S — : BD X AC
mais le triangle rectangle ABC donne AC =AB.sinB ; donc, en substituant ,
S —1 BD X AB X sin B
c'est-à-dire que « l'aire d’uu triangle est égale à la
TR
moitié du produit de deux quelconques de ses côtés et du sinus de l’angle qu’ils forment.
En reprenant les notations précédentes nous aurons
S — + ab. sin C
Si dans cette expression nous substituons celle de sin C trouvée dans le numéro précédent, il viendra
formule qui donne l'aire du triangle par le moyen des trois côtés ét que nous avons démontrée ailleurs d’une manière directe (voy. APPLICATION, 20).
Dans le cas où l’on connaîtrait seulement un côté c et les deux angles adjacens A et B, l'aire serait donnée par la formule
San c.sin À, sin B
mA ne 0 qu’on obtient en cherchant l'expression de la hauteur du triangle en fonction de la base et des angles adyacens.
10. Pour donner quelques exemples de l'application de ces formules, proposons de déterminer les angles d’un triangle dont les trois côtés ont pour longueurs Posant à —
données 1200m, 860” et 780". 1200”,
b = 860", c — 7807, nous trouverons successivement s=ha+b+c)=1420,5—a—220,s—bz=-560 $—c—640 Observons maintenant que pour rendre la formule ; (s—a) (s—b) sin ?C— ——— ——— : LA [ ab
calculable par logarithmes il faut rendre ses membres homogènes en y introduisant le rayon R des tables; or
cette formule est la même chose que
sin’ + C < ab
dont le premier membre a deux dimensions, tandis que la dimension du secoud est nulle; il faut donc la met-
tre sous la forme
(s—a) (s—b) ab
sin? 1 c—R:.
et l’on a, en employant les logarithmes , à cause de log R— 2 log R = 20, log.sin C1 (20+-log(s—a)+log (—6)—log a—logk
Voici le calcul
TR log R? — 20,0000000 log (s—a) — 2,3424227
log (s—b) — 2,7481880
1° somme,.... — 25,0906107 ©
log a— 3,07918r2 logb— 2,9344984
2° somme.....
1° somme. ....
2° somme.....
Différence...
moilic ou log sinic— 9,5354655
D'où + C == 20° 12’ 47", 4, et C = 40° 25" 34”, 8.
On peut ne faire qu’une seule addition en se servant des complémens arithmetiques (voy. ce mot), mais il faut alors avoir le soin de retrancher de la dernière caractéristique autant de dixaines qu'on a employé de complémens. Voici le calcul de l'angle B fait de cette
mauière. On a ici log sin: B—1{20+-log (s—a)+log (s—c)—log a—logc]
et par suite
log (s—a) = 2,3424227
log (s—c) = 2,8061800 compl. log a — 6,9208188 compl. log b = 7,1079054
somme..... 39,1773269
19,1773269 moitié ou log sin : B — 9,5886634
d'où 2 B— 22° 49! 14", 7, et B = 45° 38' 29", 4.
On voit qu’en calculant cette formule par les complemens arithmétiques on peut se dispenser de tenir compte du rayon, car on retranche à Ja fin les deux dixaines que ce rayon y introduit.
Connaissant les angles C et B on peut obtenir l’angle À en retranchant leur somme de 180°; mais il vaut mieux calculer directement cet angle, ce qui donne un moyen de vérification, puisqu'on doit trouver ensuite
TOMK Il,
TR A + B + G— 180°. Appliquant la même formul
on a
log (s—b) — 2,7481880 log (sc) — 2,8061800 compl, log b — 7,0655016 compl. log c = 7,1079054
19,7277750 moitié oulog. sini A — 9,8638875
somme....
d'où 4 À = 46° 57’ 57,9 et À — 93° 55! 55”, 8.
Rassemblant ces résultats et prenant leur somme, on trouve
