeurs y, y:,7,. etc. qui résultent pour ex de la substitution successive de chacune de ces racines à la place de x et l’on parviendra à l'évaluation de la fonction Fx en produite continue. C’est ce que l'exemple suivant fera mieux comprendre.

7. Soit sir æ la fonction de x qu’il s’agit d'évaluer en produite continue au moyer de la mesure géné-

rale ox. En posant l’équation sin x — 0

on voit que cette équation est satisfaite lorsqu'on donne à æ la valeur

TZ =Imr, Car Sin 727 —= 0

m étant un nombre entier quelconque et rla demi circonférence du cercle dont le rayon est l’unité (voy. Srnus), æ admet donc un nombre indéfini de valeurs correspondant à tous les nombres entiers positifs et négatifs

que l’on peut prendre pour m, et la valeur générale y

de ox est

Je = pur).

Faisant donc successivement 5 = 0,2 =1;um—=—1;, p—=2,p—— 72, etc. nous aurons (g)

sin x M{(ex—g(o)) (px —#(r)) (px —4(—7)) X

(x—var)) (pi—p(—2r Pour déterminer la constante M donnons uve valeur quelconque déterminée a à la variable x et nous obtiendrons sin & M ————————————————————————

(ga—y(o)) (pa—(r))(pa—+( 5)... etc.)

Ainsi, substituant cette valeur dans (g), il viendra

sin & ox—9(r)

sin & — .(ex—?(0))

ga—(0) ga—?(") gx)

pa—?(—1)

YT—9 (27 oa—w(2r)

ex? —2r) 2a——2T

NX sise etc

a étant une valeur arbitraire si l’on fait « — 0 , le premier facteur

sin a

ga— (0)

AC) . é se réduit à > etpour obtenir sa valeur, il faut prendre

les différentielles de son numérateur et de son dénominateur par rapport à la variable a (voy. DiFrÉRENCES 47). Ontrouve de cette manière

sin a cos & ga— lo) — CARS ces da da ) à cause de cos a — cos o — 1. Remettant donc x à la place de a et marquant par un point placé sur cette variable, à, la valeur o qu’il faut lui donner après la différentiation , nous aurons définitivement (h)

| 1 ; : Pa —@(r) Las es + (740). on gr) dx ) px—?{—x) ? 0, — P(—5) à gx— pla) X y (o)—#(25). à PCA idees LelC:

8. L désignant le logarithme naturel, si nous prenons L(1-næx) pour la fonction arbitraire gx formant la mesure de l’évaluation, nous trouverons

(+) = ie De

et, par suite, (4)

1x L 1+ nr, 7 LG+nr)

L (CE ar

sinæ =>. L(14n2) .

inr

L (: \ionz)

* 7 Lion) DO osserssese etc.

Tant que la quantité arbitraire 7 a une valeur finie, les facteurs de la produite continue renferment des quanti-

c ; I tés dites imaginaires , mais si l’on fait n = 37, comme

on a généralement (voy. LoGARITHME)

LR) = co (Rp) ei) x

et, par conséquent ,

l'expression (i) devient dans ce cas

sun a (s EN) (Ne

C’est la première produite continue découverte par Jean Bernouilli. L’élégante déductiou que nous venons d’en donner appartient à M. Wronski. (Foy. Phil. de de la technie, première section.)

9. Il existe une autre espèce de produites continues dans lesquelles les facteurs forment une progression

arithmétique ; telle est, par exemple, la produite