Il n’en est pas de même des angles d’un triangle
FI . dé ) sphérique que de ceux d’un triangle rectiligne, non seulement leur somme n’est pas constamment égale ‘à
deux angles droits, mais encore elle dépasse toujours
L] TR cette quantité, de sorte que la connaissance de deux angles est insuffisante pour déterminer le troisième.
La somme des trois angles d’un triangle sphérique varie entre les limites de deux et de six angles droits, c'est-à-dire, qu'elle est toujours plus grande que, 180° et plus petite que 540
18. Lorsqu'un triangle sphérique a un de ses angles droits, il prend le nom de {riangle rectangle, comme on nomme aussi Aypothénuse le côté opposé à cet angle. Mais un triangle sphérique peut être doublement et triplement rectangle , ‘et ilen résulte alors les particularités suivantes,
Si les trois angles d’un triangle sphérique sont droits, les plans des grands cercles qui le forment sont respectivement perpendiculaires l’un sur les deux autres, alors les trois angles plans qui composent l’angle solide du sommet de la pyramide (14) sont droits, et conséquémment les trois côtés du triangle sphérique sont des quarts de circonférence. Ainsi lorsque les trois angles ont chacun 95°, les trois côtés ont aussi chacun 90°, et tout est déterminé dans le triangle.
Si deux angles seulement sont droits, le plan de leur côté commun est perpendiculaire à la fois sur les plans des deux autres côtés, de sorte que l’angle solide au sommet de la pyramide se trouve composé de deux angles plans droits et d’un troisième angle égal au troisième angle du triangle sphérique. Dans ce cas donc les côtés du triangle sont respectivement égaux aux angles qui leur sont opposés, et tout se trouve encore déterminé.
19. Connaissant trois des six choses qui composent un triangle sphérique , déterminer les trois autres, tel est le problème général de la trigonométrie sphérique ; il ne diffère de celui de la trigonométrie rectiligne qu’en ce qu’il n’est pas besoin que parmi les trois choses données se trouve au moins un des côtés. Les divers cas qu’il présente peuvent être embrassés par une seule formule dont la déduction ne présente aucune diffculté.
Soit ABC un triangle sphérique quelconque, et O le centre
De
de la sphère sur la-
quelle il est tracé. Du
centre O, menons par
les sommets du trian-
gle les droites indéfinies OF, OE et OD.
Prénons OF à volonté , et du point F menons sur OF deux CE \ ; ‘perpendicalairesl'une À
TR 587 FE dansle plan de AOB, et l’autre FD dans le plan de
AOC. Ces perpendiculaires, prolongées suffisamment, rencontreront OE et OD en des points E et D que
nous joiudrons par la droit DE.
D'après cette construction, l’angle DFE des deux perpendiculaires mesure l'angle des plans AOC et AOB; il est donc le même que l'angle A du triangle sphérique.
Mais dans les triangles rectilignes FDE, ODE on
cos EFD FE+FD—DE
