BAC : AB :: BC : B

Donc, multipliant ces deux proportions terme par

terme, on obtient BACYX AB": ABL'XBa'b' : : ABXBC : a'BXB4"'.

Ainsi, retranchant du premier rapport le facteur cominun ABZ', ét remplaçant Ba'4' par son égal bac, ct a'BX BD" par abXbc il vient

BAC : bac : : ABXBc : abX bc,

ce qui est la proposition énoncée.

25. SimiLiTuDE. On nomme triangles semblables cèux qui ont leurs trois angles égaux chacun à chacun, et dont les côtés homologues sout proportionneis. Par côtés homologues on entend les côtés opposés à des angles égaux. Lés propositions principales de la sémnilitude des trianglés sont les suivantes :

26. Taéorème. Deux triangles qui ont leurs trois àngles égaux chacun à chacun sont semblables.

Soient ABC et abc deux triangles dans lesque!s l’angle À est égal à l'angle a , l’angle B égal à l'angle b et l'angle C égal à angle €. Ces triangles ont leurs côtés homologues proportionnels, et sont par conséquent semblables.

En effet, puisque les an- B, b gles À et a sont égaux, les triangles ABC et abc sont entre eux comme les pro- d # 4 © duits des côtés qui forment

ces angles (24), et l’on a

ABC : abc :: ABXAC : abX ac;

mais On à aussi, à cause de l'égalité des angles Beth, TOME II,

TR ABC : abc : : ABXBC : abX bc, et, à cause de celle des angles Cet ©, ABC : abc : : ACXBC : acXbc.

Les premiers rapports étant les mêmes dans ces trois proportions, où en conclura successivement

ABXAC : abX ac : : ABXBC : ab Xbc ABXBC : abX bc : : ACXBC : acX be.

Divisant lesantécédens de ja seconde proportion par AB, et les conséquens par ab ; puis les antécédens de la seconde proportion par BC et les conséquens par be, on aura

AC : ac :: BG : bc

AB :°ab :: AC : ‘ac c’est-à-dire, la suite de rapports égaux

AB : ab :: AC : ac :: BC : bc.

Donc les côtés homologues des triangles ABC et abc sont proportionnels, et ces triangles sont par conséquent semblables,

27. Corozvaire E. Deux triangles qui ont leurs côtes respectivernent parallèles sont semblables.

Car, soient les deux trian- B b gles ABC , abc dont les côtés AB et ab, ACet ac, BC ct

be sont parallèles, les an- P2E | gles À eta, Bet b,Cetc Ë étant formés par des côtés A NH CiEsn oO

parallèles , il est facile de voir, en prolongeant les côtés comme ils le sont dans la figure, que ces angles sont réspectivement égaux.Eneffetles deux angles À et a sont chacun égal à l'angle ro comme correspondans (an- GLE, 6), et les deux angles C et c sont chacun égal à l'angle o par là même raison. Donc À —a, C—cet par suite (4) B = 4.