La factorielle à exposant binome a

des deux manières suivantes (voy. FAcrORELLES, 3)

m+nlr mir nr a = &@ .(a+mr)

m+nr nr mir mn a = a .(a+nr) ,

il en résulte l'égalité

TH 549 cmir nir nr m1 a .(akmr) —= a .(a+xr) d’où l’on tire mr nr a a mr nr (a+nr) (a+-mr)

Si nous faisons dans cette dernière n = © et m —

il viendra (À)

Ale 5 ; a. 18 .. (x+p)

car la base a nr devenant infinie, l’accroissement fini r n’exerce plus aucune influence sur les divers facteurs de la factorielle (a+-nr)”#r qui se réduit alors à uve simple puissance.

Pour toute autre base b et tout autre accroissement s,

nous trouverons de Ja même manière

ainsi divisant l'égalité (4) par cette dernière, nous ob-

tiendrons q P | Fe Ad s rl a (b + q) {æs) a se FE Ds DE 71 re ; z (a +} (œr) dl

ce rapport ne peut admettre des valeurs finies qu'autant

qu'il existe entre les quantités p, q, r,$, la relation

€ s } gr=sp, où ? mais dans ce cas, en faisant © — Ê =, 0ona æ|r as mr a .(b+3g) + a 7 æœfs + Pr — D. : mis b .(a+p)

Lorsque les accroissemens s et r sont égaux ; ce qui entrain : l'égalité des quantités p et 4, cette dernière formule se réduit à

&\r œ |r PL a__(bæ+p) a”!

TT æir œkr — Pl b .(a+p) rade

ce qui est la même chose que (4),

a(b-+p) (ar) (b--p+r) (ar) (b+p+ar). etc bla+p) (br) (a+ p+r) (br) (a4-p+or)...etc.

11. Appliquons ces formules à la produite continue de Wallis,

a —=2, b—= 1, P=Xx: T—2, d’où : a” enr

Pour simplifier cette expression, observons que (voy.

FAcroriELLE) ,

Nous aurons donc d’abord, en substituant (7),

mais on a généralement ,

amir ami-r= a.(a—(m—i)r}mir

et, par conséquent ,

GG = 3 d’où l’on tire AL: I A =— TE 2(3)° substituant dans (m1) , il viendra 11 (Eee pre QT

ce qui donne defimtivement, en prenant la racine carrée des deux membres de cette dernière égalité,

yil—1

3Vr= (6 ;

c’est la belle expression de Vandermonde. (Voy. CEn- CLE, 33.)

12. Éxaminons maintenant le second cas de la transformation générale ,

celui où la quantité A est indépendante de la variable

æ, La condition de cette transformation est évidemment remplie par l'emploi de l'algorithme général des facultés , sous la forme générale (0),

Fr = (Jx);xt

z et À étant deux quantités données, 4x désignant une fonction de z déterminée d’après la nature de la fonction Fzx, et yr étant la fonction arbitraire qui sert de mesure ; car suivant cette génération technique de la fonction Fx , tous les facteurs 4x, 4{x+ 2) , L(x-HË), etc., formant la faculté, sont indépendans de la variable x. Cette génération (0) constitue le quatrième et dernier algorithme technique, élémentaire, primitif, auquel | M. Wronski a donné le nom de facultés exponentielles.

Dans le cas particulier où la mesure est la simple variable x, l’évaluation de la fonction Fx peut être généralement opérée sous la forme (p),

Fr — Fo). ge 1h

le point placé sur z indiquant qu’il faut donner à cette variable auxiliaire là valeur zero. En effet , nous avons

d’après la nature des facultés,

A Fi). F().F(245)...F(2+a—i).F(2+x) 2.F(2+1).F(242).F(243)..F (2x)

ainsi la forme (p) se réduit à

Fr = Fo). A

et en faisant z — 0, ona l'identité

Fx | Fi = F{o). = — Fr. { Fx (0) Fo)

Mais la formule (p), qui se réduit à une simple identité lorsque x est un nombre entier, reçoit une signification déterminée , et son second membre n’est plus

identique avec le premier , lorsque æ est un nombre fractionnaire, irrationnel , ou imaginaire. Alors , en | développant la faculté qui le compose, au moyen de la loi fondamentale des facultés (v0y. FAcuLTEs, 17), on obtient pour la fonction Fx, des développemens entièrement différens de tous ceux qui résulteraieut de l’em-

ploi des trois autres algorithmes techniques. Nous ne | pouvons entrer dans plus de détails sur cet algorithme

des facultés exponentielles dont la loi fondamentale n’est point encore connue.

13. Les quatre algorithmes techniques élémentaires, les séries , les fractions continues , les produites continues et les faculiés exponentielles sont les seuls algorithmes primitifs possibles. Mais il existe encore une classe d’algor thmes techniques dérivés qui forme ce qu’on appelle les Méthodes d'interpolations, et qui appartient ainsi à la partie élémentaire de la technie de l’algorithmie. Nous ve les mentionnons ici que pour compléter cette partie élémentaire , et nous renverrons anx articles où nons en avons déja parlé (voy. Marnémari- QUES, 21, et INTERPOLATION) , pour aborder immédiatemeut la partie systématique de la technie.

Nousavons vu (Marm., 22, et Paicos., 65) qu’il existe un algorithme technique systématique qui embrasse tous les algorithmes techniques élémentaires, et par conséquent toute la science des nombres ; cet algorithme constitüe la cor suprÊme de M. Wronski. Quelle que soit l'extrême importance de cette loi, comme nous l'avons déjà signalée plusieurs fois dans le cours de ce dictionnaire , nous devons nous borner ici à donner son exposition.

Soit Fx une fonction quelconque de la variable x, cette variable étant dépendante ou indépendante d’autres variables, et soient Q,, Q,, Q,, etc., des fonctions quelconques arbitraires de la même variable +, au moyen desquelles il s’agit d'opérer la génération universelle de la fonction Fx. Faisons ©, = 1, et construisons une suite de quantités &,.#,, etc. de la manière suivante :

% = FX __ WA Fr] AFx T la] — 4%

[a:0,.4Fr]

__ Wfaro,.410,.A5F x]

7 VEA"0,.470,.450;[

etc. —= etc.

et, en général, pour les indices autres que zéro.

SR REA Se on es fonctions désignées par la caractéristique } étant celles dont nous avous euseigné la construction. (Foy. SÉuiE 8.)

Coustruisons, en second lieu , une autre suite de quantités ,

Dp}e = ,

Dh): — Va'o;] — 20 p W|Ar0,] Ao,

7 à. Ÿ [aïo,.a0,] Ph = pp ao 0]

dUÿ L V[4'0,.420,.430/] Ph = pan. à0, 450] etc. —= etc.

et en général , pour les indices autres que zéro,

__ W'a'os.a0 A0,. ,Ap—10,,.AQ,] V[ar0,.4%0,.4/03..48—104 5 APO;]

Avec ces dernières quantités formous les quantités générales suivantes ,

eh = — +)

eh bp) (pe du 2)t

Yu} =— (043), — (2), .0(u43) a+ r Vu 4 3)u4

Va dut n— (pe): (4-4 aa

—Y(p), F d(u+4) b+ 2— VU . o(u+4a+s

etc. etc.

construisons enfin la quantité générale, Au = ut V(phie eur Y(u) .Euta À Yip}s.Eu+3 + etc.

dans laquelle le point placé sur les fonctions y et E indique une valeur quelconque déterminée de la variable x, et nous aurons pour la génération universelle de la

fonction Fx, Fr—A,.9,—+HA:.0:+ A,. 0, + A,.03 + etc.

Telle est dans sa plus grande simplicité, la lot supréme des mathématiques, M. Wronski en a donné dans la première section de sa phil. de la technie, une démonstration très remarquable sous le rapport des procédés entièrement nouveaux qui y sont emplovés. Nous devous renvoyer, pour tous les détails, aux ouvrages de

ce savant.

THERMOMÈTRE. (Phys. méc.) (de &éeurs, chaud, et de pérgoy mesure) Instrument destiné à mesurer les accroissemens et les dimiuutions de la chaleur des substances qu’on éprouve par son moyen,

La première invention de cet instrument, qui remonte à la fin de xv1° siècle, est attribuée à un Hol-

landais nommé Drebbel. 11 fu perfectionné ensuite par les académiciens de Florence dans le xvu° siècle, mais ce n’est que long-temps après que Farenheit, à Dantzick, et Réaumur en France, découvrireut en même temps les priscipes exacts de sa construction.

Le thermomètre le plus en usage maintenant est celui qu'on nomme thermomètre «le Deluc, parce que ce célèbre physicien en a fait l'objet d’un grand nombre de recherches. L'appareil dont il se compose et que nous allons décrire ne diffère pas de ceux de Farenheit et de Réaumur.

Ayaut pris un tube de verre MN (PI. 58, fig. 8), bien exactement calibré, qui porte à l’une de ses extrémités N une boule de verre NO, où chauffe cette boule, l’extrémité M du tube étant ouverte , afin de dilater l’air qu'il renferme , puis on le renverse et on le plonge par le bout M dans un verre plein jde mercure. À mesure que l’air intérieur se condense en se refroidissant, le mercure monte dans le tube par la pression extérieure de latmosphère. Quand le tube et une partie de la boule sont remplis de mercure, on retourne l’instrument et on ferme hermétiquement l'extrémité ouverte à la lampe d’émaillear. Cette première construction étant faite, on plonge la boule dans l’eau bouillante et alors le mercure en se dilatant monte dans le tube jusqu’à un point B qu’on appelle point d'ébullition et auquel il demeure constamment tant que la boule de verre reste dans l’eau bouillante. On plonge ensuite la boule dans la glace fondante , le mercure descend jusqu’à un point À où il demeure constamment fixé tant que la glace n’est pas entièrement fondue. Ce point A se nomme point de congélation naturelle. La distance AB, entre les points ainsi déterminés, se nomme la distance fondamentale, c'est elle qui sert à construire l'échelle d’après laquelle on estime les degrés de la chaleur selon le plus ou le moins de hauteur de la colonne de mercure. Ainsi, après avoir attaché le tube sur une petite planche, on divise la distance fondamentale AB en 80 parties égales et l’on continue de marquer des divisions égales au-dessous de A et au-dessus de B, aussi loin que le tube peut s'étendre. En A on marque zéro et l’on commence à compter de ce point soit en allant vers le haut ou vers le bas. Dans l'usage populaire du thermomètre les degrés au-dessus de zéro se nomment les degrés de chaleur, et les degrés audessous les degrés de froid.

Le thermomètre dit de Réaumur renferme de l'esprit de vin coloré au lieu de mercure , mais son échelle est la même que celle dont nous venons de donner la construction. C’est Réanmur qui, le premier, marqua o le point de congélation et 8o celui d’ébullition.

Le thermomètre de Farenheïit est de mercure comme celui de Deluc, seulement les échelles sont différentes :

la distance fondamentale AB y est divisée en 180 parties ou degrés et le zéro se trouve placé au-dessous de A à une distance égale à 32 de ces parties, oe sorte que le point de congélation naturelle est marqué 32° et celui d'ébull tion 212°. Le point zero de ce thermomètre, se nomme point de congélation artificielle , parce qu’il correspond à un degré de froid obtenu par un melange de neige et d'ammoniaque.

D'autres physiciens ont adopté des échelles différentes parmi lesquelles nous devons particulièrement distinguer celle du thermomètre suédois dit {hermomètre de Celsius, adopté par les chimistes français sous le nom de thermomètre centigrade. La distance fondamentale étant divisée en 100 parties égales, le point d'ébullition est marqué 100° dans ce thermomètre et le point de congélation naturelle 0.

Le thermomètre à mercure de Celsius, ou centigrade, et celui de Réaumur ou plutôt de Deluc, sont les seuls dont les savans francais font usage. Les Anglais emploient le thermomètre de Farenheit. On peut aisément trouver la correspondance des degrés de ces divers instrumens, ou réduire le nombre des degrés indiqués par un de ces thermomètres aux nombres des degrés indiqués par les autres , dans les mêmes circonstances, à l’aide des relations très-sinples qui suivent.

Soit R le nombre de degrés sur l’échelle de Deluc ou de Réaumur , F celui de l’échelle de Farenheit et C celui de l'échelle centigrade. On a

1°. Pour convertir les degrés Réaumur en degrés Ferenheit :

2°. Pour convertir les degrés Farenhcit en degrés Réaumur :

3°. Pour convertir les degrés de Réaumur en degrés centigrades et vice versa :