TOR T7 FE
cos EOD GE + OD—DE M sobesue EC: DE
Prenant dans la seconde expression la valeur de DE et la substituant dans la première, il viendra (p)
OE.0D.cos EOD — OF. R cos EFD — ———-— FE ED
en observant que OE'—FE'= OF, OD — FD =0F
Représentons maintenant par À, B, C, les trois angles du triangle sphérique , et para, b,c, les côtés
opposés, et remarquons que EFD=A, EOD=—BC=—a, FOD—AC=—bh, FOE—AB=c Ceci posé, les triangles rectilignes fournissent
OE : FE ::R : sinFOE :: R : sinc OD : FD :: R: sinFOD :: R :
OF : FE :: cosFOE : sinFOE :: cose : since
sin D
:: cosb : sinb
OF : FD :: cosFOD : sinFOD ainsi R.FE R:: TE R2.FE.FD de ‘sinc ? T snb xd'où OË.OD == sin b.sinc OF = FE. CSC OF — I D0e, d'où sin c sin b
—» FE.FD.cosc. cosb EF = -——sinc.sinb
substituant dans l’expression (p), il vient
R.c cosb.cosc
sinb.sinc
FR .cos a
COSA—= ——— — sinb.sinc
ou simplement, en faisant R —1 (4),
cos a—cos b.cos € cos À = — :
sinb.sinc
On obtiendraitévidemment, pour les deux autres angles Bet C, les expressions semblables (9),
cosb—cosa.cosc cos B — —— —
sina.sin €
cos c—cos a.cosb
cos C —
Or, considérant comme inconnues trois des six quantités qui entrent dans ces expressions, On a ainsi trois équations qui suffisent dans tous les cas pour obtenir leur déternduation complète.
20. Avant de passer aux applications , tirons de ces formules la relation qui existe entre les côtés et les angles opposés. Dans l’expression fondamentale ( vor. SINUS, 30)
sin À = V/[1—cos’A]
si l’on substitue la valeur de cos’A prise dans l’expression (g) ,il vient
: sin’b.sin?c — (cos a — cos b.cos c) sinA — a ——— — sin*b.sin?c
Observant que sin°&.sin’c = (1—cos’b) (1 —cos’c), et
développant les produits, on obtient
à x sin À = ————
rire Vi — costa — cosb — cos?c » ,51
+ 2c08a.cosb.cos c ]
et, en divisant les deux membres par sina ,
sinA ï = = —-— \/[r — cosa — cos'b sina.sinb.sinc — cos’c + 2 cosa,cosb.cos c | ou simplement sinA sina
en désignant par M le second membre.
Opérant de la même manière sur sin B et sinC, on trouverait
sinB sinC M sinb * since ?
d’où sinA sinB sinC sina sinb sinc’
c'est-à-dire, que es sinus des angles sont entre eux comme les sinus des côtés opposés. Propriété analogue à celle des triangles rectilignes.
TR
21. Pour appliquer les principes précédens aux triangles sphériques rectangles , nous supposerons que A est un angle droit, et par conséquent que a est l’hypothénuse : or, Bet C représentant les deux autres angles que l’on nomme obliques pour les distinguer de l’angle droit, quoiqu’ils puissent être droits eux-mêmes, nous avons, d’après la dernière proposition,
sin À : sin B :: sina : sinb sin À : sinC :: sina:sinc ; ou, parce que À étant de 90°, sin A —R, R : sinB ::
R : sinC ::
sina : sinb
sing : Sinc ;
d’où il suit que dans tout triangle sphérique rectangle, le rayon est au sinus d'un angle oblique comme le sinus de l’hypothénuse est au sinus du côté opposé à cet angle.
Ainsi deux de ces trois choses, l'hypothéause, un angle oblique et le côté qui lui est opposé, étant données, il suffira de résoudre cette proportion pour déterminer la troisième. Oa a donc pour les trois cas qui se présentent ici les expressions
sinB — R.sin b sina
: . R.sinb
