TR D

Soient BC et bc (PI. 58, fig. 19) les côtés égaux et Betb,C et cles angles égaux. Si l’on transporte le triangle abc sur le triangle ABC de manière que le côté be se confonde avec son égal BC, il est évident que, puisque l'angle b est égal à l'angle B, le côté ba prendra la direction du côté BA et que le point a devra tomber quelque part sur cette direction. De même l'angle c étant égal à l'angle C le côté ca prendra la direction du côté CA, tomber quelque part sur la direction de CA. Mais ce

et le point à devra également

point a devant tomber en même temps sur les deux côtés BA et CA ne peut tomber qu’au point À qui leur est commun; ainsi les deux triangles coïncident exactement et sont égaux dans toutes leurs parties.

14. Tuéorème. Deux triangles qui ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun sont égaux.

Soient les triangles (PL. 58, fig. 19) ABC et abc dont les trois côtés sont respectivement égaux, savoir : AB — ab, AC — gie abe sous le triangle ABC (PI. 58, fig. 20) de manière

ac, BC — bc. Transportons le trian-

que les deux côtés égaux be et BC coïncident et que les autres côtés égaux AB et ab ; AG et ac soient adjacens, Le point a tombera quelque part en a'et letriangle abc prendra la position 4'BC. Si nous joignons lés points A ét a" par la droite Aa’, les trianglès ABa' et ACa' seront lun et l’autre isocèles, puisque par hypothèse AB = Ba'et AC — Ca’. Donc les angles à la base dE ces triangles sont respectivement égaux, c’est-à-dire ,

augle BAa'— angle Ba!'A

angle CAa' = angle Ca’A

mais les deux angles BAa' et CAa' qui composent l’angle À étant égaux aux deux anglés Ba'A et Ca'A qui composent l’angle a, ces angles À et a’ eux-mêmes sont égaux, ou, ce qui est la même chose, les angles À et a des triangles ABC et abc sont égaux. Donc, en vertu du théorème du n° 12, les deux triangles ABC ct abe sont égaux.

15. Tuéorème. Deux triangles rectangles qui ont l'hypothénuse et l’un des angles adjacens égaux chacun à chacun sont éraux.

La Somme des trois anglés de tout triangle étant équivalente à célle de deux angles droits (voy. Ancrx 8), deux triangles rectangles ne peuvent avoir deux de leurs angles aigus égaux sas que les deux autres le soient aussi. On peut donc considérer les triangles proposés comme ayant un côté égäl adjacent à deux angles égaux chacun à chacun ; ainsi la proposition énoncée se trouve démontrée par le théorème du n° 13.

‘16. Tu£onème. Deux triangles rectangles qui ont deux cotés égaux chacun à chacun sont égaux.

Nous ayons seulement à examiner le cas où les côtés

égaux chacun à chacun sont l'hypothénuse et l’un des côtés de l'angle droit ; car lorsque ces côtés égaux sont ceux de l’augle droit l'égalité des triangles résulte du Soient donc ABC et abc (P1.58 ,

fig. 21) deux triangles rectangles dans lesquels les

théorème du n° 12.

hypothénuses BC et be sont égales, ainsi que les côtés AC et ac.

Du point O , milieu de l’hypothénuse CB, décrivons avec CO pour rayon une demi-circonférence de cercle CMAB; cette demi circonférence passera par le point À puisque l'angle CAB est droit (AnGLe 19). De même, du point o milieu de cb avec oc pour rayon décrivons une demi-circonférence qui passera par le point a. Or, ces deux demi-circonférences sont égales puisqu'elles ont des diamètres égaux ; ainsiles arcs CMA , cma soutendus par des cordes égales AC, ac, sont égaux (CERGLE 5} mais les angles CBA et cha ont pour mesures les moitiés de ces arcs (ANGLE 17) ; donc ces angles sont égaux.

Les troisièmes angles C et c des triangles proposés sont donc aussi égaux, et l’on peut simplement considérer ces triangles comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacnn , d'où résulte leur entière égalité d'après le théorème du n° 12.

17. Tuéonime. Deux triangles qui ont deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux égaux chacun à chacun sont égaux, si l'angle opposé à l’autre côté est de méme nature dans les deux triangles.

Soient ABC et abc deux triangles (PI. 57, fig. 20.) dans lesquels les côtés AC et ac, CB et cb sont égaux ainsi queles angles A et à opposés aux côtés CB et cb. Ces triangles seront égaux si les angles B et b opposés aux côtés AC et ac, sont de même nature, c'est-à-dire s'ils sont tous deux aigus ou tous deux obtus.

Car, en abaissant des points C et « sur les côtés AB et ab, prolongés s’il est nécessaire , les perpendiculaire CD et cd, on formera deux triangles rectangles CDA et cda qui sont égaux (15), comme ayant leurs hypothénuses AC , ac égales ainsi que tous leurs angles ; l’angle aigu A étant égal à l'angle a , l’autre angle aigu ACD est égal à l'angle acd (4).

Il est facile de voir que les deux triangles rectangles CBD , cbd sont aussi égaux (16), car ils. ont leurs hypothénuses CB et cb égales par hypothèse, et de-plus leurs côtés CD et cd sont égaux , comme appartenant aux triangles égaux CDA , cda.

Mais, le triangle abc est formé de la somme des deux triangles rectangles acd, cdb, si l'angle b est aigu, et de leur différence, si l’angle b est obtus, et le triangle ABC est également formé de la somme des deux triangles rectangles ACD , CDB, si l’angle B est aigu, ct de leur différence si cet angle est obtus. Donc lorsque ces an-

gles B et à sont tous deux aigus ou tous deux obtus, les

triangles ABC et abc, étant la somme ou la différence de triangles égaux , sont égaux.

18. Equivazexce. Deux triangles , et, en général, deux polygones quelconques sont dits équivalens, lorsque l’étendue de leur surface ou leur aire est la même, quoique la relation de leurs limites sait différente. Dans ce cas, les deux figures transportées l’une sur l’autre ne peuvent plus coïncider, et il faut avoir recours à d’autres procédés de raisonnement pour pouvoir démontrer l'égalité des surfaces. Or, nous avons établi (voy. Aire) que :

1° La surface d’un triangle est équivalente à la moitié de celle d'un rectangle de méme base et de meme

hauteur.

2° L'aire d'un rectangleesl représentée par le produit de sa base et de sa hauteur.

Les conséquences de ces deux propositions forment les théorèmes suivans que nous pouvons nous contenter d’énoncer.

18. Tuéorème. Deux triangles de méme base et de méme hauteur sont équivalens.

19. Tuéorème. L’'aire d’un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

20. Turorème. Deux triangles de méme base sont entre eux comme leurs hauteurs.

21. Tarorème. Deux triangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.

292. Tuéonème. Deux triangles quelconques sont entre eux comme les produits de leurs bases et de leurs hauteurs.

23. Ces théorèmes forment la base de toute l’équiva- Zence des triangles dont les diverses propositions peuvent en être déduites avec facilité. Ainsi, par exemple, on démontre que Le carré construit sur l'hypothénuse d'un triangle rectangle est équivalent à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés, à l’aide de l’équivalence qui existe entre le triangle et la moitié du rectangle de même base et de même hauteur. Comme nous démontrerons plus loin, d’une autre manière, cette célèbre propriété du triangle rectangle et qu’il nous est impossible d’ailleurs de rapporter en détail toutes celles des triangles, nous terminerons cette partie de la comparaison géométrique par exposition du théorème suivant , essentiel pour ce qui va suivre.

24. Deux triangles qui ont un angle égal de part et d'autre sont entre eux comme les produits des côtés qui forment ces angles.

Soient ABC et abc deux triangles dont les angles A et a sont égaux. Prenons sur le côté AB une partie Ba’ égale à ba et sur le côté BC une partie Bb" égale

TR à be, et menons la droite a'£'. Le triangle Ba'£' sera égal au triangle abc, car ces deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun (12). Ceci posé, B menons la droite Ab" et remarquons que les deux triangles Ba'b' et BAP' ayant

méme hauteur sont

entie eux comme leurs bases (21), ce

qui donne