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CP’ :.A'P" : : sin P'A'C : sin AYCP' .. PES 'OPE: sin POP sin PO

n°... EO&-:OP": ::sin OP'E £: sin P'EO

ou, ce qui est la même chose,

1°... A'C : x! :: sin(B—c):sinB

d'où à im T'-Sin(£—x) 7 Ge sin 5 LS oo CRE: Sisinte #1SinE d’où , T'-Sinæ ee sin G 30,,.. PE : ÿ° :: sin(B—«) : sin B d'où ee. y'-sin(B— x) nome De 4... EO : ÿ':: sine : sinf d’où __ y'.sina EO sin £

Substituant les valeurs de A'C, CP', P'E, EO dans les expressions (a) de x et de y, nous obtiendrons

TR sut 205 a+ ERP ER En PT NE ALES

sin

Ces valeurs de x et de y, substituées dans l’équation de la courbe, transformeront cette équation en une autre équivalente, qui ne contiendra plus que les variables x',y', et qui sera conséquemment rapportée aux nouveaux axes ÀA'X', A'Y"’,

Eu donnant aux droites a et b et aux angles & et a des valeurs convenables, il est facile de déduire des formules générales (1) et (2) toutes les formules particulières correspondantes à toutes les positions des nouveaux axes. Ces formules particulières comprennent quatre cas principaux que nous allous indiquer.

I. L'origine n'étant pas la méme , les nouveaux axes sont parallèles aux anciens. Dans ce cas , les nouveaux axes sont A'X", A'Y' et l’on a «x —0, x — B ; d’où

sin(f—a) = sinf, sin(f—-x'") — 0, sin — 0, sina'— sinf

Les formules (1) et (2) deviennent alors simplement

SSL — LEA Hess V— y ÉD:

IT. Les premiers axes étant rectangulaires, les seconds sont obliques. Alors 6 = 90°, et l’on a sinB = 1, sin(f—c) — cos &, sin{B—x') — cos x’

et les formules deviennent

5.... x = x'cosa + y'cosx +a 6.... y = x'sina— y'sina 4 b II. Les deux systèmes d'axes sont rectangulaires. On a dans ce cas B= 90°, «= 90° + &, sinf = 1, sin(B—a) — cos « sin(B—a') = cosx' = cos(90°H 4) = — sine, sinx' = cos & ce qui donne Tous = L'COS a y'sin « + a 8....7 = x'sinæ + y'cos « + b IV. Les premiers axes sont obliques et les seconds sont rectangulaires. Alors «' = 90° + « ; d’où sinæ'=— cos &, Sin (f — x) — sin (B — 90° — x) = — sin[90° — (B—2)] = — cos(2 — a)

et les formules deviennent

aie pl œ sin(B—a)==y" COS(B— x)

æ'sinæ +-y'cos « sin p

QC ©

Dans toutes ces formules, a et b sont les coordonnées de l’origine des nouveaux axes par rapport aux anciens ; ainsi en faisant a — o ct b — 0 , on exprimera, dans les quatre cas ci-dessus, la circonstance que l’on veut seulement changer la direction des axes sans déplacer l’origine. Si l’on fait seulement a — o , la nouvelle origine sera placée sur l’axe des y, comme, si l’on fait seulement b — 0 , elle sera placée sur l’axe des x.

Nous allons montrer par un exemple comment on peut employer ces transformations pour simplifier l'équation d’une courbe. L’équation générale du cercle rapportée à des axes rectangulaires est (voy. AprLica- TION, 24)

Re EE AQU EU ADR QUE IpE je 20

dans laquelle r désigne le rayon , p la distance du centre à l’axe des y et g la distance du centre à l'axe des x. Pour rapporter cette équation à d’autres axes rectangulaires, substituous à la place de x et de y les valeurs données par les expressions (7) et (8), l'équation transformée sera

x + 2[(a—q) cosa Æ (b—p) sinz]x' + y? — a[(a—g) sin & — (b—p) cosz]y!

+ HU + pq —0ag — bp

Cette équation est à la vérité plus compliquée que la

proposée, mais il y entre trois quantités arbitraires «, bet « dont on peut disposer à volonté pour la simplifier. Or, ilest facile de voir qu’en faisant a=get b—p non seulement les termes affectés de x’ et de LA

disparaissent, mais qu’elle se réduit à

x +ys—rm—0o

à cause de g? + «° —2q", bp? = op? et de 2aq =29° 2bp = 9p?.

Or, en faisant a = q et b — p, on à transporté l’origine au centre du cercle; ainsi l'équation du cercle rapportée au centre est la plus simple de toutes. De plus, cette équation est toujours la même, quelle que soit la position des axes, pourvu qu'ils soient rectangulaires, car l'angle « reste indéterminé.

La transformation des coordonnées rectilignes en coordonnées polaires a été traitée au mot Porarre.

TRANSPOSITION. (44g.) Expression dont on sesert pour désigner le changement de place que l'on fait éprouver à un terme d’une équation en le transportant d’un membre dans l’autre, Si l’on a par exemple l’équation x + 4x +8 — 16, et que l'on fasse passer le

terme 8 du premier membre dans le second, ce qui rend l'équation x° + 4x — 16 —8, on aura opéré une transposition. l'équation ne change pas, par de telles transpositions, pourvu qu’on observe de changer le signe des termes déplacés. (Foy. EQuaTi0N, 1.) |

TRANSVERSALE. (Géom.) Se dit en général de

toute ligne qui en coupe d’autres.

GÉOMÉTRIE DES TRANSVERSALES. En adoptant la division de chacune des deux branches fondamentales des mathématiques en Taéome et Trecunte (Foy. Marnémi- TIQUES et Puirosopmte ), les propriétés des transversales et leur usage pour la solution des questions géométriques se trouvent naturellement classées dans la partie technique de la géométrie générale et constituent une branche élémentaire de cette TECHNIE GÉOMÉTRIQUE, dont l’objet général est comme nous l'avons dit ailleurs, la génération et la comparaison universelles de l'étendue, … À l’aide de cette classification, fondée à priori sur la nature même de l'intelligence humaine, chaque branche de la géométrie générale reçoit un but fixe et déterminé qui ne permet plus de la confondre avec les autres, et l’on peut enfin reconnaitre l’unité systématique qui règneentre toutes ces branches , unité sans laquelie une réunion quelconque de connaissances ne peut former une véritable science. Or, en partant des principes qui servent de base à la déduction que nous avons donnée, au mot Marnémariques, des diverses branches de la science des nombres, il est facile de reconnaître que la science de l'etendue se divise également en plusieurs branches nécessaires et que laméthode des transversales est une de ces branches. Nous allons essayer de compléter ici l'aperçu qui se trouve au mot GÉOMÉTRIE, en indiquant le parallélisme intellectuel qui résulte, entre les parties de l’algèbre et celles de la géomctrie, de leur commune origine.

T. La génération de l'étendue, comme celle des nombres, se présente sous deux aspects différens, un zrdividuel' qui nous fait connaître la nature particulière de l'espèce d’étendue engendrée , l'autre universel qui se rapporte à l’evaluation de cette étendue. Par exemple, si nous traçons sur un plan trois droites qui se coupent deux à deux, nous formerons une étendue nommée triangle , lequel sera équilatéral, isocèle on scalène, suivant les relations d'égalité ou d’inégalité que nous aurons établies entre ses côtés. Dans chaque cas, nous devrons donc considérer une étendue d’une nature particulière et distincte donnée par les circonstances de sa génération, Si, au lieu de nous borner à cette construction individuelle, nous considérons les trois lignes droites d’une manière générale, c’est-à-dire en les rappor-

tant à des axes coordonnés, et en les exprimant par

leurs équations, la seule condition que ces droites se:

coupent deux à deux nous conduira à la génération du triangle général ou schématique (voy. Puirosopme, 25), dont nous pourrons obtenir l'évaluation par des procédés universels ; ainsi les relations qui existent entre l'aire du triangle , ses angles et ses côtés, se trouveront fixées de la manière la plus générale. Ces deux aspects différens sous lesquels nous pouvons envisager la géné: ration de l’étendue établissent nécessairement, dans là géométrie, deux branches essentielles et distinctes, dont l'une doit avoir pour objet la réunion de tous les modes individuels et indépendans de là génération et de Ja comparaison de l’étenduë , et J’autre, tous les modes universels de cette génération et de cette comparaison. La première formera la Tn£onte GÉOMÉTRIQUE et la seconde la TECHNIE GÉOMÉTRIQUE.

2. Examinons d’abord la théorie séométrique etrermarquons qu’il faut distinguer, avant tout, parmi les modes individuels et indépendansde la génération deV’étendue, ceux qui constituent les é/émens de toutes les constructions géométriques possibles de ceux qui coustituent la réunion systématique de ces élémens. Or, le premier mode élémentaire qui se présente pour la génération de l'étendue , est la LIGNE proiTE :° c’est une étendue qui n’a qu’une seule dimension, et dont toutes les parties ont une même directiou. La ligne droite est évidemment le principe primitif de toute étendue, l’élément nécessaire sans lequel on ne pourrait la concevoir ; toutes ses parties sont semblables, ou plutôt sont ellesmêmes des lignes droites; son caractère général est celui de l'agrégation, et elle est enfin pour la géométrie ce qu'est l’algorithme de la sommation pour l’algèbre. Un second mode élémentaire opposé vient nous présenter à son tour une génération tout à fait différente : c’est la ziene course ; l'étendue qu’elle engendre n’a encore qu’une seule dimension, mais sa direction varie à chaque point; de sorte que, considérées dans toute leur généralité, la nature de Ja ligne courbe et celle de la ligne droite sont entièrement hétérogènes, et il est impossible de déduire l’une de ces lignes de autre. Pour remonter à. l’origine intellectuelle de ces lignes, nous dirons que la première, la ligne droite, où se manifeste la discontinuité, est un produit de l’entendement, et que la seconde, la ligne courbe, où se manifeste la con-

tinuité, éstun produit de la raison.

Comme moyen de transition de la ligne droite à la ligne courbe, un troisième mode primitif de génération vient enfin nous’ présenter l'ANGLE ; C’est une étendue qui n’a toujours qu’une seule dimension , mais dont la direction varie de l’une de ses parties à l’autre. L’ang'e est un produit de la faculté du jugement et forme, en vertu de son origine intellectuelle , la neutralisation

des deux modes primitifs et opposés de la génération de l'étendue.

La ligne droite, l'angle et la ligne courbe, tels sont donc les élémens primitifs de la génération de l'étendue, et ilne peut exister pour l'intelligence aucune espèce d’étendue que celle qui se trouve immédiatement fondée sur ces trois élémens , ou qui est dérivée de leur combinaison,

3. La combinaison des trois modes primitifs, que nous venons de signaler, donne naissance à l’étendue dérivée nommée surFrAcE , laquelle a deux dimensions ; et par la réunion systématique des surfaces et des lignes on engendre l'étendue nommée solide, laquelle a trois dimensions. Ces déductions sont assez évidentes pourque nous ne croyions pas avoir besoin de nous y arrêter.

Les lignes, les surfaces et les solides sont les objets nécessaires de la théorie géométrique, et par conséquent ceux de toute la géométrie générale.

4. Le but de la technie est, comme nous l'avons dit plusieurs fois, la construction universelle des quantités soit numériques , soit géométriques, à l’aide d’autres quantités arbitraires de même espèce prises pour 7esures ; elle exige donc l'emploi de rioyens propres à parvenir à cette construction universelle. Or, pour ce qui concerne la géométrie, ces moyens peuvent être de deux natures différentes ; les uns, comme moyens prènulifs, sont puisés dans les lois de l’étendue elle-même ; les autres, comme z20yens dérivés, sont tirés de l'application des lois générales des quantités à l'étendue, Les moyens primitifs ou géométriques sont les intersections des lignes et leurs projections ; les moyens dérivés ou algébriques sont la construction des rapports et la réduction de toute espèce d’étendue à l'étendue primitive et discontinue : la ligne droite , à l’aide des coordonnées; chacun de ces moyens est l'objet d'une branche particulière de la géométrie. Ainsi la génération technique de l’étendue par le moyen de l'intersection des lignes est l’objet de la cÉomÉTRuE pes TRANSVERSALES; cette génération, par le moyen des projections , est l’objet de la GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE ; et, enfin, cette même génération, par le moyen élémentaire de la construction des rapports , et par le moyen systématique des coordonnées, est le double objet de la GÉOMÉTRIE dite ANALYTIQUE. (Voy. GÉOMÉTRIE.)

5. La géométrie des transversales a été réunie pour la première fois en corps de doctrine par Carnot, dans son ouvrage intitulé géométrie de position; mais l'emploi de ces lignes ne paraît pas avoir été entièrement inconnu des Grecs , car il résulte des notes de Pappus sur le livre, malheureusement perdu, des Porismes d'Euclide, que ce grand géomètre s'était servi dans cet ouvrage des intersections des ligues et de certaines constructions générales, pour obteuir la solu-