TRANSFORMATION DES COORDONNÉES

(Géom.) C'est l'opération par laquelle on change les axes des coordonnées d’une ligne ou d’une surface, et par conséquent ces coordonnées elles-mêmes.

La transformation des coordonnées est une des opérations les plus importantes de la géométrie dite analytique ; elle facilite la recherche des propriétés des courbes , en donnant les moyens de les exprimer par les équations les plus simples , et fait souvent reconnaitre immédiatement certaines de ces propriétés qu’on ne pourrait découvrir que très- difficilement par d’autres moyens. Le but de cette transformation est énoncé dans la proposition générale suivante : L’cquation d'une courbe , rapportée à deux axes quelconques, étant donnée, trouver l'équation de la méme courbe rapportée à deux autres axes. Nous allons traiter la question dans tous ses détails.

Soit MON (PI. 58, fig. 15) une courbe quelconque dout l’équation y—Fx est rapportée aux axes AX et AY, et saïent A'X' et A'Y' deux nouveaux axes donnés

TR

de position par rapport aux premiers, Les coordonnées AP et PO d’un point O de la courbe, suivant les premiers axes, étant désignées par x et y, et les coordonnées A'P'et P'O' du même point, suivant les derniers axes, étant, désignées par z'et y', il s’agit de trouver l'expression de xet de y en fonctions de x'et de y", car les valeurs de x et y en x'et y’ étant connues, il suffit de les substituer dans l'équation y — Fx pour avoir l’équation de la courbe exprimée en z'ety', et conséquemment rapportée aux axes A'X' et A’.

Or, la position du second système d’axes étant connue, menons par le point A", BY" parallèle à AX et A'X" parallèle à AX. Faisons AB — a, A'B —b ; l'angle X'A'X"— «a, l'angle Y'A'X" = a’, .et l'angle Y”'A'X” = YAX — $. Eu menant PE parallèle à AX et P'C parallèle à AY, nous aurons, (a),

AP — x — AB + BP — a + A'C + CD PO == ÀA'B+OD— + CP'+EO, mais les triangles A'CP', OP'E donnent (voy. Teicoxo- MÉTRIE) .