AD — AB+ BD — 2BD X BC
mais le triangle rectangle ABC donne (3) BC — AB X cosB; donc, en substituant,
AD — AB + BD — 2BD XABXcosB.
Il est facile de voir que si l'angle B était obtus, cas où la perpendiculaire tombe hors du triangle, on obtiendrait encore le même résultat.
7. Ea désignant par a, b, c, les trois côtés d’un triangle rectiligne quelconque, et par A, B, C, les angles qui leur sont respectivement opposés, nous aurons les deux principes fondamentaux
:: sinA : sinB : sinC
......07 = 0? — b? — 2ab.cosC
(a) ta Enbe: ce
desquels nous allons déduire la solution de tous les cas particuliers.
Nous feronsobserver en passant que, pour tenir compte du rayon des tables dans la seconde expression , il faut rendre ses termes homogènes, et qu’elle devient alors
ce = a? + js — 200
8. On peut encore ramener à quatre tous les cas particuliers de solution des triangles en général.
I" cas. Deux côtés «& et b sont donués avec l'angle A opposé à l’un d’eux.
Pour trouver d’abord l’angle B opposé à l’autre côté b , on aura la proportion
a : b :: sinA : sinB, et, par logarithmes,
Log.sinB = Logb + Log.sinA — Loga.
TR
On doit observer ici que les tables trigonométriques ne donnent jamais pour l'arc correspondant à un sinus donné qu'un arc moindre qu’un quart dela circonf-rence, et que ce sinus peut indifféremment correspoudre à cet arc ou à son supplément, parce qu'on a généralement sinM — sin (180° — M}. Il devient doucessentiel de savoir quelle doit être la nature de l’angle B cherché , car s’il est aigu sa valeur est directement donuée par les tables, tandis que s’il est obtus il faut prendre le supplément de l’arc des tables. Or, si l’on ne connaissait pas directement la nature de cet angle, on pourrait la déterminer dans certains cas à l’aide des cousidérations suivantes: si l’angle donné A est obtus , B doit être aigu; si l'angle donné À étant aigu, le côté 2 est plus grand que b, l'angle B ne peut être qu’aigu. Ce n'est donc que lorsque A est aigu, et a plus petit que b, que B peut être obtus et qu’il y a indécision.
L’angle B étaut connu, on aura l'angle C par la relation C — 1809 — À — B, puis on calculera le troisième côté C par la proportion
sinA :'sinG :: &æ':c.
IT cas. Un côté a est donné avec deux angles.
Le troisième angle se trouve donné médiatement et l’on calcule les deux autres côtés par les proportions
sinA : sinB :: à : b sinA : sinC::a:c ou par les égalités correspondantes Logb — Loga + Log.sinB — Log.sinA Logc — Loga + Log.sinC — Log.sinA.
III cas. Deux côtés a et b sont donnés avec l’angle compris C.
Pour trouver d’abord les deux autres angles, il faut observer que leur somme est connue puisqu'elle est égale à 180° — C, et que le problème se réduit ainsi à chercher leur différence, parce que deux quantités dont on connait la somme et la différence se déterminent par une règle très-simple. (Foy. Equariow, 10.)
Or, en vertu du principe(m), nous avons
a : b:: sinA : sinB d’où, par composition de rapport ,
a+b:a—b::sinA + sinB : sinA— sin B
, mais On sait que (voy. Sinus, 33)
sinA + sinB __ tang;(A+-B) siuA—sinB tang L(A=B)
Donc, en substituant, on a la proportion
a+ b:a—b::tang:(A+-B):tang : (A—B)
TR 585 au moyen de laquelle on pourra calculer la demi -différence = (A—B). Connaissant cette demi-différence, on aura le plus grand des angles, en l’ajoutant à la demisomme et le plus petit en la retranchant.
On simplifie les calculs en observant que
tang S(AÆHB)=tang? (180° — C) — tang(go® —1C) = coti C
Ainsi , en désignant la demi-différence Z(A—B) par 4, il vient
Aprèsavoir calculé l’angle A par cette formule, on trouve ensuite À et B par les relations
A go°—1C+A B — 90° — + C —A4 Nous supposons a=>b d'où À > B.
Les angles À et B étant ainsi déterminés, on aura le troisième côté c par la proportion
sinA :sinC::a:c.
IV® cas. Les trois côtés sont donnés.
En vertu du principe (») l'angle C opposé au côté « sera donné par l'expression
a + br —c
cos C —
qu’il s’agit de transformer en une autre plus commode pour le calcul. Or, on a généralement (voy. Sinus, 25)
2 sin? 22 — 1 — COSZ et, par conséquent, ici ) »
æ+Hb—c
2ab
2sin ?C—1:—
2ab—a—h Les 2ab E
(eHa(c-Hh—a) zub
d’où
sin : C — 2 [TEE]
Si nous désignons par s la demi-somme des trois côtés a+-b+c, nousaurons
et la dernière expression prendra la forme
sin + C — 4 [=]
que l’on peut aisément calculer par logarithmes.
On aura évidemment de même pour les deux autres angles À et B les expressions semblables
