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pendiculaires, Jes angles de ces triangles sont égaux chacun à chacun. Car, menant du point B la perpendiculaire Bm au côté BC et la perpendiculaire Br au côté AB, ces perpendiculaires seront parallèles aux côtés ab et be du triangle abc, puisque ces côtés sont eux-mêmes perpendiculaires à BC et AB. L’angle 2Bre sera donc égal à l’angle b. Mais les deux angles AB, CBmsontégaux comme droits, et, sion leur retranche de chacun l’angle commun CBn, il reste les deux angles égaux ABCet xBm; donc l'angle ABCest égal à l'angle b.

Menant de même au point À les droites Ap et Ao, la première perpendiculaire sur AC et la seconde sur AB , ces droites seront parallèles aux côtés ac et ab du triangle abc, et l'angle oAp qu’elles forment sera égal à l'angle a. Mais si des deux angles droits oAB, pAc on retranche l’angle commun pAB, il reste les deux angles égaux oAp, BAC; donc l'angle à est égal à l'angle BAC. Donc les trois angles du triangle abc sont respectivement égaux aux trois angles du triangle ABC.

29. On doit observer que dans les triangles dont les côtés sont respectivement parallèles ou perpendiculaires, les angles égaux sont formés par deux côtés parallèles ou perpendiculaires chacun à chacun.

30. Corozraine II. Deux triangles isocèles qui ont l'angle du sommet égal de partet d'autre sont semblables.

En effet, la somme des angles à la base étant la même dans ces deux triangles, ces angles sont égaux chacun à chacun, puisqu'ils sont chacun la moitié de cette somme {5). Donc deux tels triangles ont leurs trois angles

égaux chacun à chacun.

31. Lemmr. Sÿ dans un triangle quelconque on mène une parallèle à l'un des côtés, elle partagera les deux autres côtés en parties proportionnelles | et de plus son rapport avec le côté parallèle sera le méme que celui d'une quelconque des parties opposées avec le côté correspondant.

Soit le triangle ABC (Fig. ci-dessus , n° 26) ; si on mène la droite de parallèle au côte AC , on formera le triangle Bde semblable au proposé, car ces deux triangles ont leurs trois angles égaux chacun à chacun, savoir : l'angle C commun et les angles À et Bde, B et deB égaux comme correspondans. Nous avons donc (26)

AC : de : : BC : Be : : AB : Bd

ce qui est la seconde partie de la proposition. En ne considérant que les deux derniers rapports

AB : Bd :: BC : Be on a, dividendo (voy. Prororrio», 10),

AB — Bd : Bd : : BC — Be : Be,

TR Ad : Bd : : Ce : Be

c’est la première partie de la proposition.

On démontre la réciproque de ce lemme par une réduction à l’absurde, savoir : « lorsqu'une droite coupe deux côtés d’un triangle en parties proportionnelles , elle est parallèle au troisième côté. »

32. Turorème. Deux triangles qui ont un angle égal de part et d'autre, compris entre des côtés respectivement proportionnels, sont semblables.

Soient ABC et abc, figure ci-dessus n° 26, deux triangles dans lesquels les angles B et à sont égaux et les côtés AB et BC. qui forment l’angle B, proportionnels aux côtés ab et be qui forment l’angle b. Prenant sur AB une partie Bd égale à ab et sur BC une partie Be égale à àc et menant la droite de, le triangle Bde sera égal au triangle abc (12), puisque par construction ces deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun. Mais on à par hypothèse

AB : ab :: BC : bc.

donc on a aussi

AB : Bd :: BC : Be

et, par conséquent (31), la droite de est parallèle à AC.

Aiosi le triangle Bde, ou son égal abc, est semblable à ABC.

33. Turorème. Deux triangles qui ont leurs trois côtés proportionnels sont semblables.

Soient ABC, abc (même figure) deux triangles dans lesquels on ait

AB : ab :: AC : ac :: BC : bc

prenant sur AB, Bd — a et sur BC, Be — bc, et menant de, les deux triangles ABC et Bde seront semblables, puisqu'ils ont l'angle G commun et que lescôtés Bdet Be qui forment cet angle, dans le triangle B4e, sont, par construction, proportionnels aux côtés AB et BC qui le forment dans le triangle ABC. On a donc

AC : de :: AB : Bd ou, parce que Bd = «b,

AC : de :: AB :

Or, par hypothèse,

AC : ac

:: AB : ab

Ainsi, comparant cette proposition à la précédente, de — ac. Les deux triangles abc et Bde ont donc leurs trois côtés égaux chacun à chacun et sont par conséquent égaux (14); mais le triangle Bde est semblable au triangle ABC , donc aussi le triangle abc est semblable à ABC,

TB 34. Parmi toutes les propositions qui dérivent de ces théorêmes fondamentaux , nous démontrerons encore

les suivantes dont nous avons fait plusieurs fois usage dans le cours de ce Dictionnaire.

Tuéorëme. Dans un triangle rectangle, si du sommet de l'angle droit on abaïsse une perpendiculaire sur l'hypothénuse, cette perpendiculaire partagera le triangle en deux autres qui lui seront semblables.

Soit le triangle ABC rectangle en B, abaissons du sommet de l’angle droit la perpendiculaire BD sur Phypothénuse AC, nous formerons deux triangles, également rectangles, ABD , BDC, qui seront semblables entre eux et au proposé ABC.

Eu effet, les deux triangles ABC et ABD étant tous deux rectangles, l’un en Betl’autreen D, et ayant l’angle À commun, ont leurs trois angles égaux chacun à chacun (4), et sont par conséquent semblables (26).

Les deux triangles ABC et BDC, également tous deux rectangles, l'un en B et l’autre en D, et ayant l'angle C commun , ont leurs trois angles égaux chacun à chacun. Ces triangles sont donc semblables.

Eufiu les triangles ABD et BDC étant chacun semblables au triangle ABC sont semblables entre eux.

35. La comparaison des côtés homologues de ces trois triangles conduit à des conséquences très-importantes. Oa a évidemment

A D Le) 1° Pour les triangles ABC , ABD,