C.cos B b

a = b sin À —

devient __ b.sinA R.C.cosB & esp JE STE

par le même moyen. (Joy. Dimexsrow.)

5. Tous les problèmes qu’on peut se proposer sur Îe calcul des parties inconnues d’un triangle rectangle par le moyen des parties données se réduisent aux quatre cas suivans :

1° cas. On connait l’hypothénuse et un autre côté. Désignons par a, b, c, les trois côtés du triangle, et par A, B, C, les angles respectivement opposés à ces côtés ; prenons À pour l'angle droit, et conséquemment a pour l’hypothénuse.

b étant le côté donné avec l'hypothénuse a, on aura pour déterminer l'angle B la proportion

a :b::R:snB, ce qui donne, en employant les tables de logarithmes et en se rappelant que Log R = 10,

Log.sin B = 10 + Log b — Log a Connaissant l'angle B,on a immédiatement C—90°—B8. Quant au troisième côté c, on peut le calculer directement par la propriété connue (voy. Triancce, 36)

a = b? + ©, d’où c — V/[a°—b] et l’on a, ense servant des logarithmes ,

Log c —+ { Log(a+b) + Log(a—b) }

On peut encore trouver ce côté, après que B est déterminé, par la proportion

B'EEE R'lcot B d’où Loge = Logb + Log.cot B— 10.

T° cas. On connait les deux côtés de l'angle droit. On aura l’angle B par la proportion c:b::R:tang B

d'où

Log.tangB— 10 + Logb — Log c

L’angle C sera donné par la relation C = go° — B. Quant à l'hypothénuse, comme la propriété directe a V/[b?+c"] ne se prête pas facilement au calcul logaruthmique, il sera plus simple de l'obtenir par la proportion

a:b::R:sinB qui donne, lorsque l’angle B est connu, a = 10 + Logb — Log.sin B.

TI cas. On connaît l'hypothénuse et un angle aigu. Ici les trois angles sont donnés et les côtés bet c se

calculeront par les formules Logb — Loga + Log.sin B — 10 Log c — Loga + Log.sin C — 10

IV° cas. On connaît l’un des côtés de l’angle droit, b par exemple, et un angle aigu.

Les trois angles sont encore donnés, et l’on aura l'hypothéuuse et l’autre côté par les proportions

snB:R::b:4a R':tangC::b:c

ou par les égalités correspondantes

a — 10 + logb— sin B c = log b + log tang C — 10

Nous croyons inutile de donner des exemples numériques de l’emploi de ces formules.

6. La résolution des triangles obliquangles repose également sur deux principes fondamentaux dont voici l’énoncé :

1° Dans tout triangle rectiligne les sinus des angles sont entre eux comme les côtés opposés à ces angles.

2° Dans tout triangle rectiligne le carré de l’uu quelconque des côtés est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, moins deux fois le produit de ces deux côtés et du cosinus de l'angle qu’ils forment. (On suppose le rayon égal à l'unité.)

Pour démontrer le premier principe, cousidérons un triangle quel- | \ conque ABD, du sommet duquel nous abaisserons sur la base la perpendiculaire AC. Cette perpendiculaire forme deux triangles rectangles ACD, ACB, dans lesquels G D

ona, d’après ce qui précède (1) AB : AC ::R :sin B AD : AC :: R : sin D

TR Or, les moyens de ces deux proportions étant respectivement égaux, les extrêmes donnent

AB : AD :: sin D : sin B

En abaissant la perpendiculaire du sommet de l'angle B sur le côté AD, on trouverait de la même manière

AB : BD :: sin D : sin A

On a donc généralement

AB : AD : BD :: sin D : sin B : sin A.

Si, au lieu de tomber dans l’intérieur du triangle, la perpendiculaire tombait en dehors, on aurait visiblement les mêmes résultats.

Quant au second principe, on a, d’aprèsun théorème démoutré ailleurs (voy. TrianeLe, 37),